Continuità di una funzione

Parliamo adesso di continuità di una funzione, studiando i limiti. Per fare ciò dobbiamo prima di tutto definire due nuovi tipi di limite, che sono casi particolari della definizione generale.

Definizione (Limite destro e sinistro)

Sia una funzione; siano . Diremo che:

  • se, a patto di essere sufficientemente vicino a da DESTRA, e' arbitrariamente vicina a
  • se, a patto di essere sufficientemente vicino a da SINITRA, e' arbitrariamente vicina a
 


Da cui un teorema tanto immediato quanto banale (magari anche inutile, ma nulla è inutile in matematica).

Teorema

Sia . Allora:

 


La dimostrazione è banale e non la forniremo.

Diamo a questo punto la definizione di continuità.

Definizione (Continuità)

Sia , con . Diremo che è continua in se:

Ovvero .

 


Definizione (Uniforme continuità)

Sia ; si dice che la funzione è uniformemente continua in se:

 


Per quanto riguarda lo studio della continuità, l'algoritmo da iterare ogni volta è lo stesso:

  1. Vedere se la funzione è definita nel punto, e calcolarne il valore;
  2. Calcolare limiti destro e sinistro e vedere se sono finiti e coincidenti;
  3. Se i limiti coincidono col valore della funzione nel punto, essa è continua nel punto, altrimenti nisba.


Punti di discontinuità[modifica | modifica wikitesto]

È importante adesso parlare di punti di discontinuità. Se, sfruttando l'algoritmo precedente, si trovano alcuni punti di ritorno, ovvero i limiti destro e sinistro non sono finiti o essi non sono uguali al valore della funzione, ci si trova davanti a dei punti di discontinuità. Esistono in generale due tipi di discontinuità, che possono diventare tre osservando vari cari del secondo.

Definizione (Discontinuità di primo tipo (eliminabile))

Ci troviamo davanti ad un punto di discontinuità del primo tipo se:

 


Questo tipo di discontinuità si chiama eliminabile perché, spesso, basta ridefinire la funzione meglio per eliminarlo. O spesso si è definita la funzione da ubriachi ed è venuta fuori una cosa divertente. Facciamo un esempio per entrambi i casi.

Esempio

Un esempio di funzione che può essere resa continua ridefinendola è . Sappiamo infatti che:

Ma si osserva che, da destra e da sinistra, la funzione tende a in . Quindi possiamo ridefinirla come segue per renderla continua in :

 


Esempio

Per quanto riguarda invece gli errori di definizione della funzione, ovvero definirla da ubriachi (si consiglia di non farlo), un esempio è il seguente:

È ovviamente facile correggere questo errore e porre .

 


Cambiamo tipo di discontinuità e passiamo al secondo tipo: questo caso è più tragico e, a differenza di prima, non è possibile correggerlo in alcun modo senza intaccare la funzione.

Definizione (Discontinuità del secondo tipo)

Ci troviamo davanti ad un punto di discontinuità del secondo tipo se:

 


Possono esserci due casi: o uno tra i limiti destro e sinistro è infinito (o entrambi), oppure sono entrambi finiti ma non coincidenti. Nell'ultimo caso parleremo di salto della funzione, che calcoliamo con:

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