Per aumentare l'ordine di convergenza del metodo ci sono due strade possibili:
- metodi multipasso: usano informazioni precedenti ma rimangono lineari, ne sono esempi i metodi di Adam-Bashword (espliciti), di Adam-Multonn (impliciti), di Mistrom, i generalized Simpson (espliciti e impliciti), BDF usate nel caso dei problemi stiff.
- metodi a un passo non lineari
I metodi di questo tipo si definiscono come

dove


sono tali che

e

Osservo che se

il metodo è esplicito perché a secondo membro non compare la soluzione da calcolare al passo corrente, mentre diversamente è implicito, e si può pensare di applicare il metodo del punto fisso

Dev'essere

.
Teorema 7.2
Considero i seguenti polinomi

con

variabile complessa (primo polinomio caratteristico).

e considero il metodo

Il metodo è consistente, (cioè l'errore di troncamento locale tende a 0 per

) se valgono le seguenti condizioni:


(
tende a 0 quindi tutti gli istanti tendono a
)
con
.
Dimostrazione
Affermo che

con

con

per il teorema del valor medio.
Considero l'errore di troncamento:
![{\displaystyle \tau =1/h[\sum _{j=0}^{k}\alpha _{j}y(t_{n+j})-h\phi _{f}]}](//restbase.wikitolearn.org/it.wikitolearn.org/v1/media/math/render/svg/1169b625b1aead15cd72b3af95c8401d7e01c563)
e in base a quanto appena ricavato per

:
![{\displaystyle =1/h[\sum _{j=0}^{k}\alpha _{j}*(y(t_{n})+jhy'(\xi _{j}))]-\phi _{f}}](//restbase.wikitolearn.org/it.wikitolearn.org/v1/media/math/render/svg/dee0c14db606e95f67bcbd3ddf88b01f110d24b2)
e spezzando le somme

Per


e
Segue quindi che si ha consistenza se

e se

Nella pratica tenendo conto che
si impongono le condizioni di consistenza:

![{\displaystyle \sum _{j}[j\alpha _{j}-\beta _{j}]=0}](//restbase.wikitolearn.org/it.wikitolearn.org/v1/media/math/render/svg/627738569d8d3de2ac8bc028b2472ea326185fba)
![{\displaystyle \sum _{j}[j^{2}/2\alpha _{j}-j\beta _{j}]=0}](//restbase.wikitolearn.org/it.wikitolearn.org/v1/media/math/render/svg/c0e37ed82684c67c2754c7d6fb5f14b9dac4e57c)
![{\displaystyle \sum _{j}[j^{3}/6\alpha _{j}-j^{2}/2\beta _{j}]=0\ldots }](//restbase.wikitolearn.org/it.wikitolearn.org/v1/media/math/render/svg/0d2f819ae442f06de9d6b3512d452f5743cc362c)
Se ho convergenza, allora ho consistenza, ma non vale viceversa. Per avere convergenza, oltre alla consistenza devo richiedere la 0-stabilità.
Definizione 7.4
Considero un problema di Cauchy perturbato

Si dice che il problema è
ben posto o
totalmente stabile se per qualunque coppia di perturbazioni

e

tali che

segue che, posto

le soluzioni dei corrispondenti problemi di Cauchy, esiste una costante

positiva tale che per ogni

,

Definizione corrispondente nel discreto: Consideriamo un sistema di differenze perturbato.

