Esercizi conclusivi

Esercizio 8.10

Considero il sistema

$$F=\{(\pm 0.\alpha _{1}\alpha _{2})*10^{e},\,-3<e<3,\,1<\alpha _{1}<9,\,0<\alpha _{i}<9\}$$

$$F=\{(\pm 0.\alpha _{1}\alpha _{2})*10^{e},\,-3<e<3,\,1<\alpha _{1}<9,\,0<\alpha _{i}<9\}$$

Calcolare il punto medio del segmento

$$(0.96*10^{-1},0.99*10^{-1})$$

$$(0.96*10^{-1},0.99*10^{-1})$$

usando le due formule

$$(a+b)/2$$

$$(a+b)/2$$

e

$$a+(b-a)/2$$

$$a+(b-a)/2$$

e commentare i risultati.

 

Usando la prima formula:

$$p=a+b=0,96*10^{-1}+0,99*10^{-1}=1,95*10^{-1}=0,195*10^{0}\not \in {\mathcal {F}}$$

$$p=a+b=0,96*10^{-1}+0,99*10^{-1}=1,95*10^{-1}=0,195*10^{0}\not \in {\mathcal {F}}$$

$$\mathrm {fl} (p)=0.2*10^{0}{\hbox{rounding to even}}$$

$$\mathrm {fl} (p)=0.2*10^{0}{\hbox{rounding to even}}$$

$$p/2=0.1*10^{0}\in {\mathcal {F}}$$

$$p/2=0.1*10^{0}\in {\mathcal {F}}$$

ma si ottiene un risultato che non sta nell'intervallo $(a,b)$$(a,b)$.

Con la seconda formula:

$$(b-a)=0.99*10^{-1}-0.96*10^{-1}=0.03*10^{-1}=0.3*10^{-2}\in {\mathcal {F}}$$

$$(b-a)=0.99*10^{-1}-0.96*10^{-1}=0.03*10^{-1}=0.3*10^{-2}\in {\mathcal {F}}$$

$$(b-a)/2=0.3*10^{-2}/2=0.15*10^{-2}\in {\mathcal {F}}$$

$$(b-a)/2=0.3*10^{-2}/2=0.15*10^{-2}\in {\mathcal {F}}$$

$$a+(b-a)/2=0.96*10^{-1}+0.015*10^{-1}=0.975*10^{-1}\not \in {\mathcal {F}}$$

$$a+(b-a)/2=0.96*10^{-1}+0.015*10^{-1}=0.975*10^{-1}\not \in {\mathcal {F}}$$

$$\mathrm {fl} (a+(b-a)/2)=0.98*10^{-1}\quad {\hbox{rounding to even}}$$

$$\mathrm {fl} (a+(b-a)/2)=0.98*10^{-1}\quad {\hbox{rounding to even}}$$

Il punto trovato sta nell'intervallo $[a,b]$$[a,b]$ ma non corrisponde al punto medio.

Esercizio 8.11

Sia data la funzione

$$f(x)=|x|$$

$$f(x)=|x|$$

scrivere nella base canonica, nella base di Lagrange e nella base di Newton il polinomio interpolante tale funzione in $-1,0,1$$-1,0,1$.

 

La tabella dei dati da interpolare è:

$${\begin{array}{cc}x&y\\\hline -1&1\\0&0\\1&1\end{array}}$$

$${\begin{array}{cc}x&y\\\hline -1&1\\0&0\\1&1\end{array}}$$

1. Nel caso della base canonica, voglio scrivere il polinomio come
   $$a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}$$

   $$a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}$$
   e impongo le condizioni
   $$p(x_{i})=y_{i},\,i=0,1,2$$

   $$p(x_{i})=y_{i},\,i=0,1,2$$
   e ottengo il sistema lineare:
   $${\begin{cases}p(-1)=a_{0}-a_{1}+a_{2}=1\\p(0)=a_{0}=0\\p(1)=a_{0}+a_{1}+a_{2}=1\end{cases}}$$

   $${\begin{cases}p(-1)=a_{0}-a_{1}+a_{2}=1\\p(0)=a_{0}=0\\p(1)=a_{0}+a_{1}+a_{2}=1\end{cases}}$$
   e la matrice ha la forma della matrice di Vandermonde:
   $${\begin{array}{ccc}1&-1&1\\1&0&0\\1&1&1\end{array}}$$

   $${\begin{array}{ccc}1&-1&1\\1&0&0\\1&1&1\end{array}}$$
   Risolvendo il sistema si ottiene:
   $$a_{0}=0,\,a_{1}=0,\,a_{2}=1$$

   $$a_{0}=0,\,a_{1}=0,\,a_{2}=1$$
   Quindi il polinomio interpolante è $p_{2}=x^{2}$$p_{2}=x^{2}$.
2. Nel caso della base di Lagrange:
   $$p_{2}(x)=y_{0}l_{0}(x)+y_{1}l_{1}(x)+y_{2}l_{2}(x)$$

   $$p_{2}(x)=y_{0}l_{0}(x)+y_{1}l_{1}(x)+y_{2}l_{2}(x)$$
   dove $l_{i}(x)=\prod _{j\neq i,j=0}^{n}{\frac {x-x_{j}}{x_{i}-x_{j}}}$$l_{i}(x)=\prod _{j\neq i,j=0}^{n}{\frac {x-x_{j}}{x_{i}-x_{j}}}$.
   $$l_{0}(x)={\frac {(x-x_{1})(x-x_{2})}{(x_{0}-x_{1})(x_{0}-x_{2})}}={\frac {x(x-1)}{2}}$$

   $$l_{0}(x)={\frac {(x-x_{1})(x-x_{2})}{(x_{0}-x_{1})(x_{0}-x_{2})}}={\frac {x(x-1)}{2}}$$
   Non calcolo $l_{1}(x)$$l_{1}(x)$ perché verrà moltiplicato per $y_{1}=0$$y_{1}=0$.
   $$l_{2}(x)={\frac {(x-x_{0})(x-x_{1})}{(x_{2}-x_{0})(x_{2}-x_{1})}}=x*(x+1)/2$$

   $$l_{2}(x)={\frac {(x-x_{0})(x-x_{1})}{(x_{2}-x_{0})(x_{2}-x_{1})}}=x*(x+1)/2$$
   Quindi
   $$p_{2}(x)=x(x-1)/2+x(x+1)/2$$

   $$p_{2}(x)=x(x-1)/2+x(x+1)/2$$
3. Rappresentando invece il polinomio interpolante nella base di Newton tramite le differenze divise si applica l'algoritmo alla Neville. Si ha che
   $$p_{2}(x)=f[x_{0}]+f[x_{0},x_{1}]*(x-x_{0})+f[x_{0},x_{1},x_{2}]*(x-x_{0})(x-x_{1})$$

   $$p_{2}(x)=f[x_{0}]+f[x_{0},x_{1}]*(x-x_{0})+f[x_{0},x_{1},x_{2}]*(x-x_{0})(x-x_{1})$$
   dove $x-x_{0}=x+1$$x-x_{0}=x+1$, $x-x_{1}=x$$x-x_{1}=x$.Calcolo le tre differenze divise con l'algoritmo alla Neville:
   $${\begin{array}{cccc}x_{0}&f(x_{0})&&\\x_{1}&f(x_{1})&f[x_{0},x_{1}]={\frac {f(x_{0})-f(x_{1})}{x_{0}-x_{1}}}&\\x_{2}&f(x_{2})&x[x_{2},x_{1}]={\frac {f(x_{2})-f(x_{1})}{x_{2}-x_{1}}}&f[x_{2},x_{1},x_{0}]={\frac {f[x_{2},x_{1}]-f[x_{1},x_{0}]}{x_{2}-x_{0}}}\end{array}}$$

   $${\begin{array}{cccc}x_{0}&f(x_{0})&&\\x_{1}&f(x_{1})&f[x_{0},x_{1}]={\frac {f(x_{0})-f(x_{1})}{x_{0}-x_{1}}}&\\x_{2}&f(x_{2})&x[x_{2},x_{1}]={\frac {f(x_{2})-f(x_{1})}{x_{2}-x_{1}}}&f[x_{2},x_{1},x_{0}]={\frac {f[x_{2},x_{1}]-f[x_{1},x_{0}]}{x_{2}-x_{0}}}\end{array}}$$
   Quindi, in questo caso:
   $${\begin{array}{cccc}-1&1&0&0\\0&0&-1&0\\1&1&1&1\\\end{array}}$$

   $${\begin{array}{cccc}-1&1&0&0\\0&0&-1&0\\1&1&1&1\\\end{array}}$$
   Scrivendo il polinomio esplicitamente ottengo:
   $$p_{2}(x)=1-1*(x+1)+1*x*(x+1)$$

   $$p_{2}(x)=1-1*(x+1)+1*x*(x+1)$$

Esercizio 8.12

Approssimare una funzione $f(x)$$f(x)$ generica sull'intervallo $[0,1]$$[0,1]$ con la retta dei minimi quadrati discreta relativa ai nodi $x_{k}=k/4$$x_{k}=k/4$ per $k=0,1,2,3,4$$k=0,1,2,3,4$.

