I tensori

Cosa si intende per tensore? Un tensore è una quantità che rispetto al gruppo di Poincaré si trasforma linearmente in maniera ben definita. Vediamo di capirlo meglio per esempi.

Il più semplice tensore possibile è uno scalare: si tratta di una quantità rappresentata da un numero, chiamiamolo $\varphi$$\varphi$, che non trasforma fra sistemi di riferimento inerziali: $\varphi =\varphi '$$\varphi =\varphi '$. Esempi di scalari sono la massa o la carica di un corpo.

Il primo tipo di tensore non banale è il quadrivettore (controvariante), ossia una quantità che in un sistema di riferimento inerziale è rappresentata da quattro numeri, e si trasformano rispetto al gruppo di Poincaré tramite la seguente legge:

$${a'}^{\mu }={\Lambda ^{\mu }}_{\nu }a^{\nu }$$

$${a'}^{\mu }={\Lambda ^{\mu }}_{\nu }a^{\nu }$$

Se per esempio in $K$$K$ si ha $V^{\mu }=W^{\mu }$$V^{\mu }=W^{\mu }$, allora in $K'$$K'$ si avrà ${V'}^{\mu }={W'}^{\mu }$${V'}^{\mu }={W'}^{\mu }$, ossia ${\Lambda ^{\mu }}_{\nu }V^{\nu }={\Lambda ^{\mu }}_{\nu }W^{\nu }$${\Lambda ^{\mu }}_{\nu }V^{\nu }={\Lambda ^{\mu }}_{\nu }W^{\nu }$; un esempio di quadrivettore è $dx^{\mu }$$dx^{\mu }$. Se si hanno due quadrivettori, $V^{\mu }$$V^{\mu }$ e $W^{\mu }$$W^{\mu }$, è facile vedere che la quantità $\eta _{\mu \nu }V^{\mu }W^{\nu }$$\eta _{{\mu \nu }}V^{\mu }W^{\nu }$ è uno scalare. Infatti:

$${\begin{aligned}\eta _{\mu \nu }{V'}^{\mu }{W'}^{\nu }=\eta _{\mu \nu }{\Lambda ^{\mu }}_{\rho }V^{\rho }{\Lambda ^{\nu }}_{\sigma }W^{\sigma }=\eta _{\mu \nu }{\Lambda ^{\mu }}_{\rho }{\Lambda ^{\nu }}_{\sigma }V^{\rho }W^{\sigma }=\\=\eta _{\rho \sigma }V^{\rho }W^{\sigma }=\eta _{\mu \nu }V^{\mu }W^{\nu }\quad \Rightarrow \\\Rightarrow \quad \eta _{\mu \nu }{V'}^{\mu }{W'}^{\nu }=\eta _{\mu \nu }V^{\mu }W^{\nu }\end{aligned}}$$

$${\begin{aligned}\eta _{\mu \nu }{V'}^{\mu }{W'}^{\nu }=\eta _{\mu \nu }{\Lambda ^{\mu }}_{\rho }V^{\rho }{\Lambda ^{\nu }}_{\sigma }W^{\sigma }=\eta _{\mu \nu }{\Lambda ^{\mu }}_{\rho }{\Lambda ^{\nu }}_{\sigma }V^{\rho }W^{\sigma }=\\=\eta _{\rho \sigma }V^{\rho }W^{\sigma }=\eta _{\mu \nu }V^{\mu }W^{\nu }\quad \Rightarrow \\\Rightarrow \quad \eta _{\mu \nu }{V'}^{\mu }{W'}^{\nu }=\eta _{\mu \nu }V^{\mu }W^{\nu }\end{aligned}}$$

Dati due quadrivettori, dunque, la loro contrazione è uno scalare. Definendo $V_{\mu }=\eta _{\mu \nu }V^{\nu }$$V_{\mu }=\eta _{{\mu \nu }}V^{\nu }$, allora la contrazione fra $V^{\mu }$$V^{\mu }$ e $W^{\mu }$$W^{\mu }$ si può scrivere $V_{\mu }W^{\mu }$$V_{\mu }W^{\mu }$; ovviamente $V_{\mu }W^{\mu }=V^{\mu }W_{\mu }$$V_{\mu }W^{\mu }=V^{\mu }W_{\mu }$.