Il metodo è
0-stabile se, date le successioni delle perturbazioni

, e

che corrispondono a soluzioni

per

e

per

, se esiste una costante

positiva ed esiste

tale che scelto

, segue che
la norma della differenza tra le due soluzioni discrete è minore di

, dove suppongo che

.
(la differenza rispetto alla definizione precedente è che deve esistere

tale per cui si abbia la conservazione dell'entità della perturbazione)
Questo esempio mostra che è necessario richiedere la stabilità.
Esempio 7.1
Considero il problema di Cauchy

Applicando il metodo multipasso:

perché

(e quindi il secondo membro) è identicamente nullo.

sono molto piccoli ma non esattamente nulli.
Questa è un'equazione alle differenze omogenea. Il polinomio

ha radici

distinte rispettivamente con molteplicità

, allora la soluzione dell'equazione alle differenze è

(simile alla scrittura delle soluzioni nell'equazioni differenziali nel continuo)
Se

, il metodo diverge, e lo stesso avviene nel caso in cui il modulo di z è uguale a 1 e ha molteplicità maggiore di

.
Definizione 7.5
Considero
e chiamo
le sue radici, per
.
è detta radice principale, e le altre radici
per
sono le radici spurie.
Definizione 7.6 (root condition)
Il metodo numerico

soddisfa la
root condition se tute le radici

del polinomio caratteristico sono in modulo

e quelle per cui vale che

hanno molteplicità algebrica 1.
Teorema 7.3
Il metodo numerico

è 0-stabile se e solo se vale la root condition.
Teorema 7.4
Il metodo

è convergente se e solo se è consistente e 0-stabile.
Teorema 7.5 (prima barriera di Dahlquist)
Nessun metodo lineare multipasso a
passi che sia 0-stabile può avere ordine di convergenza maggiore di
se
è dispari, e di
se
è pari.
Espressione dei polinomi caratteristici nei metodi multipasso[modifica | modifica wikitesto]
- Nei metodi di Adam-Bashword e Adam-Multonn il polinomio caratteristico è della forma

e
è la radice principale necessaria per la consistenza, e c'è poi la radice 0 con molteplicità
.
- Nel Simpson generalizzato

dove le radici sono
con molteplicità 1, e
con molteplicità
.
- Le BDF hanno il secondo polinomio caratteristico definito come

I metodi di Adam-Bashword derivano da formule di quadratura. Considero l'equazione integrale

Considero il polinomio interpolante

con nodi equispaziati: in particolare, per i metodi espliciti considero il polinomio interpolante di grado p nei nodi

, per gli Adam-Multonn considero il polinomio di grado

nei nodi

e ottengo la formula

Se

il metodo è esplicito, altrimenti è implicito.







In conclusione vale il seguente teorema:
Teorema 7.6
I metodi espliciti di Adam-Bashword hanno ordine
mentre quelli di Adam-Multonn hanno ordine
ad eccezione dell'eulero per cui
e
.
Consideriamo un metodo multipasso implicito, da risolvere con un metodo di punto fisso. Pongo

e considero la relazione

dove il secondo addendo è noto e ne conosco tutte le quantità.

con

, e si dà come innesco

soluzione all'istante precedente. Si impone

quindi

e supponendo di avere le condizioni del teorema di esistenza e unicità

cioè sul passo

ottengo la condizione

e la costante di Lipschitz condiziona la convergenza del metodo di punto fisso.
Il metodo è costoso, perché ad ogni iterazione del metodo di punto fisso si richiede una valutazione della funzione
. Più l'innesco fornito è buono, più velocemente viene soddisfatto il criterio d'arresto, e meno oneroso è il metodo dal punto di vista computazionale.
Il metodo predictor-corrector consiste dei seguenti passi:
- Predictor (
):
è ottenuto applicando uno schema multipasso esplicito, cioè
- evaluation (
):
(ora un'espressione approssimativa di
è nota)
- Corrector (
):
I passi
possono essere iterati nel seguente modo:


dove

è stato calcolato prima.
Si può quindi considerare anche il metodo:

in cui valutazione e correzione vengono alternate m volte.
Il passo finale è

cioè il metodo si prepara per un'eventuale iterazione.
Se

ha ordine

i dati di innesco aggiuntivi sono calcolabili con un errore di ordine di

e se il corrector è di ordine p, allora

ha ordine p.
Esempio 7.2 (esempio di metodo predictor corrector)
Uso come predictor l'Eulero esplicito

e come corrector il metodo dei trapezi:

Questo metodo può anche essere considerato come metodo a un passo.