Detta $r(x)$$r(x)$ l'approssimazione ottenuta, approssimare

$$\int _{0}^{1}f(x)$$

$$\int _{0}^{1}f(x)$$

con

$$I^{*}=\int _{0}^{1}r(x)$$

$$I^{*}=\int _{0}^{1}r(x)$$

e determinare il grado di precisione della formula di quadratura.

 

Nel metodo dei minimi quadrati

$$r(x)=a_{0}\phi _{0}(x)+a_{1}\phi _{1}(x)$$

$$r(x)=a_{0}\phi _{0}(x)+a_{1}\phi _{1}(x)$$

dove $\phi _{1}(x)=x,\phi _{0}(x)=1$$\phi _{1}(x)=x,\phi _{0}(x)=1$ nella base canonica.
Risolvo il sistema delle equazioni normali:

$$C{\boldsymbol {a}}={\boldsymbol {y}}$$

$$C{\boldsymbol {a}}={\boldsymbol {y}}$$

dove $C$$C$ è una matrice $2\times 2$$2\times 2$, e per i coefficienti e per il termine noto valgono le seguenti espressioni:

$$c_{ij}=\sum _{k=0}^{m}\phi _{i}(x_{k})*\phi _{j}(x_{k})$$

$$c_{ij}=\sum _{k=0}^{m}\phi _{i}(x_{k})*\phi _{j}(x_{k})$$

$${\boldsymbol {b}}=\sum _{k=0}^{m}\phi _{i}(x_{k})*f(x_{k}).$$

$${\boldsymbol {b}}=\sum _{k=0}^{m}\phi _{i}(x_{k})*f(x_{k}).$$

Il numero dei nodi è $5$$5$, quindi $m=4$$m=4$.
Ricavando i coefficienti:

$$c_{00}=\sum _{k=0}^{4}\phi _{0}(x_{k})*\phi _{0}(x_{k})=\sum _{k=0}^{4}1=5$$

$$c_{00}=\sum _{k=0}^{4}\phi _{0}(x_{k})*\phi _{0}(x_{k})=\sum _{k=0}^{4}1=5$$

$$c_{01}=c_{10}=\sum _{k=0}^{4}\phi _{0}(x_{k})\phi _{1}(x_{k})=\sum _{k=0}^{4}k/4=10/4=5/2$$

$$c_{01}=c_{10}=\sum _{k=0}^{4}\phi _{0}(x_{k})\phi _{1}(x_{k})=\sum _{k=0}^{4}k/4=10/4=5/2$$

$$c_{11}=\sum _{k=0}^{4}\phi _{1}(x_{k})*\phi _{1}(x_{k})=\sum _{k=0}^{4}(k/4)^{2}=(0+1+4+9+16)/16=30/16=15/8$$

$$c_{11}=\sum _{k=0}^{4}\phi _{1}(x_{k})*\phi _{1}(x_{k})=\sum _{k=0}^{4}(k/4)^{2}=(0+1+4+9+16)/16=30/16=15/8$$

$$b_{0}=\sum _{k=1}^{m}\phi _{0}(x_{k})*f(x_{k})=\sum _{k=0}^{4}f(x_{k})=\sigma _{1}$$

$$b_{0}=\sum _{k=1}^{m}\phi _{0}(x_{k})*f(x_{k})=\sum _{k=0}^{4}f(x_{k})=\sigma _{1}$$

$$b_{1}=\sum _{k=1}^{m}\phi _{1}(x_{k})*f(x_{k})=\sum _{k=0}^{4}k/4*f(x_{k})=\sigma _{2}$$

$$b_{1}=\sum _{k=1}^{m}\phi _{1}(x_{k})*f(x_{k})=\sum _{k=0}^{4}k/4*f(x_{k})=\sigma _{2}$$

Quindi sostituendo le espressioni trovate nel sistema:

$${\begin{cases}c_{00}a_{0}+c_{01}a_{1}=b_{0}\\c_{01}a_{0}+c_{11}a_{1}=b_{1}\end{cases}}$$

$${\begin{cases}c_{00}a_{0}+c_{01}a_{1}=b_{0}\\c_{01}a_{0}+c_{11}a_{1}=b_{1}\end{cases}}$$

ottengo

$${\begin{cases}5a_{0}+5/2a_{1}=\sigma _{1}\\5/2a_{0}+15/8a_{1}=\sigma _{2}\end{cases}}$$

$${\begin{cases}5a_{0}+5/2a_{1}=\sigma _{1}\\5/2a_{0}+15/8a_{1}=\sigma _{2}\end{cases}}$$

$${\begin{cases}5a_{0}+5/2a_{1}=\sigma _{1}\\5a_{0}+15/4a_{1}=2\sigma _{2}\end{cases}}$$

$${\begin{cases}5a_{0}+5/2a_{1}=\sigma _{1}\\5a_{0}+15/4a_{1}=2\sigma _{2}\end{cases}}$$

$$(15/4-5/2)a_{1}=2\sigma _{2}-\sigma _{1}$$

$$(15/4-5/2)a_{1}=2\sigma _{2}-\sigma _{1}$$

$$a_{1}=4/5*(2\sigma _{2}-\sigma _{1})$$

$$a_{1}=4/5*(2\sigma _{2}-\sigma _{1})$$

e sostituendo nella prima equazione

$$5a_{0}+5/24/5*(2\sigma _{2}-\sigma _{1})=\sigma _{1}$$

$$5a_{0}+5/24/5*(2\sigma _{2}-\sigma _{1})=\sigma _{1}$$

$$a_{0}=1/5*(3\sigma _{1}-4\sigma _{2})$$

$$a_{0}=1/5*(3\sigma _{1}-4\sigma _{2})$$

Quindi il polinomio approssimante è

$$r(x)=1/5*(3\sigma _{1}-4\sigma _{2})+4/5*(2\sigma _{2}-\sigma _{1})*x$$

$$r(x)=1/5*(3\sigma _{1}-4\sigma _{2})+4/5*(2\sigma _{2}-\sigma _{1})*x$$

Considero

$$I^{*}=\int _{0}^{1}r(x)=\int _{0}^{1}a_{0}+a_{1}x=a_{0}+a_{1}/2$$

$$I^{*}=\int _{0}^{1}r(x)=\int _{0}^{1}a_{0}+a_{1}x=a_{0}+a_{1}/2$$

e sostituendo le espressioni dei coefficienti:

$$I^{*}=1/5*(3\sigma _{1}-4\sigma _{2})+1/2*4/5*(2\sigma _{2}-\sigma _{1})=3/5\sigma _{1}-4/5\sigma _{2}+4/5*\sigma _{2}-2/5\sigma _{1}=1/5\sigma _{1}$$

$$I^{*}=1/5*(3\sigma _{1}-4\sigma _{2})+1/2*4/5*(2\sigma _{2}-\sigma _{1})=3/5\sigma _{1}-4/5\sigma _{2}+4/5*\sigma _{2}-2/5\sigma _{1}=1/5\sigma _{1}$$

$$=1/5\sum _{k=0}^{4}f(k/4)$$

$$=1/5\sum _{k=0}^{4}f(k/4)$$

Il grado di precisione k è almeno 1 per costruzione. Verifico se il grado di precisione è 2. Sappiamo che

$$\int _{0}^{1}x^{2}=1/3$$

$$\int _{0}^{1}x^{2}=1/3$$

e con la formula di quadratura $I^{*}$$I^{*}$:

$$1/5*(\sum _{k=0}^{4}x^{2}(k/4))=\sum _{k=0}^{4}(k/4)^{2}=3/8\neq 1/3$$

$$1/5*(\sum _{k=0}^{4}x^{2}(k/4))=\sum _{k=0}^{4}(k/4)^{2}=3/8\neq 1/3$$

quindi il grado di precisione è 1.