I quadrivettori del tipo $V_{\mu }$$V_{\mu }$ sono detti quadrivettori covarianti; per capire come si trasformano sfruttiamo la legge di trasformazione dei quadrivettori controvarianti:

$${\begin{aligned}V_{\mu }=\eta _{\mu \nu }V^{\nu }\quad \Rightarrow \\\Rightarrow \quad {V'}_{\mu }=\eta _{\mu \nu }{V'}^{\nu }=\eta _{\mu \nu }{\Lambda ^{\nu }}_{\rho }V^{\rho }=\eta _{\mu \nu }{\Lambda ^{\nu }}_{\rho }\eta ^{\rho \sigma }V_{\sigma }={\tilde {\Lambda }}_{\mu }{}^{\sigma }V_{\sigma }={\tilde {\Lambda }}_{\mu }{}^{\nu }V_{\nu }\quad \Rightarrow \\\Rightarrow \quad {V'}_{\mu }={\tilde {\Lambda }}_{\mu }{}^{\nu }V_{\nu }\end{aligned}}$$

$${\begin{aligned}V_{\mu }=\eta _{\mu \nu }V^{\nu }\quad \Rightarrow \\\Rightarrow \quad {V'}_{\mu }=\eta _{\mu \nu }{V'}^{\nu }=\eta _{\mu \nu }{\Lambda ^{\nu }}_{\rho }V^{\rho }=\eta _{\mu \nu }{\Lambda ^{\nu }}_{\rho }\eta ^{\rho \sigma }V_{\sigma }={\tilde {\Lambda }}_{\mu }{}^{\sigma }V_{\sigma }={\tilde {\Lambda }}_{\mu }{}^{\nu }V_{\nu }\quad \Rightarrow \\\Rightarrow \quad {V'}_{\mu }={\tilde {\Lambda }}_{\mu }{}^{\nu }V_{\nu }\end{aligned}}$$

Generalizzando: un tensore di rango $(m,n)$$(m,n)$ è un oggetto con $m$$m$ indici "alti" e $n$$n$ "bassi", che indichiamo con $T_{\nu _{1}\dots \nu _{n}}^{\mu _{1}\dots \mu _{m}}$$T_{{\nu _{1}\dots \nu _{n}}}^{{\mu _{1}\dots \mu _{m}}}$, che si trasforma per il gruppo di Poincaré secondo la legge:

$${T'}_{\nu _{1}\dots \nu _{n}}^{\mu _{1}\dots \mu _{m}}={\Lambda ^{\mu _{1}}}_{\rho _{1}}\cdots {\Lambda ^{\mu _{m}}}_{\rho _{m}}{\tilde {\Lambda }}_{\nu _{1}}{}^{\sigma _{1}}\cdots {\tilde {\Lambda }}_{\nu _{n}}{}^{\sigma _{n}}T_{\sigma _{1}\dots \sigma _{n}}^{\rho _{1}\dots \rho _{m}}$$

$${T'}_{{\nu _{1}\dots \nu _{n}}}^{{\mu _{1}\dots \mu _{m}}}={\Lambda ^{{\mu _{1}}}}_{{\rho _{1}}}\cdots {\Lambda ^{{\mu _{m}}}}_{{\rho _{m}}}{\tilde {\Lambda }}_{{\nu _{1}}}{}^{{\sigma _{1}}}\cdots {\tilde {\Lambda }}_{{\nu _{n}}}{}^{{\sigma _{n}}}T_{{\sigma _{1}\dots \sigma _{n}}}^{{\rho _{1}\dots \rho _{m}}}$$

Adesso, che operazioni si possono compiere fra i tensori?

