Dato il problema

suppongo di volerlo risolvere in

.
Creo una successione di valori
dove
approssima
e
, e
viene chiamato passo di discretizzazione.
Per calcolare
conoscendo
considero il rapporto incrementale

che deve essere approssimato. Per l'approssimazione si utilizza la derivata prima, che in questo caso è un dato del problema. Quindi si pone

ed esplicitando

:

Ottengo quindi il seguente metodo detto metodo di Eulero esplicito:

con

, e

approssimazione della soluzione esatta all'istante

.

Questo metodo è detto esplicito perché la quantità da calcolare,

, non compare nel membro di destra.
Sappiamo che

e sostituendo alla funzione il polinomio interpolante di grado 0 in

, cioè la retta

ottengo il metodo di Eulero esplicito:



Considero la generalizzazione del metodo

e lo confronto con la corrispondente espressione nel continuo (soluzione esatta):

All'istante

definisco il residuo

. Ci si chiede di quanto la soluzione esatta non soddisfa lo schema numerico considerato.

è funzione del passo di discretizzazione, e si può scrivere

dove

è detto
errore di troncamento locale.

è la differenza tra la soluzione

e la soluzione che si ottiene considerando come

il valore esatto

.
Più precisamente
Definizione 7.1
Si definisce errore di troncamento locale (LTE) la quantità

Per dire che l'errore commesso tende a 0, non basta richiedere che
, altrimenti si elimina la dipendenza del metodo da
.
Definizione 7.2
Il metodo è consistente con il problema ai valori iniziali se vale che

con

.
Se per ogni istante

la soluzione

è tale che

, allora il metodo è
consistente di ordine
.
La condizione di consistenza è la minima condizione che dev'essere soddisfatta affinché il metodo funzioni.
Considerando il metodo di Eulero esplicito:

![{\displaystyle \tau (t,y(t),h)=1/h*[y(t+h)-y(t)-h\Phi (t,y,h)]}](//restbase.wikitolearn.org/it.wikitolearn.org/v1/media/math/render/svg/5fa7690faebf509d9b46d0fdbb45f80685bde035)
![{\displaystyle =1/h*[y(t+h)-y(t)-hf(t,y(t))]}](//restbase.wikitolearn.org/it.wikitolearn.org/v1/media/math/render/svg/c72445fbb4fa42ca93d0e581c2ec9de48585a814)
e sviluppando con Taylor

e tenendo conto che

:
![{\displaystyle =1/h*[y(t)+hy'(t)+h^{2}/2y^{(2)}(\xi )-y(t)-hy'(t)]}](//restbase.wikitolearn.org/it.wikitolearn.org/v1/media/math/render/svg/de7acc20e31faacd03c094ae9f75a19159f8e094)
e in seguito a cancellazioni:

e
il metodo di Eulero esplicito è consistente di ordine 
.
Si ricava anche

Per
, l'insieme di valori
tende a ricoprire l'intervallo in questione.
Chiedo che

converga alla soluzione esatta

per ogni

.
Definizione 7.3
Un metodo si dice convergente se per ogni problema ai valori iniziali tale che valga il teorema di esistenza e unicità, è verificata la seguente proprietà: per ogni
,

dove

Il problema è convergente di ordine

se

Disegno un grafico con il tempo in ascissa e la condizione
in ordinata. Tenendo conto che
, segue che al diminuire del passo
, sono necessari più passi per raggiungere un fissato istante di tempo
. Non si può scegliere come condizione di convergenza

perché questo tiene conto solo della condizione iniziale e non dà importanza al fatto che dopo un fissato numero di passi, a differenti scelte di

corrispondono istanti

diversi.
Bisogna quindi fissare

, e fare contemporaneamente

Ho un metodo convergente se per ogni problema ai valori iniziali

per ogni successione

generata a partire da

.
Dato il metodo

Consideriamo l'errore all'istante

, e definisco

dove

è il valore che ottengo se all'istante

prendo come dato

il valore esatto

, cioè

e rappresenta l'errore locale, di consistenza.
Posso sostituire i primi due addendi con l'errore di troncamento moltiplicato per

