Norme di vetori e di matrici

Norma di vettori[modifica | modifica wikitesto]

Nella risoluzione di sistemi lineari si ha l'obiettivo di misurare quantità non scalari.
Definizione 2.1

Una norma vettoriale è una funzione da a tale che

  1. e
  2. (omogeneità)
  3. (disuguaglianza triangolare)
 


Esempio 2.1

Esempi di norme sono:

e gli intorni in queste tre norme sono rispettivamente un cerchio, un rombo e un quadrato.

 

Proprietà 1: la norma è una funzione uniformemente continua, cioè

A vettori vicini corrispondono norme vicine indipendentemente dagli ordini di grandezza.

Proprietà 2: Vale la proprietà di equivalenza topologica delle norme. Supponiamo di prendere due norme qualsiasi e , con fissato. Allora esistono con tali che

Allora, siccome tutte le norme sono equivalenti, si può scegliere la norma che dà meno errori.

Proprietà 3: per ogni , considerate le norme 1,2 e dell'esempio precedente, si ha:

e, unendo le due relazioni:

Norma matriciale[modifica | modifica wikitesto]

Definizione 2.2

Una norma matriciale è una funzione tale che

  1. e solo se è la matrice nulla
 
Proprietà 1,2: valgono l'uniforme continuità e l'equivalenza delle norme come conseguenze dei punti 1,2,3.
Esempio 2.2

E' necessario imporre anche la quarta proprietà. Infatti, data la matrice

si ha che è la matrice nulla, e quindi vale

 

Relazioni tra norme vettoriali e norme matriciali[modifica | modifica wikitesto]

Definizione 2.3

La norma è una norma matriciale compatibile con una certa norma vettoriale se

 


Definizione 2.4

Definiamo la norma matriciale indotta da una norma vettoriale fissata come

equivalentemente

 
Proprietà 3: Una norma vettoriale indotta è una norma matriciale compatibile.
Dimostrazione

Dim. Se , la definizione di norma matriciale compatibile è verificata. Se , si ha

cvd

 

Proprietà 4: La norma matriciale indotta è la più piccola tra le norme matriciali compatibili con la norma vettoriale considerata.

Dimostrazione

e per la compatibilità della norma :
cvd

 

Norme matriciali indotte dalle principali norme vettoriali[modifica | modifica wikitesto]

Proprietà 5:

Nell'espressione della norma matriciale indotta dalla norma 2, cioè dalla norma euclidea, rappresenta il raggio spettrale.

Definizione 2.5

Considero , allora

cioè il raggio spettrale è il massimo dei moduli degli autovalori della matrice.

 


Definizione 2.6

è la trasposta coniugata, cioè se ha elementi reali, si ha , mentre se , .

 
Proprietà 6: Per ogni valgono le seguenti disuguaglianze:
Osservazione 2.1

Se , allora , e

ma siccome per gli autovalori vale la relazione , moltiplicando per ottengo:
cioè gli autovalori di sono i quadrati degli autovalori di .

Quindi

Se è hermitiana definita positiva, cioè , , allora gli autovalori sono positivi, e si ha

 

Nota: Il raggio spettrale non è una norma matriciale, a meno che non mi limiti a sottoclassi di matrici.

Esistono infatti tali che
Esempio 2.3

Considerando

Allora si verifica che
mentre
e la disuguaglianza triangolare è violata.

 

Altre proprietà della norma matriciale indotta[modifica | modifica wikitesto]

Proprietà 7: per ogni norma matriciale indotta, vale che .

Dimostrazione

Dim. Consideriamo la relazione

cioè
vale per ogni autovalore, e quindi anche per quello che realizza il raggio spettrale, cioè
cvd

 

Numero di condizionamento[modifica | modifica wikitesto]

Definizione 2.7

Si dice numero di condizionamento di una matrice rispetto ad una fissata norma la quantità

 

Considero una funzione , tale che .

Valutando l'errore relativo
Moltiplico e divido per .
Siccome stiamo supponendo di risolvere il sistema
segue che
quindi
tenendo conto che la norma matriciale utilizzata è compatibile:
e ponendo ottengo

Proprietà del numero di condizionamento[modifica | modifica wikitesto]

Definizione 2.8

Il numero di condizionamento di una matrice , supposta non singolare, è . Si dice che è infinito se è singolare.

 


Lemma 2.1

Per ogni norma, .

 
Dimostrazione

cvd

 

Condizionamento spettrale[modifica | modifica wikitesto]

Definizione 2.9

Definisco condizionamento spettrale la quantità (infatti con raggio spettrale).

 

è definita positiva, se è non singolare. Infatti .

Se è definita positiva, allora ha tutti autovalori reali positivi, e

dove i sono autovalori di .
Inoltre
Allora
e siccome e sono simili e hanno quindi gli stessi autovalori, allora
Allora, se è non singolare,
Se , allora
e se è anche definita positiva

Stime del numero di condizionamento[modifica | modifica wikitesto]

Considero una norma matriciale indotta. Vale la seguente proprietà: , allora

Determiniamo le matrici con numeri di condizionamento molto alti o molto bassi.

Esempio 2.4

[matrice di Hilbert] La matrice di Hilbert ha entrate della forma

Ad esempio, in dimensione 3
Nella tabella rappresento l'aumentare del numero di condizionamento al crescere di :

 


Definizione 2.10

Se si dice che la matrice è perfettamente condizionata.

 


Esempio 2.5

Tra le matrici per cui c'è la matrice identica.

Anche le matrici tali che
cioè tali che
sono perfettamente condizionate, infatti:

 


Osservazione 2.2

Vale la proprietà

ma la matrice non è singolare.

Il determinante non è una buona misura della singolarità della matrice.

 
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