Criterio fondamentale di indipendenza

Nelle ipotesi della definizione appena data, supponiamo assegnate delle misure di probabilità con definita su . Allora le seguenti condizioni sono equivalenti:

  1. e le sono indipendenti
  2. ; inoltre con esiste una partizione di tale che e siano indipendenti

Talvolta chiameremo legge congiunta delle e legge marginale di indice del blocco .

Problema[modifica | modifica wikitesto]

se abbiamo una famiglia di spazi misurati , come possiamo costruire uno spazio probabilizzato ed una famiglia di variabili aleatorie indipendenti in modo tale che, dato un qualsiasi, ?

Questo problema ha una soluzione canonica:

A questo punto, non sarà altro che la proiezione canonica di indice e, siccome vogliamo tale che ,
Chiameremo lo schema delle prove indipendenti associato alla famiglia .

Osservazione 4.5

l'interpretazione di questa definizione è ovvia: un esperimento composto di esperimenti semplici. e sono oggetti matematici diversi ma rappresentano intuitivamente la stessa cosa.

 


Esempio 4.2

Rappresentiamo un esperimento consistente nel lanciare infinite volte una moneta:

sarà la proiezione canonica di indice .
La probabilità che i primi lanci della moneta seguano una configurazione data di 0 e 1 è data dall'evento:
avente probabilità: .

 

Conseguenze del criterio fondamentale[modifica | modifica wikitesto]

  1. principo della sottofamiglia finita: è una famiglia di variabili aleatorie indipendenti se e solo se lo è ogni sua sottofamiglia finita
  2. principio dell'indipendenza individuale: è una famiglia di variabili aleatorie indipendenti se e solo se la variabile è indipendente dal blocco
  3. principio dell'indipendenza di una successione: con è una famiglia di variabili aleatorie indipendenti se e solo se è indipendente da
  4. principio della composizione: se è una famiglia di variabili aleatorie indipendenti e si ha una funzione misurabile, allora la famiglia è una famiglia di variabili aleatorie indipendenti

Il fatto che l'indipendenza implichi i punti 1., 2. e 3. deriva banalmente della definizione. Le implicazioni inverse si dimostrano con il punto (b) del criterio fondamentale; in particolare, per 3. osserviamo che, posto , possiamo separare in e . Il punto 4. si dimostra invece osservando che, dati con , si ha che e sono più fini (rispettivamente) di e , per cui se le prime sono indipendenti, lo sono anche le ultime.

Eventi trascurabili[modifica | modifica wikitesto]

Dato un spazio misurato ed un elemento di , diciamo che è "trascurabile" se .

È evidente che tale definizione è complementare a quella di quasi certezza data precedentemente.

Date due funzioni , diciamo che "coincide quasi dappertutto" con o che "è equivalente modulo " con , e scriviamo , se esiste trascurabile tale che .

Osservazione 4.6

Sembrerebbe più immediata la definizione " e coincidono quasi dappertutto se "; tale definizione sarebbe però sbagliata perché, non avendo fatto nessuna richiesta particolare su e , può benissimo essere non misurabile.

 

La relazione tra funzioni appena data è transitiva: trascurabile con trascurabile con allora

Ma
Date su , diciamo che "coincide quasi certamente" se e coincidono su un evento quasi certo.

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