Come ultimo esempio di applicazione della formula di rappresentazione per risolvere problemi al bordo si consideri il caso in cui
in
.
Esempio (1)
Anche in questo caso il vero problema consiste nella determinazione della funzione di Green. Come visto per i due casi precedente si vuole trovare
tale che
. In questo caso però occorre introdurre un secondo parametro, oltre a
, che andrà determinato; altrimenti con la sola scelta
non si riuscirebbe a determinare completamente l'espressione di
. Pertanto sia
, con
e
da determinare. Dunque, se
con
, deve essere che:

Più precisamente, essendo

, si ha:

Passando ai quadrati, dovendo valere

la relazione appena scritta, si ha che:

Ricordando che

si può riscrivere l'equazione sopra separando i termini che contengono il termine

da quelli che non lo contengono così da ottenere:

Dovendo valere

deve quindi essere che:

In definitiva si ottiene:

Da cui si possono ricavare i valori di

:

Il valore

non è accettabile perchè porterebbe a concludere

, dunque si conclude che

. In definitiva:

Una riflessione del punto

in

siffatta è anche detta
riflessione di Kelvin. Si conclude che per il caso considerato, la funzione di Green, che potrà essere usata per scrivere espressamente

con la formula di rappresentazione, è data da:
