Cosa si intende per tensore?
Un tensore è una quantità che rispetto al gruppo di Poincaré si trasforma linearmente in maniera ben definita[1]. Vediamo di capirlo meglio per esempi.
Il più semplice tensore possibile è uno scalare: si tratta di una quantità rappresentata da un numero, chiamiamolo
, che non trasforma fra sistemi di riferimento inerziali:
. Esempi di scalari sono la massa o la carica di un corpo.
Il primo tipo di tensore non banale è il quadrivettore (controvariante), ossia una quantità che in un sistema di riferimento inerziale è rappresentata da quattro numeri, e si trasformano rispetto al gruppo di Poincaré tramite la seguente legge:

Se per esempio in
si ha
, allora in
si avrà
, ossia
; un esempio di quadrivettore è
.
Se si hanno due quadrivettori,
e
, è facile vedere che la quantità
è uno scalare. Infatti:

Dati due quadrivettori, dunque, la loro
contrazione è uno scalare.
Definendo

, allora la contrazione fra

e

si può scrivere

; ovviamente

.
I quadrivettori del tipo
sono detti quadrivettori covarianti; per capire come si trasformano sfruttiamo la legge di trasformazione dei quadrivettori controvarianti:

Generalizzando: un tensore di rango

è un oggetto con

indici "alti" e

"bassi", che indichiamo con

, che si trasforma per il gruppo di Poincaré secondo la legge:

Adesso, che operazioni si possono compiere fra i tensori?
- Prodotto tensoriale
- Dati un tensore di rango
e uno di rango
, il loro prodotto tensoriale è un tensore di rango
che ha come componenti i prodotti algebrici delle componenti dei due tensori di partenza:

- Contrazione degli indici
- Dato un tensore di rango
, contraendo
dei suoi indici controvarianti con
di quelli covarianti si ottiene un tensore di rango
. Ad esempio partendo dal tensore
, di rango
e contraendo gli indici
e
si ottiene il tensore

che è di rango
Caratteristica importante dei tensori sono le loro proprietà di simmetria o antisimmetria.
Un tensore
si dice simmetrico se
, mentre un tensore
si dice antisimmetrico se
, e analogamente per i tensori controvarianti. Da notare che nel caso di un tensore misto, come può essere
, non ha alcun senso chiedersi se sia simmetrico o antisimmetrico; la condizione
non è infatti invariante sotto trasformazioni di Lorentz:

Se un tensore è simmetrico o antisimmetrico, inoltre, tale è in qualunque sistema di riferimento inerziale (lo si verifica facilmente).
Le proprietà di simmetria si estendono facilmente a tensori di rango maggiore: un tensore si dice completamente simmetrico o completamente antisimmetrico se valgono le relative proprietà di simmetria o antisimmetria per lo scambio di una qualsiasi coppia di indici.
Dato un tensore
, si definisce la sua parte simmetrica come

e la sua parte antisimmetrica come
![{\displaystyle T_{{[\mu \nu ]}}:={\frac 12}\left(T_{{\mu \nu }}-T_{{\nu \mu }}\right)}](//restbase.wikitolearn.org/it.wikitolearn.org/v1/media/math/render/svg/c0502122664e2f1a53dbe31cbef0c65fa833bf05)
Ovviamente,
e
sono rispettivamente simmetrici e antisimmetrici, anche se il tensore di partenza
non lo era.
Altro fatto importante è che la contrazione di un tensore simmetrico con uno antisimmetrico vale zero. Supponiamo infatti che
sia simmetrico e
antisimmetrico. Allora:

cambiamo ora il nome degli indici (operazione lecita in quanto sommati, e dunque muti):
e
. Allora:

Per tensore invariante si intende un tensore che ha le stesse componenti in ogni sistema di riferimento. In altre parole,
si dice invariante se
. Vediamo alcuni esempi:
è un tensore invariante, infatti:

non è un tensore invariante, infatti:

Nota: se nei conti compare
o
abbiamo sbagliato da qualche parte, perché si tratta di oggetti non ben definiti.
- Il tensore di Levi-Civita
, che è un tensore completamente antisimmetrico con
. Verifichiamo che è invariante:

Quest'ultimo oggetto è completamente antisimmetrico rispetto allo scambio di una qualsiasi coppia di indici; infatti, scambiando
con
:

Ma di un tensore completamente antisimmetrico a quattro dimensioni, a meno di multipli, ce n'è solo uno (fissata una "casella" del tensore, tutte le altre sono automaticamente determinate). Dunque:

È un fatto (in sostanza ne è la definizione) che
. Lo si può "vedere" facilmente in due dimensioni:

e se poniamo ad esempio
e
allora, tenendo conto che
e che
, si ha

Dunque:

Ma come conseguenza del fatto che
deve soddisfare la condizione del gruppo di Poincaré si ha[2] che
, e quindi:

In realtà, quindi,
è invariante rispetto a tutte le trasformazioni di Lorentz con
, mentre cambia di segno per quelle con
; è per questo che la dicitura corretta per
è quella di pseudotensore invariante.
Ora, esistono altri tensori invarianti diversi da quelli visti? Ossia, esistono tensori invarianti che non siano combinazioni lineari di
e
?
La risposta, contenuta in un teorema che noi non dimostriamo, è negativa: se
è un generico tensore invariante, questo non può che essere una combinazione lineare di
o di prodotti di
, ossia:

- ↑ Matematicamente, un tensore forma una rappresentazione del gruppo di Poincaré, cioè una maniera di associare ad ogni elemento del gruppo una matrice.
- ↑

