Il metodo delle cariche immagine nel semipiano

Si è dimostrato che una funzione modulo integrabile di classe può essere scritta, grazie alla formula di rappresentaione, conoscendo i valori che essa assume al bordo di e il valore di . Per poter scrivere in modo completo la formula di rappresentazione, come si è visto, è necessario anche conoscere la funzione di Green del problema che si sta studiando. Si è osservato che la funzione di Green è simmetrica ed esiste sempre: l'eventuale difficoltà starà nella sua determinazione. In questo e nei prossimi capitoli ci si occuperà di usare la formula di rappresentazione, e dunque di determinare la funzione di Green, per risolvere dei problemi al bordo particolari.

Iniziamo con l'esempio della determinazione della funzione di Green nel semipiano positivo di : questo problema è anche noto con il nome di metodo delle cariche immagine.

Esempio (1)

Sia . Consideriamo il problema:

Dalla formula di rappresentazione si ha che:
Nello specifico del problema studiato essa equivale a:
Ci si chiede ora chi sia, e che espressione abbia, la funzione . Se esiste, essa deve avere la forma . Stiamo quindi cercando tale che:
Nel piano si ha che e si vuole trovare tale che annulli su . Si osserva che prendendo della forma con ; in questo modo si avrà che . Ci si chiede ora se tale che . In sostanza si vuole determinare tale che;
Se il sistema appena scritto è risolto dalla scelta:
Si nota quindi che , la posizione della carica immagine, corrisponde al simmetrico di nel semipiano negativo. Avendo determinato è quindi possibile scrivere l'espressione esplicita della soluzione, usando la formula di rappresentazione. Infatti ora la funzione di Green è completamente determinata:
Ora riscrivendo l'espressione per con la formula di rappresentazione e la forma analitica appena determinata per la funzione di Green si ha una determinazione completa della soluzione del problema.

 
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