Il quoziente di Rayleigh

Nel capitolo precedente si è messo in evidenza lo stretto legame che c'è tra i problemi al bordo e i problemi agli autovalori. Ora è necessario occuparsi di come trovare gli autovalori dell'operatore laplaciano e chiedersi se le corrispondenti autofunzioni possano costituire un sistema ortonormale completo o meno.

Delle importanti considerazioni in tal senso possono essere fatte grazie ad una quantità detta quoziente di Rayleigh e definita come segue:

$${\frac {\parallel \nabla u\parallel _{{\mathcal {L}}^{2}(\Omega )}^{2}}{\parallel u\parallel _{{\mathcal {L}}^{2}(\Omega )}}}={\frac {\int _{\Omega }\mid \nabla u\mid ^{2}dx}{\int _{\Omega }\mid u\mid ^{2}dx}}$$

$$\frac{\parallel \nabla u\parallel^2_{\mathcal{L}^2(\Omega)}}{\parallel u\parallel_{\mathcal{L}^2(\Omega)}}=\frac{\int_{\Omega}\mid \nabla u\mid^2dx}{\int_{\Omega}\mid u\mid^2 dx}$$

Consideriamo $Y={\mathcal {D}}(\Delta _{D})=\left\lbrace w\in C^{2}(\Omega )\cap C^{0}({\overline {\Omega }}),\,w\neq 0\colon w\mid _{\partial \Omega }=0\right\rbrace$$Y=\mathcal{D}(\Delta_D)=\left\lbrace w\in C^2(\Omega)\cap C^0(\overline{\Omega}),\,w\neq 0\colon w\mid_{\partial\Omega}=0\right\rbrace$, anche detto spazio delle funzioni di prova per il problema di Dirichlet.

Teorema (1)

Sia $u\in Y$$u\in Y$ un punto di minimo per il quoziente di Rayleigh, ovvero:

$$m={\frac {\parallel \nabla u\parallel ^{2}}{\parallel u\parallel ^{2}}}=\min _{w\in Y}{\frac {\parallel \nabla w\parallel ^{2}}{\parallel w\parallel ^{2}}}$$

$$m=\frac{\parallel \nabla u\parallel^2}{\parallel u\parallel^2}=\min_{w\in Y}\frac{\parallel \nabla w\parallel^2}{\parallel w\parallel^2}$$

Allora $m$$m$ è il primo autovalore di $\Delta _{D}$$\Delta_D$ con autofunzione corrispondente $u(x)$$u(x)$.

 

Il teorema appena enunciato è di fondamentale importanza nel tentativo di rispondere alla domanda che ci si era posti ad inizio capitolo. Infatti ora sappiamo che per poter ricavare il primo autovalore dell'operatore laplaciano è possibile cercare il punto di minimo del quoziente di Rayleigh. Rimane però aperta una questione: trovato il primo degli autovalori, esiste un modo per ricavare anche gli autovalori successivi? Effettivamente la risposta a questa domanda è affermativa, grazie al teorema seguente:

Teorema (2)

Siano $v_{1},v_{2},\dots ,v_{n-1}$$v_1,v_2,\dots,v_{n-1}$ i primi $n-1$$n-1$ autovettori di $\Delta _{D}$$\Delta_D$ scelti tra loro ortogonali. Sia

$$Y_{n}=\left\lbrace w\in Y\colon \left\langle w\mid v_{i}\right\rangle =0,\,\forall \,i=1,\dots ,n-1\right\rbrace$$

$$Y_n=\left\lbrace w\in Y\colon \left\langle w\mid v_i\right\rangle=0,\,\forall\,i=1,\dots,n-1\right\rbrace$$

Se esiste $v_{n}$$v_n$ che minimizza il quoziente di Rayleigh in $Y_{n}$$Y_n$, ovvero:

$$m_{n}=\min _{w\in Y_{n}}{\frac {\parallel \nabla w_{n}\parallel ^{2}}{\parallel w_{n}\parallel ^{2}}}={\frac {\parallel \nabla v_{n}\parallel ^{2}}{\parallel v_{n}\parallel ^{2}}}$$

$$m_n=\min_{w\in Y_n}\frac{\parallel \nabla w_n\parallel^2}{\parallel w_n\parallel^2}=\frac{\parallel \nabla v_n\parallel^2}{\parallel v_n\parallel^2}$$

Allora l'n-simo autovalore di $\Delta _{D}$$\Delta_D$ coincide esattamente con il valore $m_{n}=\lambda _{n}$$m_n=\lambda_n$ e la corrispondente autofunzione associata sarà $v_{n}$$v_n$.

 

I due teoremi enunciati hanno una portata estremamente rilevante: grazie ad essi non solo possiamo concludere che è possibile determinare autovalori e autofunzioni dell'operatore laplaciano, ma abbiamo anche una maniera esplicita per poterlo fare. Ci rimane ora da chiarire se le autofunzioni che determiniamo nella maniera appena illustrata siano o meno un sistema ortonormale completo.

Teorema (3 Di monotonia degli autovalori rispetto all'insieme di definizione)

Sia $\Omega _{1}\subset \Omega _{2}$$\Omega_1\subset \Omega_2$, allora $\lambda _{n}(\Omega _{1})\geq \lambda _{n}(\Omega _{2})\,\forall \,n$$\lambda_n(\Omega_1)\geq\lambda_n(\Omega_2)\,\forall\,n$

 

Questo teorema porta immediatamente ad un altro teorema che garantisce che gli autovalori che si possono trovare sono effettivamente infiniti:

Teorema (4)

Sia $\Omega \subset \mathbb {R} ^{n}$$\Omega \subset\mathbb{R}^n$ aperto e limitato, con frontiera regolare. Allora l'operatore laplaciano per cui è definito il problema agli autovalori:

$${\begin{cases}-\Delta u=\lambda u\\u\mid _{\partial \Omega }=0\end{cases}}$$

$$\begin{cases} -\Delta u=\lambda u\\u\mid_{\partial \Omega}=0 \end{cases}$$

Ammette una successione infinita di autovalori con $\lambda _{n}{\underset {n\rightarrow +\infty }{\rightarrow }}+\infty$$\lambda_n\underset{n\rightarrow +\infty}{\rightarrow}+\infty$.

 

Il complesso dei risultati ottenuti in questo capitolo ci permette di concludere che effettivamente la successione di autofunzioni dell'operatore di Dirichlet, ma analogamente si potrà dire per quello di Neumann e di Robin, costituiscono un sistema ortonormale completo

Teorema (5)

Le autofunzioni del problema di Dirichlet sono un sistema ortonormale completo su ${\mathcal {L}}^{2}(\Omega )$$\mathcal{L}^2(\Omega)$.

 

I risultati ottenuti in questo e nel capitolo precedente sono di estrema importanza perchè permettono di concludere che: i problemi al bordo considerati possono essere ricondotti ad un problema agli autovalori per l'operatore laplaciano, il quale ammette una successione infinita di autofunzioni che costituisce un sistema ortonormale completo sullo spazio delle funzioni modulo-quadro integrabili e possono essere usate per sviluppare in serie di Fourier le soluzioni dei problemi al bordo considerati.