Esercizio 8.13

Approssimare

$$I(f)=\int _{a}^{b}f(x)$$

$$I(f)=\int _{a}^{b}f(x)$$

nella forma

$$\alpha f(a)+\beta f(b)={\bar {I}}(f)$$

$$\alpha f(a)+\beta f(b)={\bar {I}}(f)$$

determinare $\alpha ,\beta$$\alpha ,\beta$ in modo che il grado di precisione sia massimo e verificare che coincide con la formula dei trapezi. Applicare la formula al calcolo dell'integrale

$$\int _{0}^{\pi /2}\sin x$$

$$\int _{0}^{\pi /2}\sin x$$

e calcolare l'errore assoluto effettivo e quello stimato.

 

Impongo che le costanti vengano integrate correttamente:

$$\int _{a}^{b}1=b-a=\alpha f(a)+\beta f(b)=\alpha +\beta$$

$$\int _{a}^{b}1=b-a=\alpha f(a)+\beta f(b)=\alpha +\beta$$

quindi

$$b-a=\alpha +\beta \quad {\hbox{equazione 1}}$$

$$b-a=\alpha +\beta \quad {\hbox{equazione 1}}$$

Chiedendo grado di precisione 1:

$$\int _{a}^{b}x=[x^{2}/2]_{a}^{b}=b^{2}/2-a^{2}/2=\beta b+\alpha a$$

$$\int _{a}^{b}x=[x^{2}/2]_{a}^{b}=b^{2}/2-a^{2}/2=\beta b+\alpha a$$

e risolvendo

$${\begin{cases}b-a=\alpha +\beta \\b^{2}/2-a^{2}/2=\beta b+\alpha a\end{cases}}$$

$${\begin{cases}b-a=\alpha +\beta \\b^{2}/2-a^{2}/2=\beta b+\alpha a\end{cases}}$$

$${\begin{cases}\alpha =b-a-\beta \\b^{2}/2-a^{2}/2=\beta b+(b-a-\beta )a\end{cases}}$$

$${\begin{cases}\alpha =b-a-\beta \\b^{2}/2-a^{2}/2=\beta b+(b-a-\beta )a\end{cases}}$$

$${\begin{cases}\alpha =b-a-\beta \\b^{2}/2-a^{2}/2=\beta b+ab-a^{2}-a\beta \end{cases}}$$

$${\begin{cases}\alpha =b-a-\beta \\b^{2}/2-a^{2}/2=\beta b+ab-a^{2}-a\beta \end{cases}}$$

$$b^{2}/2-a^{2}/2=\beta b+ab-a^{2}-a\beta$$

$$b^{2}/2-a^{2}/2=\beta b+ab-a^{2}-a\beta$$

$$b^{2}/2+a^{2}/2-ab=\beta (b-a)$$

$$b^{2}/2+a^{2}/2-ab=\beta (b-a)$$

$$1/2(b-a)^{2}=\beta *(b-a)$$

$$1/2(b-a)^{2}=\beta *(b-a)$$

$$\beta =(b-a)/2$$

$$\beta =(b-a)/2$$

e sostituendo nella prima equazione

$$b-a=\alpha +(b-a)/2$$

$$b-a=\alpha +(b-a)/2$$

quindi

$$\alpha =\beta =(b-a)/2$$

$$\alpha =\beta =(b-a)/2$$

e la formula che si scrive come

$${\bar {I}}_{f}=(b-a)/2*(f(b)-f(a))$$

$${\bar {I}}_{f}=(b-a)/2*(f(b)-f(a))$$

è la formula dei trapezi. L'integrale esatto è

$$\int _{0}^{\pi /2}\sin x=1$$

$$\int _{0}^{\pi /2}\sin x=1$$

mentre l'integrale calcolato usando la formula è

$${\bar {I}}(f)=\pi /4*(\sin 0+\sin \pi /2)=\pi /4\simeq 0.7853\dots$$

$${\bar {I}}(f)=\pi /4*(\sin 0+\sin \pi /2)=\pi /4\simeq 0.7853\dots$$

L'errore assoluto è

$$|I(f)-{\bar {I}}(f)|=0.2146\dots$$

$$|I(f)-{\bar {I}}(f)|=0.2146\dots$$

mentre l'errore stimato è

$$I_{s}(f)=(b-a)^{3}/12*|f^{(2)}(\xi )|,\,\xi \in [a,b]$$

$$I_{s}(f)=(b-a)^{3}/12*|f^{(2)}(\xi )|,\,\xi \in [a,b]$$

$$(\pi /2)^{3}*1/12*\sin(\xi )\leq \pi ^{3}/3*1/12\sim 0.33\dots$$

$$(\pi /2)^{3}*1/12*\sin(\xi )\leq \pi ^{3}/3*1/12\sim 0.33\dots$$

Esercizio 8.14

Sia

$$I_{f}=\int _{0}^{1}\cos x\,dx$$

$$I_{f}=\int _{0}^{1}\cos x\,dx$$

Applicando la formula dei trapezi composita, determinare quante suddivisioni dell'intervallo $[0,1]$$[0,1]$ sono necessarie affinché l'errore sia più piccolo di $10^{-2}$$10^{-2}$. Calcolare il valore approssimato e l'errore effettivo.

 

$$\int _{0}^{1}\cos x\,dx=\sin 1\simeq 0.84$$

$$\int _{0}^{1}\cos x\,dx=\sin 1\simeq 0.84$$

L'errore della formula di quadratura dei trapezi composita è dato da:

$$s_{n}(f)=|-(b-a)|/12*H^{2}f^{(2)}(\xi )$$

$$s_{n}(f)=|-(b-a)|/12*H^{2}f^{(2)}(\xi )$$

dove $b-a=1$$b-a=1$, $H=(b-a)/n$$H=(b-a)/n$ e $f^{(2)}(\psi )=-\sin \psi$$f^{(2)}(\psi )=-\sin \psi$.

Quindi

$$s_{n}(f)=1/12*H^{2}\sin \psi$$

$$s_{n}(f)=1/12*H^{2}\sin \psi$$

e siccome cerco un errore minore di $10^{-2}$$10^{-2}$:

$$s_{n}(f)=1/12*H^{2}\sin \psi \leq 1/12H^{2}\leq 10^{-2}$$

$$s_{n}(f)=1/12*H^{2}\sin \psi \leq 1/12H^{2}\leq 10^{-2}$$

$$\longrightarrow H\leq {\sqrt {12*10^{-2}}}=0.346\dots$$

$$\longrightarrow H\leq {\sqrt {12*10^{-2}}}=0.346\dots$$

quindi richiedo che $H<0.34\dots$$H<0.34\dots$.

Pongo $H=1/3$$H=1/3$. Applicando la formula con il passo $H=1/3$$H=1/3$ scelto ottengo $n=3$$n=3$. Applicando la formula dei trapezi composita ottengo:

$${\bar {I}}_{n}(f)=H/2(f(0)+2f(1/3)+2f(2/3)+f(1))=1/6*(\cos 1+2*\cos 1/3+2*\cos 2/3+\cos 1)=0.8336$$

$${\bar {I}}_{n}(f)=H/2(f(0)+2f(1/3)+2f(2/3)+f(1))=1/6*(\cos 1+2*\cos 1/3+2*\cos 2/3+\cos 1)=0.8336$$

L'errore assoluto $E_{f}=|I(f)-{\bar {I}}(f)|=0.78\dots *10^{-2}$$E_{f}=|I(f)-{\bar {I}}(f)|=0.78\dots *10^{-2}$.

