Disintegrazione (elementare)

Sia una variabile aleatoria discreta su a valori in uno spazio numerabile .

Siano e . Allora, fissato , possiamo definire la probabilità

si chiama disintegrazione di secondo i possibili valori di .

Sia ora un'altra variabile aleatoria, numerica, su :

in generale può essere difficile da calcolare; vederla come una media ponderata può tornare utile.

Inoltre, dato ,

ovvero risulta espressa come combinazione (o mistura) convessa ponderata delle .

Se assume solo 2 valori, la funzione di disintegrazione si dice dell'alternativa.

Esempio 7.2

Siano un processo di Bernoulli di parametro e l'istante del primo successo di ; già sappiamo che ha legge geometrica di parametro e quindi , ma questo stesso risultato si può ora dimostrare in un altro modo sfruttando la disintegrazione rispetto a :

Tabellaxy1.png

Per la formula dell'alternativa, quindi,

Ora, secondo , la variabile è equivalente (e quindi isonoma) alla costante 1, quindi .

Siccome poi la legge di secondo è identica alla legge di (dato che ), si ha che

Riunendo le informazioni che abbiamo otteniamo:
In abbiamo però supposto che . Ridimostriamo anche questo.

Osservazione

Dato uno spazio , sia una successione di variabili aleatorie numeriche positive aventi tutte identica speranza. Sia inoltre una variabile aleatoria discreta a valori in . Per ogni , consideriamo

Possiamo definire per rincollamento che per ogni naturale coincida con su .

 
Osservazione 7.4

Se poi è indipendente[1] da , allora

 


Dimostrazione

Quindi
e per l'ipotesi di indipendenza questo equivale a

 

Tornando al nostro processo di Bernoulli:

Sappiamo che è indipendente da e di conseguenza da .

La formula di disintegrazione di :

ci dà quindi:
Possiamo finalmente concludere che .

 

Densità rispetto alla misura di Borel-Lebesgue su R[modifica | modifica wikitesto]

Siano e . L'unica legge su che sia concentrata su e la cui densità sia ivi costante è

ovvero la ripartizione uniforme sull'insieme , che vale

  1. In realtà è sufficiente supporre che , sia indipendente da .
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