Supponiamo di essere al k-esimo passo di fattorizzazione, in cui devo azzerare i coefficienti della k-esima colonna a partire dall'entrata
. Cerco l'indice
tale che
, e scambio quindi la
-esima riga con la
-esima, applicando alla matrice
la matrice di permutazione
, che è l'identità in cui scambio la
-esima riga con la k-esima.
Bisogna verificare che anche moltiplicando per la matrice di permutazione, la fattorizzazione rimane del tipo
.
In dimensione
, all'ultimo passo dell'eliminazione si ottiene

(le matrici di permutazione sono alternate a quelle elementari)
Le matrici di permutazione hanno la proprietà che
, allora, inserisco il doppio prodotto nell'uguaglianza nelle posizioni opportune, per far comparire vicine tra loro le matrici di permutazione.
Ad esempio:

Ponendo

, al passo successivo ottengo:

e ponendo

, e

, ottengo:

e pongo

.
Voglio verificare che anche le matrici segnate sono ancora matrici elementari di Gauss, e quindi invertibili.
Considero, ad esempio, 

Invece

Allora calcolo il prodotto

:

(scambio la terza riga con la quarta.)
Invece, moltiplicando a destra per

, scambio la terza e la quarta colonna, e ottengo la matrice

che ha la stessa forma di

.
Consideriamo invece la matrice

che scambia la seconda riga con la terza:

Allora

e moltiplicando per

:

che non è più una matrice elementare di Gauss.
In ogni caso, la moltiplicazione per

non è più un'operazione ammissibile nell'eliminazione di Gauss al passo

, perché si può operare solo nella sottomatrice

in basso a destra, quindi non ci sono problemi.
Dato il sistema
, moltiplico per
ambo i membri per far comparire la matrice di permutazione, e ottengo:


Allora devo considerare il termine noto permutato

, e risolvo prima il sistma lineare

e poi

Il pivot parziale ha un effetto stabilizzante, ovvero riduce l'errore algoritmico. In particolare:
- Come prima,
è una matrice triangolare inferiore con 1 sulla diagonale principale e
nella parte inferiore.
- I moltiplicatori hanno espressione

quindi, per ogni
i coefficienti sono
.
- La crescita degli elementi di
è limitata, infatti i coefficienti della "nuova" matrice sono:
mentre per
gli elementi della matrice rimangono invariati, e quindi
in definitiva
Chiamo
il massimo modulo degli elementi della matrice
. Allora, passando ai massimi nella disuguaglianza sopra,
e applicando a ritroso la relazione
Teorema 2.7
Sia
tale che i suoi elementi siano numeri macchina (focus sull'errore algoritmico). Chiamo
le matrici effettivamente calcolate, allora
dove vale la relazione

(a livello notazionale, chiamo

la matrice che ha come componenti i moduli degli elementi di

)
In questa relazione, oltre alla dipendenza dalla dimensione, da

e dalla precisione di macchina, il fatto significativo è che compaiono

.
Teorema 2.8
Siano
e, considerando
effettivamente calcolate, chiamo
la
soluzione del sistema
e
soluzione di
. Allora
è la soluzione di

con

(interpreto l'errore algoritmico come errore inerente del problema perturbato)
Esempio 2.7
Considero la matrice


dove

è scelto in modo che la soluzione del sistema lineare

sia

. Il problema è ben condizionato, infatti


e quindi se

è piccolo,

.
Per quanto riguarda la stabilità, senza tecnica del pivot:



mentre la soluzione esatta ha entrambe le componenti uguali a 1, e il problema è dato dalla crescita dei coefficienti di

.
Per ogni passo
, cerco
tale che

assumo di poter fare permutazioni di colonne

oltre che permutazioni di righe

.
Il problema che sorge è che, facendo permutazioni di colonne, si permuta l'ordine delle incognite.
Esempio 2.8
Nella catena di moltiplicazioni di matrici elementari, nel caso
,

ma pongo

.
L'altro pezzo di

viene trattato come prima.
Come prima

e per risolvere il sistema

permuto a sinistra,

devo inserire la

, allora pongo


Calcolo

permutazione del termine noto, e risolvo quindi:



Questo procedimento ha un effetto più stabilizzante rispetto al pivot parziale, infatti si ha:

e non sono state trovate matrici per cui vale l'uguaglianza.
La risoluzione forward o backward, considerando il numero di operazioni moltiplicative, ha come costo computazionale

infatti, per ogni incognita, si ha l'espressione

Invece la fattorizzazione

ha costo
![{\displaystyle \sum _{k=1}^{n-1}[(\sum _{i=k+1}^{n}1)+\sum _{i=k+1}^{n}\sum _{j=k+1}^{n}1]}](//restbase.wikitolearn.org/it.wikitolearn.org/v1/media/math/render/svg/417e82048c7a552400c134ab858cd491f1f2bbce)
che è dell'ordine di

(il primo addendo serve per il calcolo dei moltiplicatori, e il secondo per il calcolo del blocco quadrato in basso a destra).