Esercizio 8.15

Dato un metodo multipasso

$$y_{n+2}=(1+a)y_{n+1}-ay_{n}+hf_{n+1}-ahf_{n}$$

$$y_{n+2}=(1+a)y_{n+1}-ay_{n}+hf_{n+1}-ahf_{n}$$

con $a\in \mathbb {R}$$a\in \mathbb {R}$, determinare per quali valori di $a$$a$ il metodo ha ordine di converenza massimo.

 

Affinché il metodo sia convergente dev'essere consistente e 0-stabile, quindi valuto le condizioni di consistenza:

Dato il metodo

$$\sum _{j=0}^{k}\alpha _{j}y_{n+j}=h\sum _{j=0}^{k}\beta _{j}f_{n+j}$$

$$\sum _{j=0}^{k}\alpha _{j}y_{n+j}=h\sum _{j=0}^{k}\beta _{j}f_{n+j}$$

si richiede che

$$\sum _{j=0}^{n}\alpha _{j}=0$$

$$\sum _{j=0}^{n}\alpha _{j}=0$$

e che

$$\sum _{j=0}^{k}\alpha _{j}jy'(t_{n})=\phi _{f}$$

$$\sum _{j=0}^{k}\alpha _{j}jy'(t_{n})=\phi _{f}$$

In questo caso, riscrivendo il metodo come:

$$y_{n+2}-(1+a)y_{n+1}+ay_{n}=hf_{n+1}-ahf_{n}$$

$$y_{n+2}-(1+a)y_{n+1}+ay_{n}=hf_{n+1}-ahf_{n}$$

$$\alpha _{0}=a,\,\alpha _{1}=-(1+a),\,\alpha _{2}=1$$

$$\alpha _{0}=a,\,\alpha _{1}=-(1+a),\,\alpha _{2}=1$$

$$\beta _{0}=-a,\,\beta _{1}=1,\,\beta _{2}=0$$

$$\beta _{0}=-a,\,\beta _{1}=1,\,\beta _{2}=0$$

Imponendo le condizioni di consistenza:

1. $$c_{0}=\sum _{j=0}^{2}\alpha _{j}=0=a-(1+a)+1=0$$

   $$c_{0}=\sum _{j=0}^{2}\alpha _{j}=0=a-(1+a)+1=0$$
   e la condizione è già verificata.
2. Se la condizione
   $$\sum _{j}j\alpha _{j}-\sum _{j}\beta _{j}=0$$

   $$\sum _{j}j\alpha _{j}-\sum _{j}\beta _{j}=0$$
   è verificata, il metodo ha ordine di consistenza 1, integrando successivamente ambo i membri rispetto a j, se l'uguaglianza è verificata il metodo avrà consistenza 2, se questo è vero dopo l'$n+1$$n+1$-esima integrazione, il metodo ha consistenza $n$$n$.Quindi
   $$c_{1}=\sum _{j=0}^{2}(j\alpha _{j}-\beta _{j})=0*a-1*(1+a)+2*1-a-1-0=-1-a+2-(-a)-1=0$$

   $$c_{1}=\sum _{j=0}^{2}(j\alpha _{j}-\beta _{j})=0*a-1*(1+a)+2*1-a-1-0=-1-a+2-(-a)-1=0$$
   $$c_{2}=\sum _{j=0}^{2}(j^{2}/2*\alpha _{j}-j\beta _{j})=0-1/2*(a+1)+2+0*(-a)-1=-a/2-1/2+1=-a/2+1/2$$

   $$c_{2}=\sum _{j=0}^{2}(j^{2}/2*\alpha _{j}-j\beta _{j})=0-1/2*(a+1)+2+0*(-a)-1=-a/2-1/2+1=-a/2+1/2$$
   e la quantità è nulla se e solo se $a=1$$a=1$.
   $$C_{3}=\sum _{j=0}^{2}(j^{3}/6\alpha _{j}-j^{2}/2\beta _{j})=-1/6*2+8/6-1/2*1=1/2\neq 0$$

   $$C_{3}=\sum _{j=0}^{2}(j^{3}/6\alpha _{j}-j^{2}/2\beta _{j})=-1/6*2+8/6-1/2*1=1/2\neq 0$$
   Si conclude che la consistenza è di ordine $p=1$$p=1$ per ogni $a$$a$, ed è di ordine 2 per $a=1$$a=1$.

Per verificare se il metodo è convergente, verifico se è anche 0-stabile, cioè se il polinomio $\rho$$\rho$ verifica la root condition.

$$\rho =\alpha _{2}z^{2}+\alpha _{1}z+\alpha _{0}=z^{2}-(1+a)z+a=0$$

$$\rho =\alpha _{2}z^{2}+\alpha _{1}z+\alpha _{0}=z^{2}-(1+a)z+a=0$$

$$z_{1}=1,\,z_{1}*z_{2}=\alpha _{0}/\alpha _{2}=a$$

$$z_{1}=1,\,z_{1}*z_{2}=\alpha _{0}/\alpha _{2}=a$$

$$z_{1}=1,\,z_{2}=a$$

$$z_{1}=1,\,z_{2}=a$$

La root condition è soddisfatta se

$$|a|\leq 1$$

$$|a|\leq 1$$

Se $a=1$$a=1$, 1 è una radice doppia, e la root condition è violata. Invece, se $a=-1$$a=-1$, la root condition vale.

Esercizio 8.16

Si consideri il seguente sistema di numeri floating point:

$${\mathcal {F}}=\{(\pm 0,\alpha _{1}\alpha _{2},\alpha _{3})*10^{e},\,1\leq \alpha _{1}\leq 9,\,0\leq \alpha _{2},\alpha _{3}\leq 9,\,-12\leq e\leq 12\}\cup 0$$

$${\mathcal {F}}=\{(\pm 0,\alpha _{1}\alpha _{2},\alpha _{3})*10^{e},\,1\leq \alpha _{1}\leq 9,\,0\leq \alpha _{2},\alpha _{3}\leq 9,\,-12\leq e\leq 12\}\cup 0$$

1. Dare un esempio di due numeri di ${\mathcal {F}}$${\mathcal {F}}$ la cui somma dia overflow in ${\mathcal {F}}$${\mathcal {F}}$ e la cui differenza dia underflow in ${\mathcal {F}}$${\mathcal {F}}$.
2. Determinare il più piccolo intero che non sta in ${\mathcal {F}}$${\mathcal {F}}$.
3. Eseguire in ${\mathcal {F}}$${\mathcal {F}}$ le operazioni
   $$(1/7)*7$$

   $$(1/7)*7$$
   $$(1/8)*8$$

   $$(1/8)*8$$
   e calcolare il corrispondente errore relativo.

 

1. Osservo che facendo la somma
   $$0.999*10^{12}+0.999*10^{12}=1.998*10^{12}=0.1998*10^{13}=0.1*10^{13}\not \in {\mathcal {F}}$$

   $$0.999*10^{12}+0.999*10^{12}=1.998*10^{12}=0.1998*10^{13}=0.1*10^{13}\not \in {\mathcal {F}}$$
   si va in overflow.Invece facendo la differenza
   $$0.12*10^{-12}-0.11*10^{-12}=0.01*10^{-12}=0.1*10^{-13}\not \in F$$

   $$0.12*10^{-12}-0.11*10^{-12}=0.01*10^{-12}=0.1*10^{-13}\not \in F$$
   si va in underflow.
2. Impongo $p+1-t=1$$p+1-t=1$, quindi $p=3$$p=3$.$(10^{3},10^{4})$$(10^{3},10^{4})$ è l'intervallo degli interi non consecutivi.
   $$x=1001=0.1*10^{4}$$

   $$x=1001=0.1*10^{4}$$
   è il più piccolo intero che non sta in ${\mathcal {F}}$${\mathcal {F}}$.
3. Osservo che
   $$1/7=0.1428\dots =0.143$$

   $$1/7=0.1428\dots =0.143$$
   $$0.143*7=0.1001=0.1*10^{1}\in {\mathcal {F}}$$

   $$0.143*7=0.1001=0.1*10^{1}\in {\mathcal {F}}$$
   $$1/8=0.125$$

   $$1/8=0.125$$
   $$0.125*8=0.1$$

   $$0.125*8=0.1$$
   $$e_{r,7}=(1-0.1)/1=0.9$$

   $$e_{r,7}=(1-0.1)/1=0.9$$
   $$e_{r,8}=0.9$$

   $$e_{r,8}=0.9$$

Esercizio 8.17

Sia data la matrice

$$A={\begin{array}{ccc}\alpha _{1}&\alpha _{2}&\alpha _{3}\\\alpha _{2}&\beta _{2}&0\\\alpha _{3}&0&\beta _{3}\end{array}}$$

$$A={\begin{array}{ccc}\alpha _{1}&\alpha _{2}&\alpha _{3}\\\alpha _{2}&\beta _{2}&0\\\alpha _{3}&0&\beta _{3}\end{array}}$$

con $\alpha _{i},\beta _{i}$$\alpha _{i},\beta _{i}$ parametri reali.