Prodotto tensoriale

Dati un tensore di rango $(m,n)$$(m,n)$ e uno di rango $(k,\ell )$$(k,\ell )$, il loro prodotto tensoriale è un tensore di rango $(m+k,n+\ell )$$(m+k,n+\ell )$ che ha come componenti i prodotti algebrici delle componenti dei due tensori di partenza:

$$V_{\nu _{1}\dots \nu _{n}}^{\mu _{1}\dots \mu _{m}},\quad W_{\nu _{1}\dots \nu _{\ell }}^{\mu _{1}\dots \mu _{k}}\quad \Rightarrow \quad T_{\nu _{1}\dots \nu _{n+\ell }}^{\mu _{1}\dots \mu _{m+k}}=V_{\nu _{1}\dots \nu _{n}}^{\mu _{1}\dots \mu _{m}}W_{\nu _{1}\dots \nu _{\ell }}^{\mu _{1}\dots \mu _{k}}$$

$$V_{{\nu _{1}\dots \nu _{n}}}^{{\mu _{1}\dots \mu _{m}}},\quad W_{{\nu _{1}\dots \nu _{\ell }}}^{{\mu _{1}\dots \mu _{k}}}\quad \Rightarrow \quad T_{{\nu _{1}\dots \nu _{{n+\ell }}}}^{{\mu _{1}\dots \mu _{{m+k}}}}=V_{{\nu _{1}\dots \nu _{n}}}^{{\mu _{1}\dots \mu _{m}}}W_{{\nu _{1}\dots \nu _{\ell }}}^{{\mu _{1}\dots \mu _{k}}}$$

Contrazione degli indici

Dato un tensore di rango $(m,n)$$(m,n)$, contraendo $k$$k$ dei suoi indici controvarianti con $k$$k$ di quelli covarianti si ottiene un tensore di rango $(m-k,n-k)$$(m-k,n-k)$. Ad esempio partendo dal tensore $T_{\rho \sigma }^{\lambda \mu \nu }$$T_{{\rho \sigma }}^{{\lambda \mu \nu }}$, di rango $(3,2)$$(3,2)$ e contraendo gli indici $\mu$$\mu$ e $\rho$$\rho$ si ottiene il tensore

$$W_{\sigma }^{\lambda \nu }=T_{\mu \sigma }^{\lambda \mu \nu }$$

$$W_{\sigma }^{{\lambda \nu }}=T_{{\mu \sigma }}^{{\lambda \mu \nu }}$$

che è di rango $(2,1)$$(2,1)$

Caratteristica importante dei tensori sono le loro proprietà di simmetria o antisimmetria. Un tensore $S_{\mu \nu }$$S_{{\mu \nu }}$ si dice simmetrico se $S_{\mu \nu }=S_{\nu \mu }$$S_{{\mu \nu }}=S_{{\nu \mu }}$, mentre un tensore $A_{\mu \nu }$$A_{{\mu \nu }}$ si dice antisimmetrico se $A_{\mu \nu }=-A_{\nu \mu }$$A_{{\mu \nu }}=-A_{{\nu \mu }}$, e analogamente per i tensori controvarianti. Da notare che nel caso di un tensore misto, come può essere ${T^{\mu }}_{\nu }$${T^{\mu }}_{\nu }$, non ha alcun senso chiedersi se sia simmetrico o antisimmetrico; la condizione ${T^{\mu }}_{\nu }={T^{\nu }}_{\mu }$${T^{\mu }}_{\nu }={T^{\nu }}_{\mu }$ non è infatti invariante sotto trasformazioni di Lorentz:

$${T^{\mu }}_{\nu }={T^{\nu }}_{\mu }\quad \Rightarrow \quad {{T'}^{\mu }}_{\nu }\neq {{T'}^{\nu }}_{\mu }$$

$${T^{\mu }}_{\nu }={T^{\nu }}_{\mu }\quad \Rightarrow \quad {{T'}^{\mu }}_{\nu }\neq {{T'}^{\nu }}_{\mu }$$

Se un tensore è simmetrico o antisimmetrico, inoltre, tale è in qualunque sistema di riferimento inerziale (lo si verifica facilmente).

Le proprietà di simmetria si estendono facilmente a tensori di rango maggiore: un tensore si dice completamente simmetrico o completamente antisimmetrico se valgono le relative proprietà di simmetria o antisimmetria per lo scambio di una qualsiasi coppia di indici.

