La quadricorrente

Consideriamo ora una sorgente di campo elettromagnetico a simmetria sferica. Ciò significa che:

Assumiamo anche che le sorgenti di campo siano tutte confinate in una sfera di raggio , ossia:

Il teorema di Birkhoff sostiene (non lo dimostriamo) che allora il campo generato da questa distribuzione di carica al di fuori di è uguale al campo coulombiano:

con:

La quadricorrente di una particella carica che si muove lungo la traiettoria è:

Vogliamo dunque verificare che:

  1. è un quadrivettore
  2. è conservato, ossia soddisfa

Dunque:

  1. Per mostrarlo dobbiamo riscrivere in una forma che sia covariante a vista:

ovviamente questa formula è invariante per riparametrizzazioni. Verifichiamo che è equivalente alla forma che abbiamo scritto prima:

che è proprio la forma con la quale avevamo espresso prima. Vediamo ora che trasforma come un quadrivettore; scegliendo come un parametro invariante, si ha:

  1. Poiché siamo in ambito distribuzionale, dobbiamo mostrare che:

Dunque:

perché l'integrale di una derivata totale nel senso delle distribuzioni è nullo (sarebbe la valutata sul bordo del dominio, che è all'infinito, ove la si annulla).

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