Localizzazione degli autovalori

Cerchi di Gerschgorin[modifica | modifica wikitesto]

Definizione 3.1

Sia e definiamo i-esimo cerchio di Gerschgorin per righe l'insieme

(sono cerchi centrati nell'entrata diagonale i-esima e con raggio minore della somma delle entrate fuori diagonale della stessa riga). Analogamente si definiscono i cerchi di Gerschgorin per colonna:

 

I tre teoremi di localizzazione[modifica | modifica wikitesto]

Teorema 3.1

Lo spettro della matrice , cioè l'insieme dei suoi autovalori, è contenuto nell'unione dei cerchi di Gerschgorin, cioè è contenuta in

 


Teorema 3.2

Sia (unione di k cerchi) e (unione di cerchi) dove . Allora autovalori appartengono a e autovalori appartengono a .

 


Esempio 3.1

Considero , allora se c'è un autovalore complesso anche il suo coniugato è un autovalore di , e dev'essere contenuto nello stesso cerchio . Supponiamo che i cerchi di Gerschgorin relativi ad sono tali che è disgiunto da . Allora, siccome per il teorema 2 nel cerchio c'è solo un autovalore, si può dire che la matrice ha almeno due autovalori reali. Infatti l'autovalore contenuto in è necessariamente reale, perché non contiene il coniugato di questo autovalore. L'unione degli altri tre cerchi contiene tre autovalori, allora almeno uno di questi sarà sicuramente reale.

 


Teorema 3.3

Sia una matrice irriducibile. Se l'autovalore appartiene alla frontiera dell'unione di tutti i cerchi, allora esso appartiene alla frontiera di ogni cerchio.

 
Equivalentemente, il terzo teorema può essere riscritto nel seguente modo: supponiamo di avere , e supponiamo di avere un indice jtale che , allora non è autovalore.
Esempio 3.2

Considero la matrice con sulla diagonale principale e con sulla sopradiagonale e sottodiagonale. Alla prima e all'ultima riga corrispondono cerchi di raggio 1 e centro 2. Invece i cerchi corrispondenti alle righe dalla seconda alla penultima sono di raggio 2 e centro 2.

Allora per il teorema 3, è non singolare (0 non è autovalore), infatti non appartiene alla frontiera dei cerchi di raggio 1.
 

Dimostrazione del primo teorema di localizzazione[modifica | modifica wikitesto]

Dimostrazione

Dim. Sia , . Considero la i-esima equazione:

e separando le entrate otteniamo:
Considero la norma infinito di , allora esiste tale che .

Allora riscrivo la relazione come:

ed elidendo :
allora appartiene al cerchio . non è noto, allora appartiene all'unione di tutti i cerchi.
cvd

 


Osservazione 3.1

Supponiamo di avere una matrice diagonalmente dominante in senso stretto, oppure che sia diagonalmente dominante in senso debole e irriducibile. Allora è non singolare. Se inoltre è hermitiana e gli sono reali positivi, allora è definita positiva.

 
Dimostrazione

Siccome è diagonalmente dominante

quindi la distanza dell'autovalore dall'origine è maggiore del raggio, e i cerchi sono lontani dall'origine. quindi 0 non appartiene alla loro frontiera.

Nel caso di dominanza diagonale debole e irriducibilità, ho almeno un cerchio che tocca l'origine, perché esiste tale che

allora . Per l'irriducibilità esiste un altro indice tale che , allora . Allora per il terzo teorema 0 non può essere autovalore.

Se gli elementi diagonali della matrice sono positivi, i cerchi sono tutti nel semipiano positivo, gli autovalori sono positivi e la matrice è definita positiva.

cvd

 
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