, quindi

e sostituendo l'espressione di

:

e siccome

,

Passando ai moduli

Pongo

e tengo conto della lipschitzianità di

, allora ottengo

e avendo trovato la relazione ricorsiva si prosegue fino al passo 0:

e siccome

in conclusione si ha




Siccome in generale

, si ha

Siccome

si ha

Se

, nel caso di Eulero esplicito si ha per la formula 1

quindi

dove

.
Allora segue che

per ogni

.
La quantità tende a 0 per

, con lo stesso ordine 1 dell'errore di troncamento locale.
Il metodo di Eulero implicito è dato da

Considero l'errore di troncamento
![{\displaystyle \tau _{h}(y,t,n)=1/h[y(t+h)-y(t)-h*f(t+h,y(t+h))]}](//restbase.wikitolearn.org/it.wikitolearn.org/v1/media/math/render/svg/0bc9aad665017f76f83f9eb7ecb1dbd5dcfbcd63)
e tenendo conto della definizione del problema di Cauchy:
![{\displaystyle =1/h[y(t+h)-y(t)-hy'(t+h)]}](//restbase.wikitolearn.org/it.wikitolearn.org/v1/media/math/render/svg/d92b6e279c4dee44b8c6328e561ce3776c562e55)
![{\displaystyle =1/h[y(t)+hy'(t)+h^{2}/2y^{(2)}(\xi )-y(t)-h(y'(t)+h*y^{(2)}(\eta ))]}](//restbase.wikitolearn.org/it.wikitolearn.org/v1/media/math/render/svg/fd336a3dcbdc46515b596c303bac80e7564e9f3b)

e ho un ordine di consistenza

.

A destra ci sono due valutazioni di

e l'unica incognita è

.
Esercizio 7.1
Verificare, usando Taylor, che l'ordine di consistenza di questo metodo è 2.
Dimostrazione
L'errore di troncamento si definisce come
![{\displaystyle \tau =1/h*[y(t+h)-y(t)-h/2(f(t_{n},y_{n})+f(t_{n+1},y_{n+1})]}](//restbase.wikitolearn.org/it.wikitolearn.org/v1/media/math/render/svg/d209464a7f10ef6d654713b83ccfc94bb7e07a9d)
![{\displaystyle \tau =1/h*[y(t+h)-y(t)-h/2y'(t)-h/2y'(t+h)]}](//restbase.wikitolearn.org/it.wikitolearn.org/v1/media/math/render/svg/7a9eeaeb13764afb139533317cf7f7df7f24f49b)
![{\displaystyle \tau =1/h*[y(t)+hy'(t)+h^{2}/2y''(t)+h^{3}/3y^{(3)}(\xi )-y(t)-h/2y'(t)-h/2y'(t)-h/2y''(t)h-h/2y^{(3)}(\eta )h^{2}/2]}](//restbase.wikitolearn.org/it.wikitolearn.org/v1/media/math/render/svg/6a33cc9e5db16fee0095c1e00f9d5aee3bc77fa6)
![{\displaystyle \tau =1/h*[h^{3}(ay^{(3)}(\xi )-by^{(3)}(\eta ))]=o(h^{2})}](//restbase.wikitolearn.org/it.wikitolearn.org/v1/media/math/render/svg/f21b56b1cbb49851d191d0c5514cabc41dc1df6c)
Considerando il metodo di Eulero implicito:

si ha un'equazione non lineare e può essere trattata in due modi:
- Definisco il metodo di punto fisso:

Affinché il metodo converga si richiede che
.In questo caso, con
si ha:
quindi la costante di Lipschitz influenza la scelta del passo di discretizzazione. Se la costante di Lipschitz è grande, bisogna scegliere un passo di discretizzazione piccolo per poter avere convergenza.
- Applico il metodo di Newton. Pongo
e cerco lo zero di
con il metodo
con vettore d'innesco
.
Come test d'arresto si ha il test dell'incremento.