Sistemi lineari su un calcolatore
Casi semplici[modifica | modifica wikitesto]
Vogliamo risolvere un sistema lineare con matrice quadrata di dimensione supposta non singolare, e .
- Se è una matrice diagonale, ci sono equazioni disaccoppiate, e, per i coefficienti della soluzione, vale la formula:
- Nel caso di una matrice triangolare inferiore , nell'equazione i-esima esplicito l'incognita :infatti risolvendo l'i-esima equazione, conosco già tutte le incognite precedenti, ricavate nelle equazioni sopra esplicitando le incognite precedenti (risoluzione forward).
- Nel caso in cui triangolare superiore, si applica lo stesso procedimento ma partendo dall'ultima incognita.(risoluzione backward)
Nota: le formule risolutive, e la divisione per è ben posta perché siccome , i coefficienti sulla diagonale di una matrice triangolare sono diversi da 0.
I metodi per la risoluzione di sistemi lineari si distinguono in
- metodi diretti (di fattorizzazione)
- metodi iterativi, usati per matrici di grosse dimensioni.
Metodi di fattorizzazione[modifica | modifica wikitesto]
Una matrice può essere scritta come prodotto , con facilmente invertibili, in modo che i sistemi
siano facilmente risolubili.
Siccome , sostituendo nel sistema originario ottengo
e ponendo ottengo
e lo risolvo. Una volta ottenuto , per trovare risolvo quindi
Fattorizzazioni classiche[modifica | modifica wikitesto]
Esistono tre possibili fattorizzazioni della matrice :
- fattorizzazione , con la richiesta che la diagonale principale di sia composta da 1, e dove è una matrice di permutazione.
- se è simmetrica definita positiva, si può considerare la fattorizzazione , con coniugata trasposta di , con la richiesta che gli elementi della diagonale principale siano positivi.
- , dove è una matrice unitaria () e è una triangolare superiore.