Nel capitolo precedente abbiamo determinato l'espressione della funzione di Green nel caso di un problema di Dirichlet nel semipiano. Ci si chiede cosa cambi nel caso in cui si studi lo stesso problema in
. Si procede in analogia con quanto visto per
:
Esempio (1)
In
la soluzione fondamentale del laplaciano è data da

Ancora si dovrebbe cercare

tale che

con

. In sostanza, anche nel caso a più dimensioni,

corrisponde al punto riflesso di

rispetto a

. Andando a crecare la soluzione esplicita del problema di Dirichlet nel semipiano in dimensione generica si ha che:

Per poter scrivere l'espressione di

usando la formula di rappresentazione è necessario determinare l'espressione della derivata normale di

. Sapendo che

si ha che:


L'espressione appena determinata per la funzione di Green ci consente quindi di poter scrivere la soluzione esplicita del problema studiato. Nel caso particolare in cui

, ovvero nel caso di un problema di Dirichlet nel semipiano per l'equazione di Laplace anzi che per quella di Poisson, si avrebbe che la forma esplicita di

è data da:

Che quindi soddisfa il problema al bordo:

La funzione:

È detta
nucleo integrale di Poisson per il semispazio.
I due esempi appena visti sono casi di applicazione del seguente teorema:
Teorema
Sia
e sia
definita da:

Allora si ha che:

in 

Da cui discende il seguente lemma:
Lemma
Sia
. Allora
con
si ha che
. Ovvero, la funzione di Green (per qualsiasi problema) è un nucleo simmetrico.