Dato un tensore $T_{\mu \nu }$$T_{{\mu \nu }}$, si definisce la sua parte simmetrica come

$$T_{(\mu \nu )}:={\frac {1}{2}}\left(T_{\mu \nu }+T_{\nu \mu }\right)$$

$$T_{{(\mu \nu )}}:={\frac 12}\left(T_{{\mu \nu }}+T_{{\nu \mu }}\right)$$

e la sua parte antisimmetrica come

$$T_{[\mu \nu ]}:={\frac {1}{2}}\left(T_{\mu \nu }-T_{\nu \mu }\right)$$

$$T_{{[\mu \nu ]}}:={\frac 12}\left(T_{{\mu \nu }}-T_{{\nu \mu }}\right)$$

Ovviamente, $T_{(\mu \nu )}$$T_{{(\mu \nu )}}$ e $T_{[\mu \nu ]}$$T_{{[\mu \nu ]}}$ sono rispettivamente simmetrici e antisimmetrici, anche se il tensore di partenza $T_{\mu \nu }$$T_{{\mu \nu }}$ non lo era.

Altro fatto importante è che la contrazione di un tensore simmetrico con uno antisimmetrico vale zero. Supponiamo infatti che $S_{\mu \nu }$$S_{{\mu \nu }}$ sia simmetrico e $A_{\mu \nu }$$A_{{\mu \nu }}$ antisimmetrico. Allora:

$$S_{\mu \nu }A^{\mu \nu }=-S_{\mu \nu }A^{\nu \mu }=-S_{\nu \mu }A^{\nu \mu }$$

$$S_{{\mu \nu }}A^{{\mu \nu }}=-S_{{\mu \nu }}A^{{\nu \mu }}=-S_{{\nu \mu }}A^{{\nu \mu }}$$

cambiamo ora il nome degli indici (operazione lecita in quanto sommati, e dunque muti): $\mu \to \nu$$\mu \to \nu$ e $\nu \to \mu$$\nu \to \mu$. Allora:

$$S_{\mu \nu }A^{\mu \nu }=-S_{\mu \nu }A^{\mu \nu }\quad \Rightarrow \quad S_{\mu \nu }A^{\mu \nu }=0$$

$$S_{{\mu \nu }}A^{{\mu \nu }}=-S_{{\mu \nu }}A^{{\mu \nu }}\quad \Rightarrow \quad S_{{\mu \nu }}A^{{\mu \nu }}=0$$

Per tensore invariante si intende un tensore che ha le stesse componenti in ogni sistema di riferimento. In altre parole, $T^{\mu \nu \dots }$$T^{{\mu \nu \dots }}$ si dice invariante se ${T'}^{\mu \nu \dots }=T^{\mu \nu \dots }$${T'}^{{\mu \nu \dots }}=T^{{\mu \nu \dots }}$. Vediamo alcuni esempi:

• $\eta ^{\mu \nu }$$\eta ^{{\mu \nu }}$ è un tensore invariante, infatti:

$${\eta '}^{\mu \nu }={\Lambda ^{\mu }}_{\rho }{\Lambda ^{\nu }}_{\sigma }\eta ^{\rho \sigma }=\eta ^{\mu \nu }$$

$${\eta '}^{{\mu \nu }}={\Lambda ^{\mu }}_{\rho }{\Lambda ^{\nu }}_{\sigma }\eta ^{{\rho \sigma }}=\eta ^{{\mu \nu }}$$

• $\delta ^{\mu \nu }$$\delta ^{{\mu \nu }}$ non è un tensore invariante, infatti:

$${\delta '}^{\mu \nu }={\Lambda ^{\mu }}_{\rho }{\Lambda ^{\nu }}_{\sigma }\delta ^{\rho \sigma }\neq \delta ^{\mu \nu }$$

$${\delta '}^{{\mu \nu }}={\Lambda ^{\mu }}_{\rho }{\Lambda ^{\nu }}_{\sigma }\delta ^{{\rho \sigma }}\neq \delta ^{{\mu \nu }}$$

Nota: se nei conti compare $\delta ^{\mu \nu }$$\delta ^{{\mu \nu }}$ o $\delta _{\mu \nu }$$\delta _{{\mu \nu }}$ abbiamo sbagliato da qualche parte, perché si tratta di oggetti non ben definiti.