1. Calcolare, quando possibile, la fattorizzazione $A=LU$$A=LU$
2. Determinare la matrice di permutazione $P$$P$ tale che
   $$PAP^{t}=LU$$

   $$PAP^{t}=LU$$
   con
   $$L={\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\\alpha _{3}/\beta _{3}&\alpha _{2}/\beta _{2}&1\end{array}}$$

   $$L={\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\\alpha _{3}/\beta _{3}&\alpha _{2}/\beta _{2}&1\end{array}}$$
   $$U={\begin{array}{ccc}\beta _{3}&0&\alpha _{3}\\0&\beta _{2}&\alpha _{2}\\0&0&\alpha _{1}-\alpha _{2}^{2}/\beta _{2}-\alpha _{3}^{2}/\beta _{3}\end{array}}$$

   $$U={\begin{array}{ccc}\beta _{3}&0&\alpha _{3}\\0&\beta _{2}&\alpha _{2}\\0&0&\alpha _{1}-\alpha _{2}^{2}/\beta _{2}-\alpha _{3}^{2}/\beta _{3}\end{array}}$$
3. Applicando il criterio di Sylvester, determinare la condizione affinché $A$$A$ sia simmetrica e definita positiva.
4. Calcolare, quando possibile, la decomposizione di Cholesky di $A$$A$.

 

1. Calcolo la fattorizzazione della matrice:Al passo 1:
   $$M_{1}={\begin{array}{ccc}1&0&0\\-\alpha _{2}/\alpha _{1}&1&0\\-\alpha _{3}/\alpha _{1}&0&1\end{array}}$$

   $$M_{1}={\begin{array}{ccc}1&0&0\\-\alpha _{2}/\alpha _{1}&1&0\\-\alpha _{3}/\alpha _{1}&0&1\end{array}}$$
   e per il prodotto si ha
   $$M_{1}A_{1}={\begin{array}{ccc}\alpha _{1}&\alpha _{2}&\alpha _{3}\\0&\beta _{2}-\alpha _{2}^{2}/\alpha _{1}&-\alpha _{3}\alpha _{2}/\alpha _{1}\\0&-\alpha _{2}\alpha _{3}/\alpha _{1}&\beta _{3}-\alpha _{3}^{2}/\alpha _{1}\end{array}}$$

   $$M_{1}A_{1}={\begin{array}{ccc}\alpha _{1}&\alpha _{2}&\alpha _{3}\\0&\beta _{2}-\alpha _{2}^{2}/\alpha _{1}&-\alpha _{3}\alpha _{2}/\alpha _{1}\\0&-\alpha _{2}\alpha _{3}/\alpha _{1}&\beta _{3}-\alpha _{3}^{2}/\alpha _{1}\end{array}}$$
   $${\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\0&-\gamma &1\end{array}}$$

   $${\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\0&-\gamma &1\end{array}}$$
   con
   $$\gamma ={\frac {\alpha _{2}\alpha _{3}/\alpha _{1}}{\beta _{2}-\alpha _{2}^{2}/\alpha _{1}}}$$

   $$\gamma ={\frac {\alpha _{2}\alpha _{3}/\alpha _{1}}{\beta _{2}-\alpha _{2}^{2}/\alpha _{1}}}$$
   $$\gamma ={\frac {\alpha _{2}\alpha _{3}}{\beta _{2}\alpha _{1}-\alpha _{2}^{2}}}$$

   $$\gamma ={\frac {\alpha _{2}\alpha _{3}}{\beta _{2}\alpha _{1}-\alpha _{2}^{2}}}$$
   $$\delta =\beta _{3}-\alpha _{3}^{2}/\alpha _{1}-\alpha _{2}\alpha _{3}/\alpha _{1}*{\frac {\alpha _{2}\alpha _{3}}{\beta _{2}\alpha _{1}-\alpha _{2}^{2}}}$$

   $$\delta =\beta _{3}-\alpha _{3}^{2}/\alpha _{1}-\alpha _{2}\alpha _{3}/\alpha _{1}*{\frac {\alpha _{2}\alpha _{3}}{\beta _{2}\alpha _{1}-\alpha _{2}^{2}}}$$
   $$\delta =\beta _{3}-\alpha _{3}^{2}/\alpha _{1}-{\frac {\alpha _{2}^{2}\alpha _{3}^{2}}{\alpha _{1}(\beta _{2}\alpha _{1}-\alpha _{2}^{2})}}$$

   $$\delta =\beta _{3}-\alpha _{3}^{2}/\alpha _{1}-{\frac {\alpha _{2}^{2}\alpha _{3}^{2}}{\alpha _{1}(\beta _{2}\alpha _{1}-\alpha _{2}^{2})}}$$
   $$\delta ={\frac {\beta _{3}\alpha _{1}(\beta _{2}\alpha _{1}-\alpha _{2}^{2})-\alpha _{3}^{2}(\beta _{2}\alpha _{1}-\alpha _{2}^{2})-\alpha _{2}^{2}\alpha _{3}^{2}}{\alpha _{1}(\beta _{2}\alpha _{1}-\alpha _{2}^{2})}}$$

   $$\delta ={\frac {\beta _{3}\alpha _{1}(\beta _{2}\alpha _{1}-\alpha _{2}^{2})-\alpha _{3}^{2}(\beta _{2}\alpha _{1}-\alpha _{2}^{2})-\alpha _{2}^{2}\alpha _{3}^{2}}{\alpha _{1}(\beta _{2}\alpha _{1}-\alpha _{2}^{2})}}$$
   $$\delta ={\frac {\beta _{3}\beta _{2}\alpha _{1}^{2}-\beta _{3}\alpha _{1}\alpha _{2}^{2}-\alpha _{3}^{2}\beta _{2}\alpha _{1}+\alpha _{3}^{2}\alpha _{2}^{2}-\alpha _{2}^{2}\alpha _{3}^{2}}{\alpha _{1}(\beta _{2}\alpha _{1}-\alpha _{2}^{2})}}$$

   $$\delta ={\frac {\beta _{3}\beta _{2}\alpha _{1}^{2}-\beta _{3}\alpha _{1}\alpha _{2}^{2}-\alpha _{3}^{2}\beta _{2}\alpha _{1}+\alpha _{3}^{2}\alpha _{2}^{2}-\alpha _{2}^{2}\alpha _{3}^{2}}{\alpha _{1}(\beta _{2}\alpha _{1}-\alpha _{2}^{2})}}$$
   $$\delta ={\frac {\beta _{3}\beta _{2}\alpha _{1}^{2}-\beta _{3}\alpha _{1}\alpha _{2}^{2}-\alpha _{3}^{2}\beta _{2}\alpha _{1}}{\alpha _{1}(\beta _{2}\alpha _{1}-\alpha _{2}^{2})}}$$

   $$\delta ={\frac {\beta _{3}\beta _{2}\alpha _{1}^{2}-\beta _{3}\alpha _{1}\alpha _{2}^{2}-\alpha _{3}^{2}\beta _{2}\alpha _{1}}{\alpha _{1}(\beta _{2}\alpha _{1}-\alpha _{2}^{2})}}$$
   $$M_{2}M_{1}A_{1}={\begin{array}{ccc}\alpha _{1}&\alpha _{2}&\alpha _{3}\\0&\beta _{2}-\alpha _{2}^{2}/\alpha _{1}&-\alpha _{3}\alpha _{2}/\alpha _{1}\\0&0&-\delta \end{array}}$$

