Cariche immagine per la sfera: la riflessione di Kelvin

Come ultimo esempio di applicazione della formula di rappresentazione per risolvere problemi al bordo si consideri il caso in cui $\Omega =B(0,R)$$\Omega=B(0,R)$ in $\mathbb {R} ^{3}$${\mathbb {R}}^{3}$.

Esempio (1)

Anche in questo caso il vero problema consiste nella determinazione della funzione di Green. Come visto per i due casi precedente si vuole trovare $x^{\star }$$x^{\star}$ tale che $\Phi (x-y)-h(y)=0$$\Phi(x-y)-h(y)=0$. In questo caso però occorre introdurre un secondo parametro, oltre a $x^{\star }$$x^{\star}$, che andrà determinato; altrimenti con la sola scelta $h(y)=\Phi (x^{\star }-y)$$h(y)=\Phi(x^{\star}-y)$ non si riuscirebbe a determinare completamente l'espressione di $G(x,y)$$G(x,y)$. Pertanto sia $h(y)=h_{x}(y)={\frac {q}{4\pi \mid x^{\star }(x)-y}}$$h(y)=h_x(y)=\frac{q}{4\pi\mid x^{\star}(x)-y}$, con $x^{\star }$$x^{\star}$ e $q$$q$ da determinare. Dunque, se $y\in \partial B(0,R)$$y\in \partial B(0,R)$ con $\mid {\underline {y}}\mid =R$$\mid \underline{y}\mid =R$, deve essere che:

$$\Phi (x,y)-q\Phi (x^{\star },y)=0$$

$$\Phi(x,y)-q\Phi(x^{\star},y)=0$$

Più precisamente, essendo $\Phi (x,y)={\frac {1}{4\pi \mid x-y\mid }}$$\Phi(x,y)=\frac{1}{4\pi \mid x-y\mid}$, si ha:

$$q\mid x-y\mid =\mid x^{\star }-y\mid$$

$$q\mid x-y\mid=\mid x^{\star}-y\mid$$

Passando ai quadrati, dovendo valere $\forall y\in \partial B(0,R)$$\forall y\in \partial B(0,R)$ la relazione appena scritta, si ha che:

$$\mid {\underline {x}}^{\star }\mid ^{2}\mid +\mid {\underline {y}}\mid ^{2}-2\mid {\underline {x^{\star }}}\mid \mid {\underline {y}}\mid =q^{2}\left(\mid {\underline {x}}\mid ^{2}\mid +\mid {\underline {y}}\mid ^{2}-2\mid {\underline {x}}\mid \mid {\underline {y}}\mid \right)$$

$$\mid \underline{x}^{\star}\mid^2\mid+\mid \underline{y}\mid^2-2\mid\underline{x^{\star}}\mid\mid\underline{y}\mid=q^2\left(\mid \underline{x}\mid^2\mid+\mid \underline{y}\mid^2-2\mid\underline{x}\mid\mid\underline{y}\mid\right)$$

Ricordando che $\mid {\underline {y}}\mid =R$$\mid \underline{y}\mid=R$ si può riscrivere l'equazione sopra separando i termini che contengono il termine ${\underline {y}}$$\underline{y}$ da quelli che non lo contengono così da ottenere:

$$\mid {\underline {x}}^{\star }\mid ^{2}+R^{2}-q^{2}\left(\mid {\underline {x}}\mid ^{2}+R^{2}\right)=2\left(q^{2}{\underline {x}}-{\underline {x}}^{\star }\right){\underline {y}}$$

$$\mid \underline{x}^{\star}\mid^2+R^2-q^2\left(\mid\underline{x}\mid^2+R^2\right)=2\left(q^2\underline{x}-\underline{x}^{\star}\right)\underline{y}$$

Dovendo valere $\forall \,y\in \partial B(0,R)$$\forall\,y\in \partial B(0,R)$ deve quindi essere che:

$$q^{2}{\underline {x}}={\underline {x}}^{\star }$$

$$q^2\underline{x}=\underline{x}^{\star}$$

In definitiva si ottiene:

$$q^{4}\mid {\underline {x}}\mid ^{2}+R^{2}-q^{2}\left(\mid {\underline {x}}\mid ^{2}+R^{2}\right)=0$$

$$q^4\mid \underline{x}\mid^2+R^2-q^2\left(\mid \underline{x}\mid^2+R^2\right)=0$$

Da cui si possono ricavare i valori di $q^{2}$$q^2$:

$$q^{2}=1\;{\text{v}}\;q^{2}={\frac {R^{2}}{\mid {\underline {x}}\mid ^{2}}}$$

$$q^2=1\;\text{v}\;q^2=\frac{R^2}{\mid \underline{x}\mid^2}$$

Il valore $q^{2}=1$$q^2=1$ non è accettabile perchè porterebbe a concludere ${\underline {x}}={\underline {x}}^{\star }$$\underline{x}=\underline{x}^{\star}$, dunque si conclude che $q^{2}={\frac {R^{2}}{\mid {\underline {x}}\mid ^{2}}}$$q^2=\frac{R^2}{\mid \underline{x}\mid^2}$. In definitiva:

$$q={\frac {R}{\mid {\underline {x}}\mid }},\;{\underline {x}}^{\star }=\left({\frac {R}{\mid {\underline {x}}\mid }}\right)^{2}{\underline {x}}$$

$$q=\frac{R}{\mid \underline{x}\mid},\;\underline{x}^{\star}=\left(\frac{R}{\mid \underline{x}\mid}\right)^2\underline{x}$$

Una riflessione del punto ${\underline {x}}$$\underline{x}$ in ${\underline {x}}^{\star }$$\underline{x}^{\star}$ siffatta è anche detta riflessione di Kelvin. Si conclude che per il caso considerato, la funzione di Green, che potrà essere usata per scrivere espressamente $u(x)$$u(x)$ con la formula di rappresentazione, è data da:

$$G(x,y)={\frac {1}{4\pi \mid x-y\mid }}-{\frac {R}{\mid x\mid }}{\frac {1}{4\pi \mid {\frac {R^{2}}{\mid x\mid ^{2}}}x-y\mid }}$$

$$G(x,y)=\frac{1}{4\pi\mid x-y\mid}-\frac{R}{\mid x\mid}\frac{1}{4\pi \mid \frac{R^2}{\mid x\mid ^2}x-y\mid}$$