Nella pratica,
, quindi la 0-stabilità non basta.
Considero il problema lineare:

con

. La soluzione esatta è

ed è tale che

se

.
Verifico la seguente definizione:
Definizione 7.7
Un metodo numerico è assolutamente stabile se

(quindi se la soluzione numerica si comporta come la soluzione esatta)
Definizione 7.8
Si definisce la
regione di assoluta stabilità
Suppongo che esistano due costanti
tali che
, e pongo
.
La regione di assoluta stabilità varia a seconda del metodo considerato, infatti:
- Considerando il metodo di Eulero-esplicito:

se
segue che
e per
la quantità tende a 0 se
.Il metodo di eulero esplicito ha come condizione di assoluta stabilità
.Nel piano di Argand-Gauss la regione di assoluta stabilità è un cerchio con raggio 1 e centro
.
deve stare nel cerchio, altrimenti asintoticamente la soluzione numerica non si comporta come la soluzione esatta.In
la condizione diventa
.
- Considerando invece il metodo di Eulero implicito:



e ricorsivamente
e impongo la condizione
che implica
.La regione di assoluta stabilità in questo caso è ciò che sta fuori dal cerchio di raggio 1 e centro 1.Quindi i metodi di Eulero implicito non hanno nessuna condizione sulla scelta del passo dovuti allo schema numerico.
- Se considero il metodo di Frank-Nicholson,

segue che, se
, si ha

quindi
e si ottiene la condizione



Considero il problema di Cauchy

con

. E' un sistema di equazioni differenziali con

Assumiamo che

sia diagonalizzabile.
La soluzione esatta è


, e si richiede lo stesso comportamento per la soluzione numerica.
Allora si impone:



quindi, moltiplicando a sinistra per


si ha un sistema di equazioni differenziali lineari ma con

diagonale, in modo da avere equazioni differenziali disaccoppiate della forma:

e considero il problema test su ciascuna delle equazioni. Scelgo come passo

, che deve valere per tutte le equazioni, l'autovalore di modulo maggiore.
Supponiamo di avere un sistema di equazioni differenziali del tipo

con

.
Supponiamo che

sia diagonalizzabile, e consideriamo il caso in cui le parti reali dei suoi autovalori siano negative.
Allora la soluzione esatta è nella forma

dove

è La soluzione particolare della non omogenea.
Considerando un metodo numerico a una regione di assoluta stabilità limitata, allora ci sono necessariamente delle restrizioni sul passo di integrazione.
Più piccola è la regione di assoluta stabilità, minore è il passo da scegliere, e la scelta del passo è dovuta alla soluzione transitoria. Il passo va scelto tanto più piccolo quanto più in fretta la soluzione tende a 0.
Chiamiamo
due autovalori della matrice
tali che valga la relazione:

Si definisce la
stiffness ratio nel seguente modo:

e il problema è stiff se questa quantità è molto maggiore di 1.
Se
, anche se
non è molto grande, ho un problema stiff per definizione.
I metodi utilizzati per risolverli sono i Runge-Kutta espliciti.