   $$M_{2}M_{1}A_{1}={\begin{array}{ccc}\alpha _{1}&\alpha _{2}&\alpha _{3}\\0&\beta _{2}-\alpha _{2}^{2}/\alpha _{1}&-\alpha _{3}\alpha _{2}/\alpha _{1}\\0&0&-\delta \end{array}}$$
   La matrice triangolare superiore ottenuta alla fine è U, invece la L è
   $${\begin{array}{ccc}1&0&0\\\alpha _{2}/\alpha _{1}&1&0\\\alpha _{3}/\alpha _{1}&\gamma &1\end{array}}$$

   $${\begin{array}{ccc}1&0&0\\\alpha _{2}/\alpha _{1}&1&0\\\alpha _{3}/\alpha _{1}&\gamma &1\end{array}}$$
2. La matrice di permutazione cercata, tenendo conto che
   $$LU={\begin{array}{ccc}\beta _{3}&0&\alpha _{3}\\0&\beta _{2}&\alpha _{2}\\\alpha _{3}&\alpha _{2}&\alpha _{1}\end{array}}$$

   $$LU={\begin{array}{ccc}\beta _{3}&0&\alpha _{3}\\0&\beta _{2}&\alpha _{2}\\\alpha _{3}&\alpha _{2}&\alpha _{1}\end{array}}$$
   è
   $$P=[001;010;100]$$

   $$P=[001;010;100]$$
3. Applico il criterio di Sylvester:
   $$\det A_{1}=\alpha _{1}>0$$

   $$\det A_{1}=\alpha _{1}>0$$
   $$\det A_{2}=\alpha _{1}*\beta _{2}-\alpha _{2}*\alpha _{2}>0$$

   $$\det A_{2}=\alpha _{1}*\beta _{2}-\alpha _{2}*\alpha _{2}>0$$
   $$\det A_{3}=-\alpha _{3}^{2}+\beta _{3}*(\alpha _{1}\beta _{2}-\alpha _{2}^{2})>0$$

   $$\det A_{3}=-\alpha _{3}^{2}+\beta _{3}*(\alpha _{1}\beta _{2}-\alpha _{2}^{2})>0$$
4. Si osserva che
   $$A=A^{t}$$

   $$A=A^{t}$$
   e la matrice è definita positiva se si impongono le condizioni del punto precedente.
   $$R=D^{-1/2}*U$$

   $$R=D^{-1/2}*U$$
   $D$$D$ è la matrice con $1/{\sqrt {U_{ii}}}$$1/{\sqrt {U_{ii}}}$ sulla diagonale.Alternativamente, posso applicare direttamente la fattorizzazione di Cholesky ad $A$$A$ e ottengo:
   $$\rho _{1}={\sqrt {\alpha _{1}}}$$

   $$\rho _{1}={\sqrt {\alpha _{1}}}$$
   $${\boldsymbol {r}}_{1}=(\alpha _{2}/{\sqrt {\alpha _{1}}},\alpha _{3}/{\sqrt {\alpha _{1}}})$$

   $${\boldsymbol {r}}_{1}=(\alpha _{2}/{\sqrt {\alpha _{1}}},\alpha _{3}/{\sqrt {\alpha _{1}}})$$
   $${\boldsymbol {r}}{\boldsymbol {r}}^{t}=\left({\begin{array}{cc}\alpha _{2}^{2}/\alpha _{1}&\alpha _{2}\alpha _{3}/\alpha _{1}\\\alpha _{2}\alpha _{3}/\alpha _{1}&\alpha _{3}^{2}/\alpha _{1}\end{array}}\right)$$

   $${\boldsymbol {r}}{\boldsymbol {r}}^{t}=\left({\begin{array}{cc}\alpha _{2}^{2}/\alpha _{1}&\alpha _{2}\alpha _{3}/\alpha _{1}\\\alpha _{2}\alpha _{3}/\alpha _{1}&\alpha _{3}^{2}/\alpha _{1}\end{array}}\right)$$
   $${\hat {A}}=A_{2\times 2}-{\boldsymbol {r}}{\boldsymbol {r}}^{t}$$

   $${\hat {A}}=A_{2\times 2}-{\boldsymbol {r}}{\boldsymbol {r}}^{t}$$
   $$A_{2}={\begin{array}{ccc}{\sqrt {\alpha _{1}}}&\alpha _{2}/{\sqrt {\alpha _{1}}}&\alpha _{3}/{\sqrt {\alpha _{1}}}\\0&\beta _{2}-\alpha _{2}^{2}/\alpha _{1}&-\alpha _{2}\alpha _{3}/\alpha _{1}\\0&-\alpha _{2}\alpha _{3}/\alpha _{1}&\beta _{3}-\alpha _{3}^{2}/\alpha _{1}\end{array}}$$

   $$A_{2}={\begin{array}{ccc}{\sqrt {\alpha _{1}}}&\alpha _{2}/{\sqrt {\alpha _{1}}}&\alpha _{3}/{\sqrt {\alpha _{1}}}\\0&\beta _{2}-\alpha _{2}^{2}/\alpha _{1}&-\alpha _{2}\alpha _{3}/\alpha _{1}\\0&-\alpha _{2}\alpha _{3}/\alpha _{1}&\beta _{3}-\alpha _{3}^{2}/\alpha _{1}\end{array}}$$
   $$\rho _{2}={\sqrt {\beta _{2}-\alpha _{2}^{2}/\alpha _{1}}}$$

   $$\rho _{2}={\sqrt {\beta _{2}-\alpha _{2}^{2}/\alpha _{1}}}$$
   $${\boldsymbol {r}}=\eta$$

   $${\boldsymbol {r}}=\eta$$
   $$A={\begin{array}{ccc}{\sqrt {\alpha _{1}}}&\alpha _{2}/{\sqrt {\alpha _{1}}}&\alpha _{3}/{\sqrt {\alpha _{1}}}\\0&{\sqrt {\beta _{2}-\alpha _{2}^{2}/\alpha _{1}}}&-\eta \\0&0&\beta _{3}-\alpha _{3}^{2}/\alpha _{1}-\eta ^{2}\end{array}}$$

   $$A={\begin{array}{ccc}{\sqrt {\alpha _{1}}}&\alpha _{2}/{\sqrt {\alpha _{1}}}&\alpha _{3}/{\sqrt {\alpha _{1}}}\\0&{\sqrt {\beta _{2}-\alpha _{2}^{2}/\alpha _{1}}}&-\eta \\0&0&\beta _{3}-\alpha _{3}^{2}/\alpha _{1}-\eta ^{2}\end{array}}$$

Esercizio 8.18

Sia $f\colon [a,b]\to \mathbb {R}$$f \colon [a,b] \to \mathbb R$:

1. determinare la funzione $F^{*}(x)=c$$F^{*}(x)=c$ costante che approssima f nel senso dei minimi quadrati discreti nei nodi $a$$a$ e $b$$b$
2. determinare qual è il grado di precisione della formula di quadratura quando si approssima
   $$\int _{a}^{b}f\,dx$$

   $$\int _{a}^{b}f\,dx$$
   con
   $$\int _{a}^{b}f^{*}\,dx$$

   $$\int _{a}^{b}f^{*}\,dx$$

 

In questo caso l'unico coefficiente da determinare del sistema

$$C{\boldsymbol {x}}={\boldsymbol {b}}$$

$$C{\boldsymbol {x}}={\boldsymbol {b}}$$

è $c_{00}$$c_{00}$.

