L'equazione del moto

Alla luce di quanto visto, l'equazione del moto della particella diventa:

ove è la quadriforza. Vogliamo considerare il caso in cui quest'ultima è generata da campi elettromagnetici. In formalismo non covariante le equazioni dell'elettrodinamica sono scritte in termini di e ; per riscriverle in termini covarianti dobiamo "creare" un tensore a partire da essi. In questo caso, però, non possiamo "estendere" e a quadrivettori, perché non abbiamo niente da usare come loro eventuale componente temporale. "Incorporiamo", dunque, questi due campi in un tensore antisimmetrico ; è necessario che sia antisimmetrico perché in questo modo non abbiamo problemi di gradi di libertà: e in totale hanno sei gradi di libertà[1], tanti quanti quelli di un tensore antisimmetrico[2]. Definiamo dunque questo tensore di modo che:

In termini di questo tensore, le equazioni di Mawxell si scrivono:

le prime sono dette identità di Bianchi[3], e sono le equazioni di Mawxell prive di sorgenti (divergenza di e rotore di ), mentre le seconde sono propriamente dette equazioni di Mawxell (in seguito quando diremo "equazioni di Maxwell" ci riferiremo a queste), e sono quelle in presenza di sorgenti (divergenza di e rotore di ). Inoltre, nelle equazioni di Mawxell è la quadricorrente:

Dunque, tornando all'equazione del moto, si ha:

detta equazione di Lorentz. Queste tre equazioni che abbiamo visto sono "accoppiate" fra loro: mentalmente possiamo pensare che le prime due (Bianchi e Mawxell) servano per ricavare i campi date le sorgenti, mentre l'ultima (Lorentz) permetta di ricavare il moto noti i campi. In realtà il mondo è un po' più complicato: le particelle generano sì i campi, ma questi influenzano il moto stesso delle cariche che li generano; cercare di risolvere esattamente il problema è estremamente complicato, e lo vedremo alla fine del corso. Ai fini pratici, possiamo tranquillamente trascurare l'azione di un campo sulla particella stessa che lo genera.

  1. Tre per le componenti del campo elettrico e tre per quello magnetico.
  2. La condizione fissa infatti i valori della "diagonale del tensore" (si dovrà avere ), e fuori da essa rimangono 12 componenti vincolate fra loro: fissati i valori di sei di queste, tutto il tensore è automaticamente determinato.
  3. Nota: l'identità di Bianchi si può scrivere come la permutazione ciclica
    Infatti, poiché è completamente antisimmetrico:
    e poiché non è un tensore identicamente nullo, si deve avere . Svolgendo il calcolo esplicitamente (e rinominando gli indici) si ritrova la permutazione scritta sopra.
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