Criterio fondamentale di convergenza debole

Diremo che è una "classe densa di funzioni test per la convergenza debole" se con esiste tale che
Teorema 11.2

Date leggi su con funzioni di ripartizione rispettivamente[1], sia una classe densa. Allora sono equivalenti:

  1. debolmente
  2. classe densa di funzioni test,
  3. in ogni punto in cui è continua
  4. su un opportuno insieme denso in
  5. ovunque è continua
  6. esiste e su di esso esistono con e tali che quasi certamente
 


Dimostrazione
  • "(a) (b)": ovvio (è possibile costruire anche solo contenente funzioni continue)
  • "(f) (a)": risultato noto (Proposizione 11.2 ).
  • "(b) (c)": sia un punto di continuità per e . Possiamo trovare tali che
Schermata a 2017-09-29 00-28-22.png

Da ciò deriva che dove è un valore di aderenza per , limite di una certa sottosuccessione (dato che , che è compatto). Per , otteniamo quindi che e tendono a . Quindi .

  • "(c) (d)": I punti di discontinuità di una funzione crescente sono numerabili, quindi il complementare è denso.
  • "(d) (e)": Sia un insieme denso in su cui . Sia inoltre tale che sia continua in .

Prendiamo : avrò tali che

Siccome è strettamente crescente[2], . Ma definitivamente. Quindi definitivamente.

  • "(e) (f)": Siano

Allora quasi (secondo ) certamente, perché ovunque al di fuori di un insieme numerabile.

 

Ci sono alcune possibili famiglie che si rivelano utili come classi di funzioni test:

  • l'insieme delle funzioni continue e limitate
  • l'insieme delle funzioni limitate e
  • l'insieme delle funzioni lipschitziane e limitate
  • dove
Corollario 11.1

Se converge debolmente verso e verso , allora .

 
Dimostrazione

In ogni punto di continuità per , si ha e lo stesso vale per : quindi e coincidono sui punti di continuità di entrambe. Sono quindi coincidenti al di fuori di un insieme trascurabile, e per la continuità a destra concludiamo che sono identiche.

 


Teorema 11.3

Sia una successione di leggi su e un'altra legge su . Sono equivalenti:

  1. debolmente
  2. puntualmente
 
Dimostrazione

"(a) (b)": ovvio, dato che

"(b) (a)": dimostrazione inviata per email, se ho tempo l'aggiungo

 
Corollario 11.2

La funzione è iniettiva.

 
Dimostrazione

Se , ovvero la successione costante converge a , allora converge (debolmente) a , ovvero .

 

Convergenza in probabilità[modifica | modifica wikitesto]

Se ho ed variabili aleatorie reali su , si dice che converge a secondo (e si scrive ) se:

Proposizione 11.3

 
Dimostrazione
  • "(a) (b)":
Per terminare la dimostrazione della proposizione abbiamo prima bisogno di qualche importante risultato intermedio.
Lemma 11.1

Dati e tali che

allora è trascurabile.

 
Dimostrazione

 


Osservazione 11.6

Applichiamo subito questo lemma:

(con si intende "strettamente crescente").

 


Dimostrazione

Costruiamo (in virtù dell'ipotesi di convergenza in probabilità) una successione tale che :

Ovviamente
Applichiamo quindi il primo lemma di Borel Cantelli:

 


Proposizione 11.4

Sono equivalenti:

  1. ogni sottosuccessione di ammette a sua volta una sottosuccessione convergente quasi certamente verso
 
Dimostrazione

"(1) (2)": se , certamente per ogni sottosuccessione vale . Allora, per l'osservazione 11.6 , ammette una sottosuccessione convergente quasi certamente. "(1) (2)": sia tale che . Allora esistono ed una sottosuccessione tali che

e lo stesso si potrà dire per ogni sottosuccessione di ; non ne esiste quindi una convergente quasi certamente verso .

 

Abbiamo ora tutti gli elementi per dimostrare: "(b) (c)": sia , la tesi può essere riformulata nel seguente modo: per ogni funzione in una classe di test relativa alla convergenza debole verso ,

ovvero l'unico valore di aderenza di
è .
Sia tale che ; possiamo passare alla sottosuccessione convergente quasi certamente (che esiste per il criterio sotto-sotto, e che per comodità di notazione supporremo fosse stessa):

 


Proposizione 11.5

Se è degenere,

(ovvero "(c) (b)").

 
Dimostrazione

Siano e . Per ogni ,

 
  1. O meglio "-rispettivamente".
  2. è continua proprio è crescente, ovvero dove è l'identità.
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