Teorema di Weierstrass

Stiamo procedendo bene verso la chiusura di questa sezione. Abbiamo definito il limite, parlato di continuità e abbiamo elencato e dimostrato diverse proprietà delle funzioni continue. In quest'ultimo capitolo affronteremo il teorema fondamentale sulle funzioni continue e poi faremo un piccolo passo indietro, alla teoria degli insiemi numerici.

Teorema (di Weierstrass)

Sia . Allora essa ammetterà massimo e minimo:

 


In questo teorema è fondamentale un'ipotesi, oltre alla continuità: che la funzione sia definita su un intervallo chiuso e limitato. Qualora ciò non fosse, il teorema di Weierstrass perde immediatamente di veridicità. (Esempio: non ha minimo).

Dimostrazione

Dimostreremo il caso del massimo; per il minimo il procedimento è analogo. Chiamo, per comodità,

Divido l'intervallo in due intervalli di lunghezza uguale, cercando . Il processo è esattamente identico a quello fatto nella dimostrazione della proprietà dei valori intermedi. Otterremo degli intervalli con diverse proprietà: , la loro intersezione non è vuota ed è presente un elemento in esso a cui gli estremi tendono e, quindi, avrò trovato il mio ricercato. Arrestiamolo.

Poiché è continua in tutto l'intervallo, sarà continua anche in ; sia :

Osserviamo che, definitivamente, poiché gli estremi tendono al punto :
Definitivamente questo si traduce dicendo che è un maggiorante di , quindi:
Quindi è finito e reale.

C'è un'altra osservazione da fare: ma, per la definizione di , sappiamo che . Ricapitolando tutte queste conclusioni:

Ed è esattamente il massimo della funzione, come volevasi dimostrare.

 
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