Esercizio 8.10
Considero il sistema

Calcolare il punto medio del segmento

usando le due formule

e

e commentare i risultati.
Usando la prima formula:



ma si ottiene un risultato che non sta nell'intervallo

.
Con la seconda formula:




Il punto trovato sta nell'intervallo
![[a,b]](//restbase.wikitolearn.org/it.wikitolearn.org/v1/media/math/render/svg/9c4b788fc5c637e26ee98b45f89a5c08c85f7935)
ma non corrisponde al punto medio.
Esercizio 8.11
Sia data la funzione

scrivere nella base canonica, nella base di Lagrange e nella base di Newton il polinomio interpolante tale funzione in

.
La tabella dei dati da interpolare è:

- Nel caso della base canonica, voglio scrivere il polinomio come

e impongo le condizioni
e ottengo il sistema lineare:
e la matrice ha la forma della matrice di Vandermonde:
Risolvendo il sistema si ottiene:
Quindi il polinomio interpolante è
.
- Nel caso della base di Lagrange:

dove
.
Non calcolo
perché verrà moltiplicato per
.
Quindi
- Rappresentando invece il polinomio interpolante nella base di Newton tramite le differenze divise si applica l'algoritmo alla Neville. Si ha che
![{\displaystyle p_{2}(x)=f[x_{0}]+f[x_{0},x_{1}]*(x-x_{0})+f[x_{0},x_{1},x_{2}]*(x-x_{0})(x-x_{1})}](//restbase.wikitolearn.org/it.wikitolearn.org/v1/media/math/render/svg/2facc7b609ffc0a2dbfdec7f547d8c1fe9b9a3ac)
dove
,
.Calcolo le tre differenze divise con l'algoritmo alla Neville:![{\displaystyle {\begin{array}{cccc}x_{0}&f(x_{0})&&\\x_{1}&f(x_{1})&f[x_{0},x_{1}]={\frac {f(x_{0})-f(x_{1})}{x_{0}-x_{1}}}&\\x_{2}&f(x_{2})&x[x_{2},x_{1}]={\frac {f(x_{2})-f(x_{1})}{x_{2}-x_{1}}}&f[x_{2},x_{1},x_{0}]={\frac {f[x_{2},x_{1}]-f[x_{1},x_{0}]}{x_{2}-x_{0}}}\end{array}}}](//restbase.wikitolearn.org/it.wikitolearn.org/v1/media/math/render/svg/098a83b269aa8d070029585a4f67e3d318f86131)
Quindi, in questo caso:
Scrivendo il polinomio esplicitamente ottengo:
Esercizio 8.12
Approssimare una funzione
generica sull'intervallo
con la retta dei minimi quadrati discreta relativa ai nodi
per
.
Detta
l'approssimazione ottenuta, approssimare

con

e determinare il grado di precisione della formula di quadratura.
Nel metodo dei minimi quadrati

dove

nella base canonica.
Risolvo il sistema delle equazioni normali:

dove

è una matrice

, e per i coefficienti e per il termine noto valgono le seguenti espressioni:


Il numero dei nodi è

, quindi

.
Ricavando i coefficienti:





Quindi sostituendo le espressioni trovate nel sistema:

ottengo




e sostituendo nella prima equazione


Quindi il polinomio approssimante è

Considero

e sostituendo le espressioni dei coefficienti:


Il grado di precisione k è almeno 1 per costruzione.
Verifico se il grado di precisione è 2.
Sappiamo che

e con la formula di quadratura

:

quindi il grado di precisione è 1.
Esercizio 8.13
Approssimare

nella forma

determinare

in modo che il grado di precisione sia massimo e verificare che coincide con la formula dei trapezi. Applicare la formula al calcolo dell'integrale

e calcolare l'errore assoluto effettivo e quello stimato.
Impongo che le costanti vengano integrate correttamente:

