Considero
coppie di dati,
, e fisso un modello di approssimazione, ho un set di funzioni
per
, che siano linearmente indipendenti.
Considero la combinazione lineare

che restituisce 0 se e solo se

.
Problema: Devo determinare la funzione

, tale che

.
Si può anche avere già
continua tale che
, ma può essere conveniente approssimarla con polinomi.
Teorema 5.1 (teorema di Iston-Weierstrass)
Data una funzione
continua su
, allora per ogni
esiste
e un polinomio
tale che
![{\displaystyle \vert f-p_{n}\vert =\max _{x\in [a,b]}|f(x)-p_{n}(x)|\leq \varepsilon }](//restbase.wikitolearn.org/it.wikitolearn.org/v1/media/math/render/svg/a4b45174156af6a0296dcf4bf8479bf93b6ab645)
Quindi, data una funzione continua, è una buona idea quella di usare polinomi per approssimarla.
Nella pratica, considero

e considero

tale che

per

(polinomio interpolante).
Teorema 5.2 (teorema di esistenza e unicità)
Dati
nodi a due a due disgiunti, allora esiste ed è unico il polinomio
al più di grado
tale che
.
Dimostrazione (Dimostrazione teorica)
Scrivo

e impongo le

condizioni di interpolazione:

e ho

equazioni in

incognite, equivalenti al sistema:

dove

,

, e

è una matrice con la seguente struttura:

e una matrice di questo tipo è detta di Vandermonde.
Si dimostra che

e siccome i nodi sono a due a due distinti per ipotesi, il determinante è diverso da 0, ovvero esiste ed è unico il polinomio interpolante perché il sistema si può risolvere e tutti i coefficienti sono determinati.
Dimostrazione (dimostrazione della formula $\ast$)
Consideriamo la matrice di Vandermonde in cui al nodo
sostituisco la generica variabile
, quindi

Allora

è un polinomio nella variabile

di grado

per la formula di Laplace.
Inoltre questo polinomio si annulla in

perché se a

sostituisco

, trovo una matrice con due righe uguali che ha determinante nullo.
Allora si avrà:

Valuto

in 0.

Inoltre per definizione:

e sappiamo che

quindi

ed eguagliando le due espressioni di

:

quindi per

ricavo l'espressione:

IPOTESI INDUTTIVA:

Allora



e ho dimostrato la formula

.
Nota: Spesso la matrice di Vandermonde è malcondizionata, quindi nella pratica non si usa questo procedimento per ottenere i polinomi interpolanti.
Dimostrazione (dimostrazione costruttiva)
L'obbiettivo è, come prima, quello di cercare un polinomio tale che
(condizione di interpolazione).
Premettiamo che i polinomi interpolanti sono unici, infatti, supponiamo per assurdo che esistano due polinomi
di grado
interpolanti, cioè che hanno come radici gli
, allora considero
, di grado n, che ha
zeri. Infatti
allora
è identicamente nullo e quindi
.
Considero una combinazione lineare di un opportuno set di funzioni (polinomi di Lagrange):

dove

(sono le ordinate degli

) e

con

polinomio di Lagrange.

Valutando

in un qualsiasi nodo

, segue che
- se
, tutti i numeratori sono uguali ai denominatori e si ottiene
- se invece
, segue che
, quindi un numeratore si annulla, e
.
In forma sintetica
.
Calcolo
in
:

e ho verificato la condizione di interpolazione per ogni

.