Le trasformazioni infinitesime

Poiché $SO(1,3)_{c}$$SO(1,3)_ c$ è connesso, ha senso parlare di trasformazioni di Lorentz infinitesime, ossia di trasformazioni "molto vicine" all'identità. Lo studio di esse è molto utile per capire la struttura del gruppo e per ricavare l'espressione delle trasformazioni finite.

Una trasformazione infinitesima sarà del tipo:

$${\Lambda ^{\mu }}_{\nu }={\delta ^{\mu }}_{\nu }+{\Omega ^{\mu }}_{\nu }$$

$${\Lambda ^\mu }_\nu = {\delta ^\mu }_\nu + {\Omega ^\mu }_\nu$$

con $|{\Omega ^{\mu }}_{\nu }|\ll 1$$|{\Omega ^\mu }_\nu | \ll 1$; in notazione matriciale, $\Lambda =1+\Omega$$\Lambda = 1+\Omega$. Vediamo dunque quali sono le proprietà che deve soddisfare $\Omega$$\Omega$ affinché questa sia una trasformazione di Lorentz. Poiché $|{\Omega ^{\mu }}_{\nu }|\ll 1$$|{\Omega ^\mu }_\nu | \ll 1$, nei conti trascureremo tutti i termini non lineari in $\Omega$$\Omega$. Dunque, partendo dalla condizione di appartenenza al gruppo di Lorentz:

$${\begin{aligned}\Lambda ^{T}\eta \Lambda =\eta \quad \Rightarrow \quad (1+\Omega ^{T})\eta (1+\Omega )=\eta \quad \Rightarrow \\\Rightarrow \quad \eta +\Omega ^{T}\eta +\eta \Omega +\underbrace {\Omega ^{T}\eta \Omega } _{O(\Omega ^{2})}=\eta \quad \Rightarrow \\\Rightarrow \quad \Omega ^{T}\eta =-\eta \Omega \end{aligned}}$$

$${\begin{aligned}\Lambda ^{T}\eta \Lambda =\eta \quad \Rightarrow \quad (1+\Omega ^{T})\eta (1+\Omega )=\eta \quad \Rightarrow \\\Rightarrow \quad \eta +\Omega ^{T}\eta +\eta \Omega +\underbrace {\Omega ^{T}\eta \Omega } _{O(\Omega ^{2})}=\eta \quad \Rightarrow \\\Rightarrow \quad \Omega ^{T}\eta =-\eta \Omega \end{aligned}}$$

Se dunque definiamo $\omega =\eta \Omega$$\omega =\eta \Omega$, questa condizione è equivalente all'antisimmetria di $\omega$$\omega$: $\omega ^{T}=-\omega \Rightarrow (\eta \Omega )^{T}=-\eta \Omega \Rightarrow \Omega ^{T}\eta =-\eta \Omega$$\omega ^ T =-\omega \Rightarrow (\eta \Omega )^ T=-\eta \Omega \Rightarrow \Omega ^ T \eta = -\eta \Omega$. Dunque, affinché una matrice $\Omega$$\Omega$ rappresenti una trasformazione infinitesima è necessario che

$$\omega _{\mu \nu }=\eta _{\mu \rho }{\Omega ^{\rho }}_{\nu }$$

$$\omega _{\mu \nu }=\eta _{\mu \rho }{\Omega ^\rho }_\nu$$

sia antisimmetrica.

Sfruttando questo fatto possiamo dedurre la dimensione dello spazio delle matrici di Lorentz. Essa infatti è uguale alla dimensione dello spazio delle matrici antisimmetriche $4\times 4$$4\times 4$, che è 6. Di questi 6 parametri liberi, 3 corrispondono alle rotazioni tridimensionali e gli altri 3 ai boost lungo i tre assi. Il legame fra queste e $\omega$$\omega$ è:

rotazioni

in questo caso $\omega$$\omega$ ha entrambi gli indici spaziali, $\omega _{ij}=-\omega _{ji}$$\omega _{ij}=-\omega _{ji}$ e $\omega _{ij}=\varepsilon _{ijk}\varphi _{k}$$\omega _{ij}=\varepsilon _{ijk}\varphi _ k$, ove $\varphi _{k}$$\varphi _ k$ ha il significato di angolo di rotazione attorno all'asse $k$$k$

boost

in questo caso gli indici di $\omega$$\omega$ sono uno temporale e uno spaziale, $\omega _{i0}=-\omega _{0i}=\beta _{i}$$\omega _{i0}=-\omega _{0i}=\beta _ i$, ove $\beta _{i}$$\beta _ i$ è la velocità del boost lungo l'asse $i$$i$

