Disintegrazione (elementare)

Sia $X$$X$ una variabile aleatoria discreta su $(\Omega ,{\mathcal {A}},P)$$(\Omega ,{\mathcal {A}},P)$ a valori in uno spazio numerabile $(E,{\mathcal {E}})$$(E,{\mathcal {E}})$.

Siano $\mu =X(P)$$\mu =X(P)$ e $E_{0}=\{x\in E\mid \mu \{x\}\not =0\}$$E_{0}=\{x\in E\mid \mu \{x\}\not =0\}$. Allora, fissato $x\in E_{0}$$x\in E_{0}$, possiamo definire la probabilità

$$Q_{x}(A){\stackrel {def}{=}}P(A\cap \{X=x\})$$

$$Q_{x}(A){\stackrel {def}{=}}P(A\cap \{X=x\})$$

$(Q_{x})_{x\in E_{0}}$$(Q_{x})_{x\in E_{0}}$ si chiama disintegrazione di $P$$P$ secondo i possibili valori di $X$$X$.

Sia ora $Z\geq 0$$Z\geq 0$ un'altra variabile aleatoria, numerica, su $(\Omega ,{\mathcal {A}},P)$$(\Omega ,{\mathcal {A}},P)$:

$${\begin{aligned}E[Z]=\int ZdP&=\sum _{x\in E}\int _{X=x}ZdP\\&=\sum _{x\in E_{0}}\int _{X=x}ZdP\\&=\sum _{x\in E_{0}}P\{X=x\}\int ZdP\\&=\sum _{x\in E_{0}}\mu \{x\}E_{x}[Z]\end{aligned}}$$

$${\begin{aligned}E[Z]=\int ZdP&=\sum _{x\in E}\int _{X=x}ZdP\\&=\sum _{x\in E_{0}}\int _{X=x}ZdP\\&=\sum _{x\in E_{0}}P\{X=x\}\int ZdP\\&=\sum _{x\in E_{0}}\mu \{x\}E_{x}[Z]\end{aligned}}$$

$E[Z]$$E[Z]$ in generale può essere difficile da calcolare; vederla come una media ponderata può tornare utile.

Inoltre, dato $C\in {\mathcal {A}}$$C\in {\mathcal {A}}$,

$$Z=I_{C}\Rightarrow P(C)=\sum _{x\in E_{0}}\mu \{x\}Q_{x}(C)$$

$$Z=I_{C}\Rightarrow P(C)=\sum _{x\in E_{0}}\mu \{x\}Q_{x}(C)$$

ovvero $P$$P$ risulta espressa come combinazione (o mistura) convessa ponderata delle $Q_{x}$$Q_{x}$.

Se $X$$X$ assume solo 2 valori, la funzione di disintegrazione si dice dell'alternativa.

Esempio 7.2

Siano $X=[X_{i}]_{i\geq 1}$$X=[X_{i}]_{i\geq 1}$ un processo di Bernoulli di parametro $p$$p$ e $N$$N$ l'istante del primo successo di $X$$X$; già sappiamo che $N$$N$ ha legge geometrica di parametro e quindi $E[T]={\frac {1}{p}}$$E[T]={\frac {1}{p}}$, ma questo stesso risultato si può ora dimostrare in un altro modo sfruttando la disintegrazione rispetto a $X_{1}$$X_1$:

Per la formula dell'alternativa, quindi,

$$E[N]=pE_{1}[N]+qE_{0}[N]$$

$$E[N]=pE_{1}[N]+qE_{0}[N]$$

Ora, secondo $Q_{1}$$Q_{1}$, la variabile $N$$N$ è equivalente (e quindi isonoma) alla costante 1, quindi $E_{1}[N]=1$$E_{1}[N]=1$.

Siccome poi la legge di $N-1$$N-1$ secondo $Q_{0}$$Q_{0}$ è identica alla legge di $N$$N$ (dato che $\{X=0\}=\{N>1\}$$\{X=0\}=\{N>1\}$), si ha che

$$E_{0}[N]=E_{0}[1+(N-1)]=E_{0}[1]+E_{0}[N-1]=1+E_{0}[N-1]=1+E[N]$$

$$E_{0}[N]=E_{0}[1+(N-1)]=E_{0}[1]+E_{0}[N-1]=1+E_{0}[N-1]=1+E[N]$$

Riunendo le informazioni che abbiamo otteniamo:

$${\begin{aligned}&E[N]=p+q(1+E[N])=p+q+qE[N]=1+qE[N]\\&{\stackrel {1}{\Rightarrow }}E[N](1-q)=1\\&\Rightarrow E[N]p=1\\&\Rightarrow E[N]={\frac {1}{p}}\end{aligned}}$$

$${\begin{aligned}&E[N]=p+q(1+E[N])=p+q+qE[N]=1+qE[N]\\&{\stackrel {1}{\Rightarrow }}E[N](1-q)=1\\&\Rightarrow E[N]p=1\\&\Rightarrow E[N]={\frac {1}{p}}\end{aligned}}$$

In ${\stackrel {1}{\Rightarrow }}$${\stackrel {1}{\Rightarrow }}$ abbiamo però supposto che $E[N]<\infty$$E[N]<\infty$. Ridimostriamo anche questo.

