Osservazioni introduttive

Problema da risolvere[modifica | modifica wikitesto]

Data una funzione , si cerca tale che . Si utilizzano metodi iterativi, cioè si cercano tali che

La convergenza del metodo non dipende solo dal metodo usato, ma anche dalla scelta del vettore d'innesco: infatti se il vettore d'innesco appartiene a un determinato intorno della radice, il metodo converge, altrimenti questa condizione non è verificata.

I metodi usati possono avere una convergenza lineare, del tipo in cui sono necessarie varie iterazioni prima che l'ordine di grandezza dell'errore diminuisca. Altrimenti può verificarsi una convergenza superlineare: consideriamo un esempio di convergenza quadratica, in cui a un certo passo , al successivo e al successivo , cioè l'errore crolla velocemente.

Ordine di convergenza[modifica | modifica wikitesto]

Definizione 4.1

Considero una successione , con . Dico che la successione ha ordine di convergenza se esiste un tale che

dove se , mentre se . si dice fattore di convergenza.

 
  1. Se e ho una convergenza lineare;
  2. se e ho una convergenza sublineare;
  3. se e ho una convergenza superlineare.

In ogni caso, esiste una costante tale che

Per abbastanza grande, cioè, in termini dell'errore assoluto:
e in termini di errore relativo:
Se , più è piccola la costante più il metodo converge rapidamente.

Supponiamo di avere . Allora se , al passo successivo si ha , e . Se invece , , dove e ci vogliono più iterazioni prima che cambi l'ordine dell'errore.

Esempi sui tipi di convergenza[modifica | modifica wikitesto]

Esempio 4.1 (convergenza lineare)

Consideriamo la successione

con . Allora .

 


Esempio 4.2 (convergenza sublineare)

In questo tipo di convergenza la velocità di converenza diminuisce quando ci si avvicina ad . Considero la successione:

 


Esempio 4.3 (convergenza superlineare)

Considero la successione:

allora

 
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