Suppongo di avere una funzione
continua su un certo intervallo
(invece che un insieme di dati), e suppongo di considerare un set di funzioni
che costituiscono un insieme di generatori indipendenti. Voglio determinare
tali che

Considero il prodotto scalare

pesato, tale che

dove

viene chiamata peso.
Si dice funzione peso una funzione
, e tale che
.
Il prodotto scalare induce una norma

Chiamo
![{\displaystyle \psi (a_{0},\dots ,a_{n})=(\vert f-\phi \vert )^{2}=\int _{a}^{b}[f(x)-\sum _{j=0}^{n}a_{j}\phi _{j}(x)]^{2}\omega _{x}\,dx}](//restbase.wikitolearn.org/it.wikitolearn.org/v1/media/math/render/svg/329b5c3fd9cf41fb39622953fd68f37a775dd6a9)
Per ogni

considero
![{\displaystyle {\frac {\partial \psi }{\partial a_{i}}}=\int _{a}^{b}{\frac {\partial }{\partial a_{i}}}[f-\sum _{j=0}^{n}\phi (x)^{2}]\omega (x)\,dx}](//restbase.wikitolearn.org/it.wikitolearn.org/v1/media/math/render/svg/cb7a3b87a98f158da02c706acecbf09664056229)

e impongo

Ottengo il sistema delle equazioni normali

con


Come nel caso discreto,

, e dimostriamo che

è simmetrica e definita positiva.
Proposizione 5.2
Se
è simmetrica definita positiva, allora esiste unica la soluzione del sistema

ed è un minimo.
Dimostrazione
La simmetria è ovvia per le proprietà del prodotto scalare

Dimostro che per ogni

.

dove

e sostituendo le espressioni dei

ottengo



se e solo se

, cioè

e quindi se e solo se

.
Si garantisce che l'unica soluzione del sistema lineare è un minimo.
Considero come peso
, e i generatori
(spazio dei polinomi di grado n).

Si ottiene una matrice di Henkel, costante lungo le antidiagonali.
Nel caso in cui
![{\displaystyle [a,b]=[0,1]}](//restbase.wikitolearn.org/it.wikitolearn.org/v1/media/math/render/svg/9de4d2b73008f49dd28f604a83a1e7423a8f7028)
si ha

e

è la matrice di Hilbert.

E' un esempio di matrice malcondizionata.
Per evitare di avere sistemi con matrici mal condizionate, considero
, in modo che
sia una matrice diagonale.
Introduco famiglie di polinomi ortogoali rispetto a funzioni peso assegnate.
Questi polinomi sono ortogonali sull'intervallo
con
.




dove

.
Segue che, siccome il sistema dei minimi quadrati ha una matrice diagonale, si ha

Il condizionamento spettrale di una matrice simmetrica e definita positiva è

e il condizionamento cresce in maniera lineare rispetto a

.
Definisco i pesi

e




Cerco

e il condizionamento è indipendente dalla dimensione.