I nodi sono 2 quindi $m=1$$m=1$.

$$c_{00}=\sum _{k=0}^{1}\phi _{0}(x_{k})*\phi _{0}(x_{k})=1+1=2$$

$$c_{00}=\sum _{k=0}^{1}\phi _{0}(x_{k})*\phi _{0}(x_{k})=1+1=2$$

$$b_{0}=\sum _{k=0}^{m}\phi _{0}(x_{k})*f(x_{k})=1*f(a)+1*f(b).$$

$$b_{0}=\sum _{k=0}^{m}\phi _{0}(x_{k})*f(x_{k})=1*f(a)+1*f(b).$$

quindi

$$2a_{0}=f(a)+f(b)$$

$$2a_{0}=f(a)+f(b)$$

implica

$$f^{*}=(f(a)+f(b))/2$$

$$f^{*}=(f(a)+f(b))/2$$

Approssimiamo

$$\int _{a}^{b}f\,dx$$

$$\int _{a}^{b}f\,dx$$

con

$$\int _{a}^{b}f^{*}(x)\,dx=\int _{a}^{b}(f(a)+f(b))/2\,dx=1/2*(bf(b)-bf(a)+af(b)-af(a))$$

$$\int _{a}^{b}f^{*}(x)\,dx=\int _{a}^{b}(f(a)+f(b))/2\,dx=1/2*(bf(b)-bf(a)+af(b)-af(a))$$

$$=1/2(b-a)*(f(b)-f(a))$$

$$=1/2(b-a)*(f(b)-f(a))$$

Verifico se la formula ha grado di precisione 1.

$$\int _{a}^{b}x=b-a$$

$$\int _{a}^{b}x=b-a$$

e usando la formula di quadratura

$$\int _{a}^{b}x\,dx=1/2(b-a)*(f(b)+f(a))$$

$$\int _{a}^{b}x\,dx=1/2(b-a)*(f(b)+f(a))$$

il grado di precisione è 1 perché la formula coincide con quella dei trapezi.

Esercizio 8.19

Supponendo di conoscere la soluzione esatta $y(t_{n})$$y(t_{n})$ a $t_{n}$$t_{n}$ del problema

$$y'=f(t,y)$$

$$y'=f(t,y)$$

si consideri lo schema Runge-Kutta esplicito a due stadi:

$$y_{n+1}=y(t_{n})+h(b_{1}K_{1}+b_{2}K_{2})$$

$$y_{n+1}=y(t_{n})+h(b_{1}K_{1}+b_{2}K_{2})$$

con

$$K_{1}=f(t_{n},y(t_{n}))$$

$$K_{1}=f(t_{n},y(t_{n}))$$

$$K_{2}=f(t_{n}+hc_{2},y(t_{n})+hc_{2}K_{1})$$

$$K_{2}=f(t_{n}+hc_{2},y(t_{n})+hc_{2}K_{1})$$

• determinare per quali valori dei parametri il metodo è consistente.
• determinare per quali valori dei parametri il metodo è convergente.

 

Usando lo sviluppo di Taylor:

$$K_{2}=f(t_{n},y(t_{n}))+f_{t}*hc_{2}+f_{y}(t_{n})hc_{2}K_{1}+o(h^{2})$$

$$K_{2}=f(t_{n},y(t_{n}))+f_{t}*hc_{2}+f_{y}(t_{n})hc_{2}K_{1}+o(h^{2})$$

$$K_{2}=f(t_{n},y(t_{n}))+f_{t}*hc_{2}+f_{y}(t_{n})hc_{2}K_{1}+o(h^{2})$$

$$K_{2}=f(t_{n},y(t_{n}))+f_{t}*hc_{2}+f_{y}(t_{n})hc_{2}K_{1}+o(h^{2})$$

$$y_{n+1}=y(t_{n})+h(b_{1}f(t_{n},y(t_{n}))+b_{2}[f(t_{n},y(t_{n}))+f_{t}*hc_{2}+f_{y}(t_{n})hc_{2}K_{1}])+o(h^{3})$$

$$y_{n+1}=y(t_{n})+h(b_{1}f(t_{n},y(t_{n}))+b_{2}[f(t_{n},y(t_{n}))+f_{t}*hc_{2}+f_{y}(t_{n})hc_{2}K_{1}])+o(h^{3})$$

$$y_{n+1}=y(t_{n})+h(b_{1}f(t_{n},y(t_{n}))+b_{2}[f(t_{n},y(t_{n}))+f_{t}*hc_{2}+f_{y}(t_{n})hc_{2}f(t_{n},y(t_{n}))])+o(h^{3})$$

$$y_{n+1}=y(t_{n})+h(b_{1}f(t_{n},y(t_{n}))+b_{2}[f(t_{n},y(t_{n}))+f_{t}*hc_{2}+f_{y}(t_{n})hc_{2}f(t_{n},y(t_{n}))])+o(h^{3})$$

$$y_{n+1}=y(t_{n})+h(b_{1}+b_{2})f(t_{n},y(t_{n}))+h^{2}*b_{2}c_{2}(f_{t}+f_{y}(t_{n}))+o(h^{3})$$

$$y_{n+1}=y(t_{n})+h(b_{1}+b_{2})f(t_{n},y(t_{n}))+h^{2}*b_{2}c_{2}(f_{t}+f_{y}(t_{n}))+o(h^{3})$$

$$y(t_{n+1})=y(t_{n})+hy'(t_{n})+h^{2}/2y''(t_{n})+o(h^{3})$$

$$y(t_{n+1})=y(t_{n})+hy'(t_{n})+h^{2}/2y''(t_{n})+o(h^{3})$$

$$y_{n+1}=y(t_{n})+h(b_{1}+b_{2})f(t_{n},y(t_{n}))+h^{2}*b_{2}c_{2}(f_{t}+f_{y}(t_{n}))+o(h^{3})$$

$$y_{n+1}=y(t_{n})+h(b_{1}+b_{2})f(t_{n},y(t_{n}))+h^{2}*b_{2}c_{2}(f_{t}+f_{y}(t_{n}))+o(h^{3})$$

$$b_{1}+b_{2}=1$$

$$b_{1}+b_{2}=1$$

$$b_{1}b_{2}=1/2$$

$$b_{1}b_{2}=1/2$$

Ci sono infiniti metodi consistenti. Il metodo è a un passo, e la consistenza implica la convergenza.

Esercizio 8.20

Si consideri il seguente sistema di numeri floating-point

$$F=\{(\pm 0.\alpha _{1}\alpha _{2}\alpha _{3})*10^{e},-4<e<4$$

$$F=\{(\pm 0.\alpha _{1}\alpha _{2}\alpha _{3})*10^{e},-4<e<4$$

1. calcolare il più piccolo e il più grande numero di ${\mathcal {F}}$${\mathcal {F}}$
2. determinare il primo segmento dove si hanno solo più numeri interi non consecutivi.
3. siano $x=1.01,y=0.1246$$x=1.01,y=0.1246$, $z=0.1244$$z=0.1244$. Calcolare in ${\mathcal {F}}$${\mathcal {F}}$ le espressioni
   $$x(y-z)$$

   $$x(y-z)$$
   $$xy-xz$$

   $$xy-xz$$
   e il corrispondente errore relativo.
4. Calcolare la prima iterata del metodo di Newton per il calcolo delle radici della funzione
   $$f(x)=x^{2}-1$$

   $$f(x)=x^{2}-1$$
   con valore di innesco $x_{0}=1.15$$x_{0}=1.15$

 