• Il tensore di Levi-Civita $\varepsilon ^{\mu \nu \rho \sigma }$$\varepsilon ^{{\mu \nu \rho \sigma }}$, che è un tensore completamente antisimmetrico con $\varepsilon ^{0123}=+1$$\varepsilon ^{{0123}}=+1$. Verifichiamo che è invariante:

$${\varepsilon '}^{\mu \nu \rho \sigma }={\Lambda ^{\mu }}_{\alpha }{\Lambda ^{\nu }}_{\beta }{\Lambda ^{\rho }}_{\gamma }{\Lambda ^{\sigma }}_{\delta }\varepsilon ^{\alpha \beta \gamma \delta }$$

$${\varepsilon '}^{{\mu \nu \rho \sigma }}={\Lambda ^{\mu }}_{\alpha }{\Lambda ^{\nu }}_{\beta }{\Lambda ^{\rho }}_{\gamma }{\Lambda ^{\sigma }}_{\delta }\varepsilon ^{{\alpha \beta \gamma \delta }}$$

Quest'ultimo oggetto è completamente antisimmetrico rispetto allo scambio di una qualsiasi coppia di indici; infatti, scambiando $\mu$$\mu$ con $\nu$$\nu$:

$${\varepsilon '}^{\nu \mu \rho \sigma }={\Lambda ^{\nu }}_{\beta }{\Lambda ^{\mu }}_{\alpha }{\Lambda ^{\rho }}_{\gamma }{\Lambda ^{\sigma }}_{\delta }\underbrace {\varepsilon ^{\beta \alpha \gamma \delta }} _{-\varepsilon ^{\alpha \beta \gamma \delta }}=-{\varepsilon '}^{\mu \nu \rho \sigma }$$

$${\varepsilon '}^{{\nu \mu \rho \sigma }}={\Lambda ^{\nu }}_{\beta }{\Lambda ^{\mu }}_{\alpha }{\Lambda ^{\rho }}_{\gamma }{\Lambda ^{\sigma }}_{\delta }\underbrace {\varepsilon ^{{\beta \alpha \gamma \delta }}}_{{-\varepsilon ^{{\alpha \beta \gamma \delta }}}}=-{\varepsilon '}^{{\mu \nu \rho \sigma }}$$

Ma di un tensore completamente antisimmetrico a quattro dimensioni, a meno di multipli, ce n'è solo uno (fissata una "casella" del tensore, tutte le altre sono automaticamente determinate). Dunque:

$${\varepsilon '}^{\mu \nu \rho \sigma }=x{\varepsilon }^{\mu \nu \rho \sigma }$$

$${\varepsilon '}^{{\mu \nu \rho \sigma }}=x{\varepsilon }^{{\mu \nu \rho \sigma }}$$

È un fatto (in sostanza ne è la definizione) che $x=\det \Lambda$$x=\det \Lambda$. Lo si può "vedere" facilmente in due dimensioni:

$$\Lambda ={\begin{pmatrix}{\Lambda ^{1}}_{1}&{\Lambda ^{1}}_{2}\\{\Lambda ^{2}}_{1}&{\Lambda ^{2}}_{2}\end{pmatrix}}\quad {\Lambda ^{\mu }}_{\alpha }{\Lambda ^{\nu }}_{\beta }\varepsilon ^{\alpha \beta }=x\varepsilon ^{\mu \nu }$$

$$\Lambda ={\begin{pmatrix}{\Lambda ^{1}}_{1}&{\Lambda ^{1}}_{2}\\{\Lambda ^{2}}_{1}&{\Lambda ^{2}}_{2}\end{pmatrix}}\quad {\Lambda ^{\mu }}_{\alpha }{\Lambda ^{\nu }}_{\beta }\varepsilon ^{{\alpha \beta }}=x\varepsilon ^{{\mu \nu }}$$

