Cariche immagine per la sfera: la riflessione di Kelvin

Come ultimo esempio di applicazione della formula di rappresentazione per risolvere problemi al bordo si consideri il caso in cui in .

Esempio (1)

Anche in questo caso il vero problema consiste nella determinazione della funzione di Green. Come visto per i due casi precedente si vuole trovare tale che . In questo caso però occorre introdurre un secondo parametro, oltre a , che andrà determinato; altrimenti con la sola scelta non si riuscirebbe a determinare completamente l'espressione di . Pertanto sia , con e da determinare. Dunque, se con , deve essere che:

Più precisamente, essendo , si ha:
Passando ai quadrati, dovendo valere la relazione appena scritta, si ha che:
Ricordando che si può riscrivere l'equazione sopra separando i termini che contengono il termine da quelli che non lo contengono così da ottenere:
Dovendo valere deve quindi essere che:
In definitiva si ottiene:
Da cui si possono ricavare i valori di :
Il valore non è accettabile perchè porterebbe a concludere , dunque si conclude che . In definitiva:
Una riflessione del punto in siffatta è anche detta riflessione di Kelvin. Si conclude che per il caso considerato, la funzione di Green, che potrà essere usata per scrivere espressamente con la formula di rappresentazione, è data da:

 
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