1. il più piccolo numero in ${\mathcal {F}}$${\mathcal {F}}$ è
   $$m=0.1*10^{-4}$$

   $$m=0.1*10^{-4}$$
   e il più grande è
   $$M=0.9999*10^{4}$$

   $$M=0.9999*10^{4}$$
2. se voglio avere numeri interi non consecutivi, lo spacing dell'intervallo dev'essere almeno $10$$10$, quindi siccome lo spacing in un intervallo è dato dalla formula $10^{p+1-t}$$10^{p+1-t}$, si deve avereà
   $$10^{p+1-t}=10\,\longrightarrow p+1-t=1,\,\longrightarrow \,p+1-3=1\,\longrightarrow p=3$$

   $$10^{p+1-t}=10\,\longrightarrow p+1-t=1,\,\longrightarrow \,p+1-3=1\,\longrightarrow p=3$$
   - Quindi il primo intervallo in cui ci sono numeri interi non consecutivi è $(10^{3},10^{4})$$(10^{3},10^{4})$.
3. Si ha
   $$\mathrm {fl} (x)=0.101*10$$

   $$\mathrm {fl} (x)=0.101*10$$
   $$\mathrm {fl} (y)=\mathrm {fl} (0.1246)=0.125\quad {\hbox{approssimazione per eccesso}}$$

   $$\mathrm {fl} (y)=\mathrm {fl} (0.1246)=0.125\quad {\hbox{approssimazione per eccesso}}$$
   $$\mathrm {fl} (z)=\mathrm {fl} (0.1244)=0.124$$

   $$\mathrm {fl} (z)=\mathrm {fl} (0.1244)=0.124$$
   Quindi, per calcolare la prima espressione:
   $$y-z=0.125-0.124=0.001=0.1*10^{-2}$$

   $$y-z=0.125-0.124=0.001=0.1*10^{-2}$$
   $$x*(y-z)=0.101*10*0.1*10^{-2}=0.101*10^{-2}$$

   $$x*(y-z)=0.101*10*0.1*10^{-2}=0.101*10^{-2}$$
   Invece, calcolando la seconda espressione:
   $$xy=0.101*10*0.125=0.12625$$

   $$xy=0.101*10*0.125=0.12625$$
   $$\mathrm {fl} (xy)=0.126$$

   $$\mathrm {fl} (xy)=0.126$$
   $$xz=0.101*10*0.124=0.12524$$

   $$xz=0.101*10*0.124=0.12524$$
   $$\mathrm {fl} (xz)=0.125$$

   $$\mathrm {fl} (xz)=0.125$$
   $$xy-xz=0.126-0.125=0.001=0.1*10^{-2}$$

   $$xy-xz=0.126-0.125=0.001=0.1*10^{-2}$$
   Il valore esatto è
   $$E=0.000202$$

   $$E=0.000202$$
   e i corrispondenti errori relativi sono:
   $$E_{r,1}={\frac {0.000202-0.000010}{0.000202}}=4$$

   $$E_{r,1}={\frac {0.000202-0.000010}{0.000202}}=4$$
   $$E_{r,2}={\frac {0.000202-0.001000}{0.000202}}=-3.9505$$

   $$E_{r,2}={\frac {0.000202-0.001000}{0.000202}}=-3.9505$$
4. La prima iterata del metodo di Newton è
   $$x_{1}=x_{0}-{\frac {f(x_{0})}{f'(x_{0})}}$$

   $$x_{1}=x_{0}-{\frac {f(x_{0})}{f'(x_{0})}}$$
   $$\mathrm {fl} (x_{0})=0.115*10$$

   $$\mathrm {fl} (x_{0})=0.115*10$$
   $$f'(x)=2x$$

   $$f'(x)=2x$$
   $$f(x_{0})=1.15^{2}-1=1.3225-1=0.132*10-1=0.32$$

   $$f(x_{0})=1.15^{2}-1=1.3225-1=0.132*10-1=0.32$$
   $$f'(x_{0})=2*0.115*10=0.230*10$$

   $$f'(x_{0})=2*0.115*10=0.230*10$$
   $$x_{1}=0.115*10-0.32/(0.230*10)=0.115*10-0.139=0.1011*10$$

   $$x_{1}=0.115*10-0.32/(0.230*10)=0.115*10-0.139=0.1011*10$$

Esercizio 8.21

Sia $A\in \mathbb {R} ^{N^{2}}$$A\in \mathbb {R} ^{N^{2}}$ una matrice triangolare inferiore non singolare. Descrivere la fattorizzazione LU (senza pivot):

1. della matrice $A$$A$
2. della matrice $A^{t}$$A^{t}$
3. della matrice $A*A^{t}$$A*A^{t}$

Considerare eventualmente come riferimento una fissata matrice $A\in \mathbb {R} ^{3^{2}}$$A\in \mathbb {R} ^{3^{2}}$.

 

1. Per la fattorizzazione di $A$$A$:Definisco A come
   $${\begin{array}{ccc}A_{11}&0&0\\A_{21}&A_{22}&0\\A_{31}&A_{32}&A_{33}\end{array}}$$

   $${\begin{array}{ccc}A_{11}&0&0\\A_{21}&A_{22}&0\\A_{31}&A_{32}&A_{33}\end{array}}$$
   Pongo
   $$M_{1}={\begin{array}{ccc}1&0&0\\A_{21}/A_{11}&1&0\\A_{31}/A_{11}&0&1\end{array}}$$

   $$M_{1}={\begin{array}{ccc}1&0&0\\A_{21}/A_{11}&1&0\\A_{31}/A_{11}&0&1\end{array}}$$
   e
   $${\begin{array}{ccc}A_{11}&0&0\\0&A_{22}&0\\0&A_{32}&A_{33}\end{array}}$$

   $${\begin{array}{ccc}A_{11}&0&0\\0&A_{22}&0\\0&A_{32}&A_{33}\end{array}}$$
   In definitiva si ottiene:
   $$U={\begin{array}{ccc}A_{11}&0&0\\0&A_{22}&0\\0&0&A_{33}\end{array}}$$

   $$U={\begin{array}{ccc}A_{11}&0&0\\0&A_{22}&0\\0&0&A_{33}\end{array}}$$
   invece
   $$L={\begin{array}{ccc}1&0&0\\-A_{21}/A_{11}&1&0\\-A_{31}/A_{11}&-A_{32}/A_{22}&0\end{array}}$$

   $$L={\begin{array}{ccc}1&0&0\\-A_{21}/A_{11}&1&0\\-A_{31}/A_{11}&-A_{32}/A_{22}&0\end{array}}$$
2. Per la fattorizzazione di $A^{t}$$A^{t}$,
   $$A=LU$$

   $$A=LU$$
   $$A^{t}=I*A$$

   $$A^{t}=I*A$$
   con $L=I$$L=I$ e $U=A$$U=A$.
3. $$AA^{t}=LUIA=LUA$$

   $$AA^{t}=LUIA=LUA$$
   quindi
   $$L_{AA^{t}}=L_{A}$$

   $$L_{AA^{t}}=L_{A}$$
   $$U_{AA^{t}}=UA$$

   $$U_{AA^{t}}=UA$$

Esercizio 8.22

Sia

$$A={\begin{array}{ccc}2+a&-1&0\\-1&2+a&-1\\0&-1&2+a\end{array}}$$

$$A={\begin{array}{ccc}2+a&-1&0\\-1&2+a&-1\\0&-1&2+a\end{array}}$$

con $a\geq 0$$a\geq 0$. Facendo uso dei teoremi di Gersch-Gorin dare una stima del raggio spettrale della matrice di iterazione del metodo di Jacobi.

 

$$P_{j}=-D^{-1}*(L+U)$$

$$P_{j}=-D^{-1}*(L+U)$$

$$P_{j}=-{\rm {{diag}(1/(2+a),1/(2+a),1/(2+a))*{\begin{array}{ccc}0&-1&0\\-1&0&-1\\0&-1&0\end{array}}}}$$

$$P_{j}=-{\rm {{diag}(1/(2+a),1/(2+a),1/(2+a))*{\begin{array}{ccc}0&-1&0\\-1&0&-1\\0&-1&0\end{array}}}}$$

$$P_{j}={\begin{array}{ccc}0&1/(2+1)&0\\1/(2+a)&0&1/(2+a)\\0&1/(2+a)&0\end{array}}$$

$$P_{j}={\begin{array}{ccc}0&1/(2+1)&0\\1/(2+a)&0&1/(2+a)\\0&1/(2+a)&0\end{array}}$$

$$K_{1,3}=|x|\leq 1/(2+a)$$

$$K_{1,3}=|x|\leq 1/(2+a)$$

$$K_{2}=|x|\leq 2/(2+a)$$

$$K_{2}=|x|\leq 2/(2+a)$$

Nel caso $a=0$$a=0$ il raggio spettrale è minore di 1. $1,-1$$1,-1$ non possono essere autovalori. Nel caso $a>0$$a>0$, il raggio spettrale è

$$\rho \leq 2/(2+a)<1$$

$$\rho \leq 2/(2+a)<1$$

e il metodo di Jacobi converge