Ora, come possiamo ricavare le trasformazioni finite da quelle infinitesime? Definendo:

$$\Lambda =e^{\Omega }=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\Omega ^{n}}{n!}}\left(=1+\Omega +O(\Omega ^{2})\right)$$

$$\Lambda =e^\Omega = \sum _{n=0}^\infty \frac{\Omega ^ n}{n!}\left(=1+\Omega +O(\Omega ^2)\right)$$

allora vale la seguente

Proposizione

La matrice $\Lambda$$\Lambda$ così costruita è una matrice del gruppo di Lorentz, cioè vale:

$$\left(e^{\Omega }\right)^{T}\eta e^{\Omega }=\eta$$

$$\left(e^\Omega \right)^ T \eta e^\Omega = \eta$$

 

Dimostrazione

Volendo, la si può fare "brutalmente"; noi la facciamo in modo un po' più originale.

Definiamo $\Lambda (t)=e^{t\Omega }$$\Lambda (t)=e^{t\Omega }$, e $f(t)=\Lambda ^{T}\eta \Lambda -\eta$$f(t)=\Lambda ^ T \eta \Lambda -\eta$. Vogliamo dunque dimostrare che $f(t)=0\quad \forall t$$f(t)=0 \quad \forall t$ . Innanzitutto si ha:

$$f(0)=\underbrace {\Lambda ^{T}(0)} _{=1}\eta \underbrace {\Lambda (0)} _{=1}-\eta =\eta -\eta =0$$

$$f(0)=\underbrace{\Lambda ^ T (0)}_{=1}\eta \underbrace{\Lambda (0)}_{=1}-\eta =\eta -\eta =0$$

Inoltre:

$${\frac {\partial }{\partial t}}f(t)={\frac {\partial }{\partial t}}\left(e^{t\Omega }\right)^{T}\cdot \eta e^{t\Omega }+\left(e^{t\Omega }\right)^{T}\eta {\frac {\partial }{\partial t}}e^{t\Omega }$$

$$\frac{\partial }{\partial t}f(t)=\frac{\partial }{\partial t}\left(e^{t\Omega }\right)^ T \cdot \eta e^{t\Omega } + \left(e^{t\Omega }\right)^ T \eta \frac{\partial }{\partial t}e^{t\Omega }$$

e poiché:

$${\frac {\partial }{\partial t}}e^{t\Omega }=e^{t\Omega }\Omega =\Omega e^{t\Omega }$$

$$\frac{\partial }{\partial t}e^{t\Omega } = e^{t\Omega }\Omega =\Omega e^{t\Omega }$$

allora:

$${\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial t}}f(t)=\left(e^{t\Omega }\right)^{T}\Omega ^{T}\eta e^{t\Omega }+\left(e^{t\Omega }\right)^{T}\eta \Omega e^{t\Omega }=\\=\left(e^{t\Omega }\right)^{T}\left(\Omega ^{T}\eta +\eta \Omega \right)e^{t\Omega }=0\end{aligned}}$$

$${\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial t}}f(t)=\left(e^{t\Omega }\right)^{T}\Omega ^{T}\eta e^{t\Omega }+\left(e^{t\Omega }\right)^{T}\eta \Omega e^{t\Omega }=\\=\left(e^{t\Omega }\right)^{T}\left(\Omega ^{T}\eta +\eta \Omega \right)e^{t\Omega }=0\end{aligned}}$$

ove l'ultimo passaggio è dovuto al fatto che $\Omega ^{T}\eta =-\eta \Omega$$\Omega ^ T \eta = -\eta \Omega$.

 

Si può verificare che, applicando questa procedura a casi particolari, ci si riconduce alle rotazioni e/o ai boost. Ad esempio, se $\omega$$\omega$ è tale che $\omega _{12}=-\omega _{21}=\varphi _{3}$$\omega _{12}=-\omega _{21}=\varphi _3$ e $\omega _{\mu \nu }=0$$\omega _{\mu \nu }=0$ se $\mu ,\nu \neq 1,2$$\mu , \nu \neq 1,2$, allora calcolando $\Omega$$\Omega$ e $e^{\Omega }$$e^\Omega$ si trova una rotazione di angolo $\varphi _{3}$$\varphi _3$ attorno all'asse 3; partendo da $\omega _{01}=-\omega _{10}=\beta _{1}$$\omega _{01}=-\omega _{10}=\beta _1$, invece, si ricava un boost di velocità $\beta _{1}$$\beta _1$ lungo l'asse 1.