Calcolo di autovalori estremi

Osservazione 3.2

Gli autovalori di una matrice sono le radici del polinomio caratteristico, ma non è conveniente calcolarli in questo modo. Al contrario, a volte il problema del calcolo delle radici di un polinomio viene ricondotto al calcolo degli autovalori di una matrice. Infatti dato un polinomio di grado $n$$n$ della forma

$$p_{n}=\lambda ^{n}+a_{n-1}\lambda ^{n-1}+\dots +a_{1}\lambda +a_{0},$$

$$p_{n}=\lambda ^{n}+a_{n-1}\lambda ^{n-1}+\dots +a_{1}\lambda +a_{0},$$

associo ad esso una particolare matrice della forma:

$${\begin{array}{ccccc}0&0&0&0&1\\1&0&0&0&a_{n-1}\\0&1&0&0&\dots \\0&0&1&0&a_{1}\\0&0&0&1&a_{0}\end{array}}$$

$${\begin{array}{ccccc}0&0&0&0&1\\1&0&0&0&a_{n-1}\\0&1&0&0&\dots \\0&0&1&0&a_{1}\\0&0&0&1&a_{0}\end{array}}$$

 

Condizionamento

Teorema 3.4

[teorema di Bauer-Flick] Sia $A$$A$ una matrice in $\mathrm {Mat} _{n,\mathbb {C} }$$\mathrm {Mat} _{n,\mathbb {C} }$ diagonalizzabile, della forma $S\lambda S^{-1}$$S\lambda S^{-1}$. Sia $E\in \mathrm {Mat} _{n,\mathbb {C} }$$E\in \mathrm {Mat} _{n,\mathbb {C} }$ matrice di perturbazione e consideriamo $\mu =\lambda (A+E)$$\mu =\lambda (A+E)$, autovalore di $A+E$$A+E$. Allora

$$\min _{i=1}^{n}|\mu -\lambda _{i}(A)|\leq K(S)*\vert E\vert$$

$$\min _{i=1}^{n}|\mu -\lambda _{i}(A)|\leq K(S)*\vert E\vert$$

con la norma matriciale assoluta.

 

Una norma matriciale assoluta è tale che la norma di una matrice diagonale è

$$\max _{i=1}^{n}|A_{ii}|$$

$$\max _{i=1}^{n}|A_{ii}|$$

Le norme 1,2, infinito sono norme assolute.

Caso particolare: Supponiamo che $A$$A$ sia hermitiana, diagonalizzata tramite matrici unitarie $Q,Q_{h}$$Q,Q_{h}$. Allora

$$\vert Q\vert =\vert Q_{h}\vert =1$$

$$\vert Q\vert =\vert Q_{h}\vert =1$$

Allora $K(Q)=K(S)=1$$K(Q)=K(S)=1$.
Se $A$$A$ è hermitiana, il problema del calcolo di autovalori è ben condizionato.

Se $A$$A$ non è hermitiana, allora il problema può essere ben condizionato o mal condizionato, e il condizionamento dipende dalla matrice $S$$S$.