Teoremi dei valori intermedi e esistenza degli zeri

Passiamo adesso a dimostrare i teoremi sulle funzioni continue. Per farci un'idea: le funzioni continue sono tante e diverse. Le costanti, le rette, i polinomi, i logaritmi, gli esponenziali, le funzioni goniometriche sono tutte funzioni continue. Inoltre, somma, differenza, prodotto e rapporto di funzioni continue sono anch'esse funzioni continua, prestando attenzione al rapporto e al campo di esistenza del denominatore. Ci sono diversi teoremi sulle proprietà di queste funzioni, tuttavia dobbiamo fare un passo indietro alla teoria dei numeri reali.

Nell'esporre i reali abbiamo parlati degli assiomi da cui partire per costruire la teoria dell'analisi; tra questi, abbiamo enunciato l'importantissimo assioma degli intervalli incapsulati, che affermo che, dati:

Intervalli in , allora possiamo dire che la loro intersezione è diversa dall'insieme vuoto, ovvero:
.

Da questo assioma si ricava una proprietà importantissima.

Teorema (Proprietà degli intervalli)

Siano

Intervalli dell'insieme dei reali con queste due caratteristiche:
Allora diremo che la loro intersezione è vuota:
E inoltre gli estremi tendono al punto :

 


Dimostrazione

Supponiamo che ; prendiamo per esempio il caso in cui . Avremo che:

Passando al limite per , avremo che:
Ovvero è unico.

Inoltre, è vero che , quindi:

Quindi, . Ma posso scrivere e, passando al limite, osservo che, così come , anche .

 


Questa proprietà ci sarà fondamentale per i prossimi teoremi.

Teorema (dei valori intermedi)

Sia ; sia inoltre . Allora possiamo dire che esiste almeno un punto dell'intervallo tale che :

 


Si osservi brevemente la scrittura . Essa si legge come appartiene alle funzioni continue che vanno da un intervallo in e la useremo spesso d'ora in avanti come notazione.

Dimostrazione

Sia . Dividiamo l'intervallo in due intervalli di lunghezza uguale: . si troverà tra i valori della funzioni dei due estremi di uno solo dei due intervalli. Quindi:

  • Se , è dimostrato il teorema;
  • se , chiamo ;
  • se , chiamo .

Avremo a questo punto un intervallo e posso iterare il processo fatto finora all'infinito, ottenendo intervalli con le seguenti proprietà:

  • ;
  • ;
  • , per cui .

Posso quindi dire che esiste ed è unico un punto appartenente all'intersezione tale che si trovi sempre tra gli estremi di ogni intervallo, ovvero:

Inoltre, per come ho costruito gli intervalli posso dire:
Osservo che e quando , ne consegue che:
Come volevasi dimostrare.

 


Questo teorema ha importanti conseguenze; il fatto che una funzione continua assuma tutti i valori compresi tra i valori della funzione agli non esclude che possa anche andare oltre l'intervallo , solo che non sempre accade; invece, accade sempre che i valori intermedi siano tutti assunti dalla funzione, com'è intuitivamente comprensibile immaginando il grafico di una qualunque funzione continua.

Teorema (di esistenza degli zeri)

Sia ; sia inoltre , ovvero uno dei due estremi sia negativo. Possiamo allora affermare che la funzione si annullerà in almeno un punto:

 


Questo teorema è una diretta conseguenza del precedente; la dimostrazione è simile a quella precedente ed è lasciata per esercizio.

Corollario (del punto fisso)

Sia ; allora esisterà almeno un punto la cui immagine è se stesso:

 


Anche per questo corollario non forniremo la dimostrazione poiché diretta conseguenza del precedente.

Teorema

Sia . Allora:

 
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