Le distribuzioni in elettromagnetismo e le leggi di conservazione

Dunque, le grandezze con cui si ha a che fare in elettromagnetismo sono comunque da considerarsi distribuzioni. Ad esempio, per una carica puntiforme ferma si ha:

con . Vediamo cosa succede se proviamo a verificare la validità delle equazioni di Maxwell fuori dall'ambito distribuzionale. Innanzitutto notiamo che:

Pertanto:

perché è contratto coi tensori simmetrici e . Inoltre:

Trattando quindi i campi come funzioni e non come distribuzioni si giunge ad assurdi; le relazioni che abbiamo usato sono infatti ben definite solo per . Vediamo quindi cosa cambia in ambito distribuzionale[1]:

Ove l'ultimo passaggio è lecito in quanto l'integrale è convergente (); da notare anche che il primo integrale, pensato come integrale di funzioni, non è ben definito in quanto per . Dunque:

Il secondo termine lo si calcola applicando il teorema di Gauss e trasformandolo in un integrale di superficie. Il contributo sul bordo all'infinito è nullo perché sia il campo elettrico sia si annullano all'infinito. Del secondo integrale resta dunque il contributo:

ove , e versore radiale (da notare che il contributo cambia segno perché è diretto verso l'esterno della palla di raggio , mentre il versore uscente dal dominio punta verso il suo interno). Dunque, questo contributo è uguale a:

A questo punto, per determinare si deve moltiplicare l'ultima espressione trovata di per , e il risultato è 0 perché il tensore antisimmetrico viene contratto con dei tensori simmetrici (, e ); per determinare invece si pone , e quindi il primo integrale nell'espressione di è nullo, come avevamo già calcolato (stavolta il calcolo è lecito in quanto l'origine non appartiene al dominio d'integrazione). Resta dunque:

Dunque, abbiamo mostrato che:

  1. Il conto è impostato di modo tale che, dopo, ponendo giuste condizioni, si possa ricavare sia che .
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