quindi

Chiedendo grado di precisione 1:
![{\displaystyle \int _{a}^{b}x=[x^{2}/2]_{a}^{b}=b^{2}/2-a^{2}/2=\beta b+\alpha a}](//restbase.wikitolearn.org/it.wikitolearn.org/v1/media/math/render/svg/0ef3a9d3762140212d4f4659a94b8d41ed9589d3)
e risolvendo







e sostituendo nella prima equazione

quindi

e la formula che si scrive come

è la formula dei trapezi.
L'integrale esatto è

mentre l'integrale calcolato usando la formula è

L'errore assoluto è

mentre l'errore stimato è
![{\displaystyle I_{s}(f)=(b-a)^{3}/12*|f^{(2)}(\xi )|,\,\xi \in [a,b]}](//restbase.wikitolearn.org/it.wikitolearn.org/v1/media/math/render/svg/9010f35f411a23baff3def24ad872a1ac93829fd)

Esercizio 8.14
Sia

Applicando la formula dei trapezi composita, determinare quante suddivisioni dell'intervallo
![[0,1]](//restbase.wikitolearn.org/it.wikitolearn.org/v1/media/math/render/svg/738f7d23bb2d9642bab520020873cccbef49768d)
sono necessarie affinché l'errore sia più piccolo di

. Calcolare il valore approssimato e l'errore effettivo.

L'errore della formula di quadratura dei trapezi composita è dato da:

dove

,

e

.
Quindi

e siccome cerco un errore minore di

:


quindi richiedo che

.
Pongo
.
Applicando la formula con il passo
scelto ottengo
.
Applicando la formula dei trapezi composita ottengo:

L'errore assoluto

.
Esercizio 8.15
Dato un metodo multipasso

con

, determinare per quali valori di

il metodo ha ordine di converenza massimo.
Affinché il metodo sia convergente dev'essere consistente e 0-stabile, quindi valuto le condizioni di consistenza:
Dato il metodo

si richiede che

e che

In questo caso, riscrivendo il metodo come:



Imponendo le condizioni di consistenza:

e la condizione è già verificata.
- Se la condizione

è verificata, il metodo ha ordine di consistenza 1, integrando successivamente ambo i membri rispetto a j, se l'uguaglianza è verificata il metodo avrà consistenza 2, se questo è vero dopo l'
-esima integrazione, il metodo ha consistenza
.Quindi

e la quantità è nulla se e solo se
.
Si conclude che la consistenza è di ordine
per ogni
, ed è di ordine 2 per
.
Per verificare se il metodo è convergente, verifico se è anche 0-stabile, cioè se il polinomio
verifica la root condition.



La root condition è soddisfatta se

Se

, 1 è una radice doppia, e la root condition è violata. Invece, se

, la root condition vale.
Esercizio 8.16
Si consideri il seguente sistema di numeri floating point:

- Dare un esempio di due numeri di
la cui somma dia overflow in
e la cui differenza dia underflow in
.
- Determinare il più piccolo intero che non sta in
.
- Eseguire in
le operazioni

e calcolare il corrispondente errore relativo.
- Osservo che facendo la somma

si va in overflow.Invece facendo la differenza
si va in underflow.
- Impongo
, quindi
.
è l'intervallo degli interi non consecutivi.
è il più piccolo intero che non sta in
.
- Osservo che






Esercizio 8.17
Sia data la matrice

con

parametri reali.
- Calcolare, quando possibile, la fattorizzazione

- Determinare la matrice di permutazione
tale che
con

- Applicando il criterio di Sylvester, determinare la condizione affinché
sia simmetrica e definita positiva.
- Calcolare, quando possibile, la decomposizione di Cholesky di
.
- Calcolo la fattorizzazione della matrice:Al passo 1:

e per il prodotto si ha

con







La matrice triangolare superiore ottenuta alla fine è U, invece la L è
- La matrice di permutazione cercata, tenendo conto che

è![{\displaystyle P=[001;010;100]}](//restbase.wikitolearn.org/it.wikitolearn.org/v1/media/math/render/svg/3ae03cd1ed07291303739117559e9a481e092c06)
- Applico il criterio di Sylvester:



