Metodi Runge-Kutta

Definizione generale[modifica | modifica wikitesto]

Questi metodi sono del tipo

e sono ad un passo. è definita come
dove i vengono chiamati stadi.

Definizione degli stadi[modifica | modifica wikitesto]

Gli stadi possono essere definiti come

Nel secondo argomento compaiono nuovamente gli stadi, quindi questi metodi sono non lineari.

I coefficienti compaiono nella batcher array.

In forma compatta:
I coefficienti indicano caratteristiche del metodo usato. In particolare deve valere la row sum condition, cioè
se quest'uguaglianza non è verificata il metodo non funziona.
Si possono verificare tre casi:

  1. Metodi espliciti (): la sommatoria si ferma all'indice , la diagonale principale e la parte triangolare superiore di sono nulle. Compare solo la dipendenza dagli stadi precedenti, che sono già stati calcolati.
  2. Metodi semiimpliciti ():la diagonale principale non è nulla, ma la parte triangolare superiore di lo è, compare la dipendenza dal passo attivo.
  3. Metodi impliciti: è una matrice piena.

Nel caso dei semiimpliciti devo risolvere il sistema:

per , che è un sistema di equazioni non lineari disaccoppiate.
Nel caso degli impliciti invece ho un sistema di equazioni non disaccoppiate dove ogni stadio coinvolge tutti gli altri, e le equazioni sono del tipo:

Runge-Kutta 4 (esplicito)[modifica | modifica wikitesto]

Il Runge-Kutta 4 è definito nel seguente modo:

dove
Se considero un Runge-Kutta esplicito a stadi, l'ordine massimo di convergenza è , anche se si dimostra che non esistono Runge-Kutta espliciti a stadi di ordine per .

Consistenza[modifica | modifica wikitesto]

Un metodo Runge-Kutta è consistente ovvero per se e solo se

In questo caso 1 è l'unica radice del polinomio caratteristico e quindi la consistenza (e in questo caso la 0-stabilità) implica la convergenza.

Runge-Kutta 2[modifica | modifica wikitesto]

Consideriamo un Runge-Kutta a due stadi, , esplicito. Supponiamo che

con e .

Il blocco di Batcher è della forma:

Deve valere la condizione di somma sulle righe, quindi
e si ottiene
e sostituendo l'espressione di :
Sviluppando rispetto a :
( indicano le derivate parziali rispetto a e a ) e sostituendo le espressioni degli stadi nell'espressione del metodo:
e associando i termini corrispondenti
ma , quindi

e

Impongo che la soluzione esatta soddisfi lo schema numerico fino a un certo ordine, e confrontando i coefficienti a primo e secondo membro ottengo:

Ci sono infinite soluzioni possibili, quindi infinii Runge-Kutta di tipo 2.

Passo di integrazione[modifica | modifica wikitesto]

Dato un problema di integrazione stiff, si deve sempre scegliere un passo di integrazione variabile. Nei metodi Runge-Kutta a un passo il passo può essere variato a piacere, mentre nei metodi multipasso questo non è vero.

I Runge-Kutta impliciti sono i metodi che raggiungono la massima potenza possibile. La loro teoria di convergenza viene trattata in maniera algebrica.

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