Il quoziente di Rayleigh
Nel capitolo precedente si è messo in evidenza lo stretto legame che c'è tra i problemi al bordo e i problemi agli autovalori. Ora è necessario occuparsi di come trovare gli autovalori dell'operatore laplaciano e chiedersi se le corrispondenti autofunzioni possano costituire un sistema ortonormale completo o meno.
Delle importanti considerazioni in tal senso possono essere fatte grazie ad una quantità detta quoziente di Rayleigh e definita come segue:
Sia un punto di minimo per il quoziente di Rayleigh, ovvero:
Il teorema appena enunciato è di fondamentale importanza nel tentativo di rispondere alla domanda che ci si era posti ad inizio capitolo. Infatti ora sappiamo che per poter ricavare il primo autovalore dell'operatore laplaciano è possibile cercare il punto di minimo del quoziente di Rayleigh. Rimane però aperta una questione: trovato il primo degli autovalori, esiste un modo per ricavare anche gli autovalori successivi? Effettivamente la risposta a questa domanda è affermativa, grazie al teorema seguente:
Siano i primi autovettori di scelti tra loro ortogonali. Sia
I due teoremi enunciati hanno una portata estremamente rilevante: grazie ad essi non solo possiamo concludere che è possibile determinare autovalori e autofunzioni dell'operatore laplaciano, ma abbiamo anche una maniera esplicita per poterlo fare. Ci rimane ora da chiarire se le autofunzioni che determiniamo nella maniera appena illustrata siano o meno un sistema ortonormale completo.
Sia , allora
Questo teorema porta immediatamente ad un altro teorema che garantisce che gli autovalori che si possono trovare sono effettivamente infiniti:
Sia aperto e limitato, con frontiera regolare. Allora l'operatore laplaciano per cui è definito il problema agli autovalori:
Il complesso dei risultati ottenuti in questo capitolo ci permette di concludere che effettivamente la successione di autofunzioni dell'operatore di Dirichlet, ma analogamente si potrà dire per quello di Neumann e di Robin, costituiscono un sistema ortonormale completo
Le autofunzioni del problema di Dirichlet sono un sistema ortonormale completo su .
I risultati ottenuti in questo e nel capitolo precedente sono di estrema importanza perchè permettono di concludere che: i problemi al bordo considerati possono essere ricondotti ad un problema agli autovalori per l'operatore laplaciano, il quale ammette una successione infinita di autofunzioni che costituisce un sistema ortonormale completo sullo spazio delle funzioni modulo-quadro integrabili e possono essere usate per sviluppare in serie di Fourier le soluzioni dei problemi al bordo considerati.