- Si osserva che

e la matrice è definita positiva se si impongono le condizioni del punto precedente.
è la matrice con
sulla diagonale.Alternativamente, posso applicare direttamente la fattorizzazione di Cholesky ad
e ottengo:







Esercizio 8.18
Sia
:
- determinare la funzione
costante che approssima f nel senso dei minimi quadrati discreti nei nodi
e 
- determinare qual è il grado di precisione della formula di quadratura quando si approssima

con
In questo caso l'unico coefficiente da determinare del sistema

è

.
I nodi sono 2 quindi
.


quindi

implica

Approssimiamo

con


Verifico se la formula ha grado di precisione 1.

e usando la formula di quadratura

il grado di precisione è 1 perché la formula coincide con quella dei trapezi.
Esercizio 8.19
Supponendo di conoscere la soluzione esatta
a
del problema

si consideri lo schema Runge-Kutta esplicito a due stadi:

con


- determinare per quali valori dei parametri il metodo è consistente.
- determinare per quali valori dei parametri il metodo è convergente.
Usando lo sviluppo di Taylor:


![{\displaystyle y_{n+1}=y(t_{n})+h(b_{1}f(t_{n},y(t_{n}))+b_{2}[f(t_{n},y(t_{n}))+f_{t}*hc_{2}+f_{y}(t_{n})hc_{2}K_{1}])+o(h^{3})}](//restbase.wikitolearn.org/it.wikitolearn.org/v1/media/math/render/svg/1ddd05d018c3458b7c629673c586aa1ea3bc2922)
![{\displaystyle y_{n+1}=y(t_{n})+h(b_{1}f(t_{n},y(t_{n}))+b_{2}[f(t_{n},y(t_{n}))+f_{t}*hc_{2}+f_{y}(t_{n})hc_{2}f(t_{n},y(t_{n}))])+o(h^{3})}](//restbase.wikitolearn.org/it.wikitolearn.org/v1/media/math/render/svg/524b593c4fed10f9d8961f804371343dc5270e03)





Ci sono infiniti metodi consistenti.
Il metodo è a un passo, e la consistenza implica la convergenza.
Esercizio 8.20
Si consideri il seguente sistema di numeri floating-point

- calcolare il più piccolo e il più grande numero di

- determinare il primo segmento dove si hanno solo più numeri interi non consecutivi.
- siano
,
. Calcolare in
le espressioni

e il corrispondente errore relativo.
- Calcolare la prima iterata del metodo di Newton per il calcolo delle radici della funzione

con valore di innesco 
- il più piccolo numero in
è
e il più grande è
- se voglio avere numeri interi non consecutivi, lo spacing dell'intervallo dev'essere almeno
, quindi siccome lo spacing in un intervallo è dato dalla formula
, si deve avereà 
- Quindi il primo intervallo in cui ci sono numeri interi non consecutivi è
.
- Si ha



Quindi, per calcolare la prima espressione:

Invece, calcolando la seconda espressione:




Il valore esatto è
e i corrispondenti errori relativi sono:

- La prima iterata del metodo di Newton è






Esercizio 8.21
Sia
una matrice triangolare inferiore non singolare. Descrivere la fattorizzazione LU (senza pivot):
- della matrice

- della matrice

- della matrice

Considerare eventualmente come riferimento una fissata matrice
.
- Per la fattorizzazione di
:Definisco A come
Pongo
e
In definitiva si ottiene:
invece
- Per la fattorizzazione di
,

con
e
.

quindi

Esercizio 8.22
Sia

con

.
Facendo uso dei teoremi di Gersch-Gorin dare una stima del raggio spettrale della matrice di iterazione del metodo di Jacobi.





Nel caso

il raggio spettrale è minore di 1.

non possono essere autovalori.
Nel caso

, il raggio spettrale è

e il metodo di Jacobi converge