e se poniamo ad esempio $\mu =1$$\mu =1$ e $\nu =2$$\nu =2$ allora, tenendo conto che $\varepsilon ^{12}=1$$\varepsilon ^{{12}}=1$ e che $\varepsilon ^{\mu \mu }=0$$\varepsilon ^{{\mu \mu }}=0$, si ha

$${\Lambda ^{1}}_{\alpha }{\Lambda ^{2}}_{\beta }\varepsilon ^{\alpha \beta }=x\quad \Rightarrow \quad x={\Lambda ^{1}}_{1}{\Lambda ^{2}}_{2}\varepsilon ^{12}+{\Lambda ^{1}}_{2}{\Lambda ^{2}}_{1}\varepsilon ^{21}={\Lambda ^{1}}_{1}{\Lambda ^{2}}_{2}-{\Lambda ^{1}}_{2}{\Lambda _{1}^{2}}=\det \Lambda$$

$${\Lambda ^{1}}_{\alpha }{\Lambda ^{2}}_{\beta }\varepsilon ^{{\alpha \beta }}=x\quad \Rightarrow \quad x={\Lambda ^{1}}_{1}{\Lambda ^{2}}_{2}\varepsilon ^{{12}}+{\Lambda ^{1}}_{2}{\Lambda ^{2}}_{1}\varepsilon ^{{21}}={\Lambda ^{1}}_{1}{\Lambda ^{2}}_{2}-{\Lambda ^{1}}_{2}{\Lambda _{1}^{2}}=\det \Lambda$$

Dunque:

$${\varepsilon '}^{\mu \nu \rho \sigma }=\det \Lambda \varepsilon ^{\mu \nu \rho \sigma }$$

$${\varepsilon '}^{{\mu \nu \rho \sigma }}=\det \Lambda \varepsilon ^{{\mu \nu \rho \sigma }}$$

Ma come conseguenza del fatto che $\Lambda$$\Lambda$ deve soddisfare la condizione del gruppo di Poincaré si ha che $\det \Lambda =\pm 1$$\det \Lambda =\pm 1$, e quindi:

$${\varepsilon '}^{\mu \nu \rho \sigma }=\pm \varepsilon ^{\mu \nu \rho \sigma }$$

$${\varepsilon '}^{{\mu \nu \rho \sigma }}=\pm \varepsilon ^{{\mu \nu \rho \sigma }}$$

In realtà, quindi, $\varepsilon$$\varepsilon$ è invariante rispetto a tutte le trasformazioni di Lorentz con $\det \Lambda =1$$\det \Lambda =1$, mentre cambia di segno per quelle con $\det \Lambda =-1$$\det \Lambda =-1$; è per questo che la dicitura corretta per $\varepsilon$$\varepsilon$ è quella di pseudotensore invariante.

Ora, esistono altri tensori invarianti diversi da quelli visti? Ossia, esistono tensori invarianti che non siano combinazioni lineari di $\eta ^{\mu \nu }$$\eta ^{{\mu \nu }}$ e $\varepsilon ^{\alpha \beta \gamma \delta }$$\varepsilon ^{{\alpha \beta \gamma \delta }}$? La risposta, contenuta in un teorema che noi non dimostriamo, è negativa: se $T^{\mu \nu \rho \sigma }$$T^{{\mu \nu \rho \sigma }}$ è un generico tensore invariante, questo non può che essere una combinazione lineare di $\varepsilon$$\varepsilon$ o di prodotti di $\eta$$\eta$, ossia:

$$T^{\mu \nu \rho \sigma }=a\varepsilon ^{\mu \nu \rho \sigma }+b\eta ^{\mu \nu }\eta ^{\rho \sigma }+c\eta ^{\mu \rho }\eta ^{\nu \sigma }+d\eta ^{\mu \sigma }\eta ^{\nu \rho }$$

$$T^{{\mu \nu \rho \sigma }}=a\varepsilon ^{{\mu \nu \rho \sigma }}+b\eta ^{{\mu \nu }}\eta ^{{\rho \sigma }}+c\eta ^{{\mu \rho }}\eta ^{{\nu \sigma }}+d\eta ^{{\mu \sigma }}\eta ^{{\nu \rho }}$$