Definizione di limite e teorema ponte

Lasciamoci alle spalle le successioni e le serie numeriche, pur anticipando che ci saranno utili da ora in avanti per molte definizioni e collegamenti, ed entriamo in un altro ambito dell'analisi di funzioni reali a variabile reale: il calcolo differenziale. Nella prossima sezione tratteremo attentamente e profondamente questo argomento, in questa ci soffermeremo sui limiti di funzioni, pur tenendo presente il fatto che anche questi rientrano nell'ambito del calcolo differenziale.

Abbiamo già parlato di limite studiando le successioni reali. In sintesi, cosa vuol dire passare al limite? Dobbiamo immedesimarci nella funzione e cercare di capire come questa si comporta in un intorno del punto in cui andiamo a studiare il limite. Esistono diversi tipi di limite: daremo la definizione generale di limite ed elencheremo i casi particolari, ricordando che sono anch'esse definizioni.

Definizione (Limite)

Sia . Siano , con la proprietà che . Diremo che:

Se, quando è sufficientemente vicino , allora è arbitrariamente vicina a '

 


Diamo l'elenco infinito dei casi possibili! Enjoy!

1.

2. :

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

Effettivamente erano tantini, non chiediamo perdono per il semplice motivo che la matematica è così. Ora, che collegamento esiste tra i limiti di successioni e limiti di funzioni?

Teorema (ponte)

Ovvero che, presa una qualunque successione reale che tenda a si ha che tende a . Non forniremo la dimostrazione di questo teorema.

 


In particolare, tutte le proprietà già enunciate per i limiti di successioni valgono anche per i limiti di funzioni (somma, prodotto, ecc..)

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