Limiti notevoli

Come abbiamo già visto per le successioni, spesso calcolare limiti di funzioni può non essere così semplice. Moralmente, sostituire all'incognita il valore a cui essa tende nella funzione è un buon modo di calcolare il limite, salvo però non incappare in forme indeterminate. A tal proposito, per quanto riguarda le funzioni, è possibile eliminare la forma indeterminata poiché, in questo caso, sia il numeratore che il denominatore tendono a far risultare la frazione un infinitesimo. Lo stesso discorso vale per la forma poiché, come prima, numeratore e denominatore tendono a far risultare la frazione un infinito. Tuttavia restano le già elencate forma indeterminate per le quali non è possibile un calcolo esplicito. In virtù di ciò si introducono altri elementi, per quanto riguarda il calcolo dei limiti di funzioni, che semplificano i calcoli e rendono possibile l'annullamento delle forme indeterminate; per questo rimandiamo anche alla sezione del calcolo differenziale.

Tuttavia, prima di parlare di approssimazione polinomiale o della regola di de l'Hôpital è possibile studiare dei casi particolari di limiti, che sono i limiti notevoli. Attraverso modifiche alla scrittura della funzione, se si può ricondursi a questi limiti, è possibile semplificare i calcoli o, addirittura, risolvere forme indeterminate. Iniziamo a vederne qualcuno.

Teorema

Possiamo dire che il seno di un infinitesimo si comporta come l'infinitesimo stesso, ovvero:

 


Dimostrazione

Poiché il seno è una funzione periodica, studiamo il caso in cui . Da un'attenta osservazione grafica della definizione di seno e tangente, risulta evidente che:

Posso dividere tutti i membri della disuguaglianza per e, ricordando le relazioni tra reciproci, osservare la conclusione:

 


Dal limite del seno si possono determinare altri limiti notevoli.

Teorema

 


Dimostrazione

Lavoriamo prima sulla funzione per ricondurla al limite notevole presente sopra; possiamo moltiplicare e dividere la frazione per e, svolgendo i calcoli ottenere:

Passando quindi al limite e ricordando le proprietà delle operazioni:

 


Allo stesso modo si può dimostrare (esercizio):

Passiamo adesso ad altro tipo di limiti notevoli: funzioni esponenziali e logaritmiche.

Teorema

 


Dimostrazione

Per il calcolo di questo limite, dovremo lavorare molto sulla serie numerica equivalente all'esponenziale. Come abbiamo nella sezione dedicata alle serie, infatti:

A questo punto, calcoliamo la differenza tra la funzione di partenza e il limite, ovvero:
O, per rimettere le cose a posto:
Quindi, passando al limite per , abbiamo dimostrato che la differenza tra la funzione e il limite è infinitesima, e possiamo concludere che:

 


Un altro limite importantissimo è il seguente, che sfrutta il precedente appena dimostrato.

Teorema

 


Dimostrazione

Pongo:

Quindi il limite, dopo questa opportuna sostituzione di variabili diventa:

 
 PrecedenteSuccessivo