Osservazione

Dato uno spazio $(\Omega ,{\mathcal {A}},P)$$(\Omega ,{\mathcal {A}},P)$, sia $(X_{i})_{i\geq 1}$$(X_{i})_{i\geq 1}$ una successione di variabili aleatorie numeriche positive aventi tutte identica speranza. Sia inoltre $N$$N$ una variabile aleatoria discreta a valori in $\mathbb {N} \cup \{\infty \}$$\mathbb {N} \cup \{\infty \}$. Per ogni $n\in \mathbb {N}$$n\in \mathbb {N}$, consideriamo

$$S_{n}{\stackrel {def}{=}}X_{1}+\dots +X_{n}\;\;\;\;\;\;\;\;\;(S_{0}=0)$$

$$S_{n}{\stackrel {def}{=}}X_{1}+\dots +X_{n}\;\;\;\;\;\;\;\;\;(S_{0}=0)$$

Possiamo definire per rincollamento $S_{N}$$S_{N}$ che per ogni $n$$n$ naturale coincida con $S_{n}$$S_{n}$ su $\{N=n\}$$\{N=n\}$.

 

Osservazione 7.4

Se poi $N$$N$ è indipendente da $[X_{i}]_{i\leq 1}$$[X_{i}]_{i\leq 1}$, allora

$$E[S_{N}]=E[N]E[X_{1}]$$

$$E[S_{N}]=E[N]E[X_{1}]$$

 

Dimostrazione

$$S_{N}=\sum _{k\geq 0}X_{k+1}I_{\{k<N\}}$$

$$S_{N}=\sum _{k\geq 0}X_{k+1}I_{\{k<N\}}$$

Quindi

$$E[S_{N}]=\sum _{k\geq 0}E[X_{k+1}I_{k<N}]$$

$$E[S_{N}]=\sum _{k\geq 0}E[X_{k+1}I_{k<N}]$$

e per l'ipotesi di indipendenza questo equivale a

$$\sum _{k\geq 0}E[X_{k+1}]E[I_{k<N}]=E[X_{1}]\cdot \sum _{k\geq 0}P\{N>k\}=E[X_{1}]E[N]$$

$$\sum _{k\geq 0}E[X_{k+1}]E[I_{k<N}]=E[X_{1}]\cdot \sum _{k\geq 0}P\{N>k\}=E[X_{1}]E[N]$$

 

Tornando al nostro processo di Bernoulli:

$$\{N>k\}=\left(\bigcap _{i\leq k}\{X_{i}=0\}\right)\in \tau (X_{1}-X_{k})$$

$$\{N>k\}=\left(\bigcap _{i\leq k}\{X_{i}=0\}\right)\in \tau (X_{1}-X_{k})$$

Sappiamo che $X_{k+1}$$X_{k+1}$ è indipendente da $\prod _{i=1}^{k}(1-X_{i})$$\prod _{i=1}^{k}(1-X_{i})$ e di conseguenza da $I_{\{N>k\}}$$I_{\{N>k\}}$.

La formula di disintegrazione di $S_{N}$$S_{N}$:

$$S_{N}=X_{1}+\dots +X_{N}=I_{\{N<\infty \}}$$

$$S_{N}=X_{1}+\dots +X_{N}=I_{\{N<\infty \}}$$

ci dà quindi:

$$p\cdot E[N]=E[S_{N}]=E\left[I_{\{N<\infty \}}\right]=P\{N<\infty \}\Rightarrow E[N]<\infty$$

$$p\cdot E[N]=E[S_{N}]=E\left[I_{\{N<\infty \}}\right]=P\{N<\infty \}\Rightarrow E[N]<\infty$$

Possiamo finalmente concludere che $E[N]={\frac {1}{p}}$$E[N]={\frac {1}{p}}$.

 

Densità rispetto alla misura di Borel-Lebesgue su R

Siano $C\in {\mathcal {B}}(\mathbb {R} )$$C\in {\mathcal {B}}(\mathbb {R} )$ e $0<\lambda (c)<\infty$$0<\lambda (c)<\infty$. L'unica legge su $\mathbb {R}$$\mathbb {R}$ che sia concentrata su $C$$C$ e la cui densità sia ivi costante è

$${\frac {1}{\lambda (C)}}I_{C}\cdot \lambda$$

$${\frac {1}{\lambda (C)}}I_{C}\cdot \lambda$$

ovvero la ripartizione uniforme sull'insieme $C$$C$, che $\forall A\in {\mathcal {B}}(\mathbb {R} )$$\forall A\in {\mathcal {B}}(\mathbb {R} )$ vale

$$\mu (A)={\frac {\lambda (A\cap C)}{\lambda (A)}}$$

$$\mu (A)={\frac {\lambda (A\cap C)}{\lambda (A)}}$$