Il campo elettrico

Campo elettrico prodotto da una carica puntiforme[modifica | modifica wikitesto]

Storicamente il campo elettrico fu introdotto per ragioni concettuali: le cariche elettriche esercitano forze a distanza, senza la necessità di un contatto. Si rendeva necessario un mediatore che "trasportava" la forza da una carica ad un'altra, per questo venne introdotto il concetto di campo elettrico. Le cariche quindi non esercitano direttamente una forza, ma producono un campo elettrico, ed è quest'ultimo a esercitare la forza sulle altre cariche.

Sebbene possa sembrare un artificio matematico vedremo in seguito che il campo elettrico esiste e si propaga ad una velocità finita.

Consideriamo una carica nell'origine di un sistema di assi ortogonali e immaginiamo di posizionare in un punto una carica di prova , così piccola da poter trascurare eventuali effetti dovuti alla sua presenza. Questa carica subisce, per effetto della presenza di la forza di Coulomb:

Andiamo a definire il campo elettrico prodotto da nel punto nel modo seguente:

Da questa definizione possiamo dire che se in un punto è presente un campo elettrico , una carica posta in quel punto subirà una forza:

Linee di campo[modifica | modifica wikitesto]

Le linee di campo danno un'idea a livello grafico di come il campo elettrico interagisca con lo spazio circostante.

Linee di campo 1.jpeg

Esse hanno alcune caratteristiche fondamentali:

  • Sono tangenti al campo in ogni punto;
  • Sono orientate;
  • Per convenzione sono uscenti da una carica positiva ed entranti in una negativa;
  • Due linee di campo non si intersecano mai;
  • A livello qualitativo possiamo dire che l'intensità di un campo elettrico è tanto maggiore in una certa area tanto più sono fitte le linee di campo in quell'area.

Siccome anche per il campo vale il principio di sovrapposizione, quando sono presenti più cariche il campo generato da ciascuna interagisce con quello delle altre. In particolare il campo generato da due cariche di segno opposto avrà le linee di campo disposte come segue (una struttura del genere è detta dipolo elettrico):

Linee di campo 2.jpeg

Mentre in presenza di due cariche di segno concorde avremo una disposizione di questo genere:

Linee di campo 3.jpeg

Principio di sovrapposizione[modifica | modifica wikitesto]

Immaginiamo di avere un sistema di cariche puntiformi poste ciascuna in un punto . Se una carica è posta nel punto , si può ottenere la forza agente su di essa sommando vettorialmente le forze esercitate dalle singole cariche. La stessa cosa può essere fatta con il campo elettrico: il campo elettrico generato dal sistema di cariche nel punto è:


Distribuzioni continue di carica[modifica | modifica wikitesto]

Il principio di sovrapposizione può essere applicato anche a distrubuzioni continue di carica.

Si consideri una distribuzione continua di carica, disposta lungo una curva con una densità di carica lineare . In un tratto è contenuta una carica . Indicando con i punti della distribuzione di carica, il campo generato da questa nel punto è dato dall'integrale:

Lo stesso ragionamento può essere applicato a distribuzioni di carica superficiali o volumetriche . Si ottiene:


Campo generato da un filo[modifica | modifica wikitesto]

Consideriamo un filo di lunghezza uniformemente carico, con una densità di carica lineare , e andiamo a calcolare il campo elettrico generato da tale distribuzione di carica in ogni punto dello spazio.

Come prima cosa stabiliamo un sistema di assi ortogonali, la distribuzione di carica è posta lungo l'asse , e l'origine del sistema di assi è posta al centro del filo.

CE1.jpg

Indichiamo con un generico punto dello spazio in cui calcolare il campo elettrico, con un punto della distribuzione di carica. Avremo:

Da cui:

Possiamo dunque procedere al calcolo del campo elettrico calcolando il seguente integrale:

Ora, sostituendo quanto ricavato prima e tenendo conto del fatto che , si ottiene l'integrale:

Dove , , sono i versori degli assi cartesiani.

Risolviamo ora separatamente gli integrali per le tre componenti del campo elettrico. Partiamo col calcolare :

Operiamo la seguente sostituzione:

Risolviamo ora l'integrale indefinito:

Tenendo conto del fatto che, dalla nostra sostituzione:

e utilizzando la relazione:
Si può procedere al calcolo dell'integrale definito, da cui:

Il calcolo della componente è del tutto identico e porta al risultato:

Possiamo ora lanciarci nel calcolo della componente :

Operiamo una sostituzione differente:
Da cui:
con e . Integrando si ottiene:

Unendo tutto ciò che è stato calcolato si ottiene: <dmath type = align> \underline{E}\left(x,y,z\right)= \frac{\lambda}{4\pi\varepsilon_0} \begin{pmatrix} \frac{x}{x^2+y^2} \left( \frac{z+L}{\sqrt{x^2+y^2+\left(z+L\right)^2}} - \frac{z-L}{\sqrt{x^2+y^2+\left(z-L\right)^2}} \right) \\ \frac{y}{x^2+y^2} \left( \frac{z+L}{\sqrt{x^2+y^2+\left(z+L\right)^2}} - \frac{z-L}{\sqrt{x^2+y^2+\left(z-L\right)^2}} \right) \\ \frac{1}{\sqrt{x^2+y^2+\left(z-L\right)^2}}-\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2+\left(z+L\right)^2}} \end{pmatrix} </dmath>

Campo generato da un disco[modifica | modifica wikitesto]

Consideriamo un disco di raggio carico uniformemente con densità di carica e calcoliamo il campo generato lungo il suo asse. Consideriamo un sistema di assi ortogonali, poniamo il disco nel piano in modo che il suo centro coincida con l'origine.

CE2.jpg

Utilizziamo un sistema di coordinate cilindriche per la risoluzione di questo problema. Un generico punto dell'asse del disco sarà del tipo:

mentre un generico punto del disco sarà:
Ricaviamo quindi:

Utilizzando quanto riportato sopra è possibile scrivere l'integrale necessario a calcolare il campo elettrico:

In coordinate cilindriche abbiamo con , . Si ottiene l'integrale:

L'integrale in azzera in contributi ed , resta l'integrale del campo diretto lungo l'asse :

Utilizziamo la sostituzione . Otteniamo:

Eseguendo i calcoli si ottiene:

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