Interpolazione polinomiale a tratti (spline)

Definizione di spline[modifica | modifica wikitesto]

Definizione 5.4

Considero una funzione , dico che è una spline di grado se, dato un intervallo su cui considero il partizionamento

è definita come
dove le sono polinomi di grado k per , localmente , e tali che globalmente .

 

Nel caso , considero l'intervallo e una partizione, in ciascun sottointervallo si ha un polinomio di grado 1, e le sono localmente polinomi di grado 1 e è di classe sull'intervallo; si ha l'interpolazione lineare a tratti.

Nel caso si ha l'interpolazione spline cubica, si considera una partizione di , in ciascun sottointervallo definisco un polinomio di grado 3. è di classe sull'intervallo.

Sistema per la determinazione della spline[modifica | modifica wikitesto]

sono polinomi di grado 3, con . Ho coefficienti da determinare.

Devo imporre le seguenti condizioni:

  • condizioni di interpolazione, perché la spline deve valere in .
  • condizioni di raccordo con continuità, cioè per
  • condizioni sulle derivate, cioè e perché

dev'essere di classe

quindi mancano 2 condizioni per avere un sistema determinato di equazioni in incognite.

In base alle due condizioni aggiuntive che si impongono si hanno diversi tipi di spline:

Spline naturale
impongo che .
spline completa e vincolata
e .
Spline periodica
supponiamo , allora e analogamente .

Ho un sistema di equazioni in incognite, che però ha grandi dimensioni ed è spesso malcondizionato.

Metodo dei momenti[modifica | modifica wikitesto]

Definizione della funzione: Sia la derivata seconda di in , per (incognite da calcolare), dove sono detti momenti. Siccome ha grado 3, la sua derivata è un polinomio di grado 1, inoltre, imponendo le condizioni:

si ottiene
dove .
Integrando due volte ottengo:
Integrando nuovamente
Imposizione delle condizioni di interpolazione: Per determinare i nuovi parametri , impongo le condizioni di interpolazione e ottengo:
Inoltre
dove l'ultimo passaggio vale per la condizione di raccordo con continuità . Quindi, per ottengo:
Risolvo il sistema:
ed eguagliando le due equazioni ottengo:
invece ricavo dalla prima equazione:
e come soluzione del sistema ottengo
Imposizione delle condizioni di raccordo con continuità delle derivate:
Quindi, valutando in si ottiene:
analogamente
ed eguagliando le due espressioni:
e inserendo l'espressione della differenza divisa:
e dividendo ambo i membri per ottengo:
e moltiplicando per 6
Chiamo
e simmetricamente
e sono due quantità positive, che hanno la proprietà
per qualsiasi tipo di nodi.
Ho equazioni in incognite, date da:
Imposizione delle condizioni iniziali: La situazione dipende dalle condizioni imposte:

spline naturale
impongo che , e . Allora ottengo un

sistma dove è una matrice tridiagonale della forma:

è il vettore delle incognite, mentre il termine noto è
La matrice è diagonalmente dominante sulle righe.

Se i nodi sono equispaziati, cioè se , la matrice è simmetrica. Per risolvere il sistema si può usare l'eliminazione gaussiana senza pivot, oppure metodi diretti che convergono per la dominanza diagonale stretta.

spline completa
Impongo le condizioni
Tenendo conto che
si ha
che si riscrive come
dividendo per e moltiplicando per :
Analogamente imponendo ottengo:
In questo caso ho un sistema di equazioni della forma con:
Il vettore delle Incognite è
Il termine noto è:
Ho una matrice diagonalmente dominante in senso stretto, non è simmetrica neanche nel caso dei nodi equispaziati.
spline periodica
e analogamente .

La seconda si traduce nella condizione . Prendendo l'espressione di , si impone l'uguaglianza e si ha . Introduco un nodo fittizio esterno all'intervallo, impongo che . Imponendo tutte le condizioni si ottiene

Quindi il sistema è tale che:
Il vettore delle incognite è
mentre il vettore del termine noto è
Questa matrice non è tridiagonale a causa di in posizione e in posizione . La matrice in ogni caso è diagonalmente dominante in senso stretto. Se i nodi sono equispaziati si ha la simmetria.

Conclusione[modifica | modifica wikitesto]

Nei tre casi, la matrice è diagonalmente dominante in senso streto, e per il primo teorema di Gersch-Gorin è non singolare.
Teorema 5.7

Se i nodi sono distinti, allora esiste ed è unica la spline cubica che interpola funzione assegnata.

 


Teorema 5.8

Supponiamo che sia considero un partizionamento di in sottointervalli , e pongo e chiamo , e sia la spline cubica interpolante.

 
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