Esercizio 9.36
Sia data la funzione
definita da

che ha un punto fisso in

. La funzione ha altri punti fissi? Si studi graficamente la convergenza del metodo iterativo

e si indichi anche l'ordine di convergenza del metodo.
Studio la funzione
: la funzione tende a
per
, e tende a
per
. Ha un asintoto verticale per
.
Cerco le intersezioni con la bisettrice:

Supponendo

, moltiplico per

:


allora l'unico punto fisso è

.



La funzione è crescente se

o

.
Le intersezioni con l'asse y sono


![{\displaystyle x^{3}=-3/2,\,x=-{\sqrt[{3}]{3/2}}}](//restbase.wikitolearn.org/it.wikitolearn.org/v1/media/math/render/svg/06c54422468c5fe827a229452b62beb9f931e323)
Ordine di convergenza:




quindi l'ordine di convergenza è 2.
- per
ho una successione monotona decrescente che converge.
- la convergenza avviene anche negli altri casi ma è una convergenza alternata.
Esercizio 9.37
Indicare per quali valori di
esiste uno ed un unico polinomio di secondo grado
tale che

per ogni insieme di dati

.
Per determinare un polinomio interpolante di secondo grado, devo trovare
tali che


quindi si può avere

se e solo se

Inoltre impongo


e verifico per quali terne

il sistema seguente ha un'unica soluzione:

Dalla prima equazione ricavo

e sostituendo nelle altre

Sottraendo membro a membro ottengo:




Il coefficiente che moltiplica

dev'essere diverso da 0.




quindi dev'essere

,

.
Quindi



quindi




Inoltre

quindi dev'essere anche

.
Il polinomio interpolante esiste unico se sono soddisfatte le seguenti condizioni:

Esercizio 9.38
Determinare il grado di precisione della formula di quadratura
![{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\sim (b-a)/2[f(a)+f(b)]+{\frac {(b-a)^{2}}{12}}[f'(a)-f'(b)].}](//restbase.wikitolearn.org/it.wikitolearn.org/v1/media/math/render/svg/4d89555f643c971eccd95f86b88e29ddd27e3de8)
utilizzare tale formula per approssimare il valore dell'integrale definito

e confrontare l'errore commesso con l'errore che si commette approssimando il medesimo integrale con la formula dei trapezi composita considerando solo due intervalli.
Grado di precisione 0:
![{\displaystyle \int _{a}^{b}1\,dx=b-a=(b-a)/2[1+1]+{\frac {(b-a)^{2}}{12}}*0=b-a.}](//restbase.wikitolearn.org/it.wikitolearn.org/v1/media/math/render/svg/e256edfe8e5a9b21981c0cb682e954802e758965)
condizione verificata
Grado di precisione 1:
![{\displaystyle \int _{a}^{b}x\,dx=b^{2}/2-a^{2}/2=(b-a)/2[a+b]+{\frac {(b-a)^{2}}{12}}[1-1].}](//restbase.wikitolearn.org/it.wikitolearn.org/v1/media/math/render/svg/c1e01ed124372f6ff4f00cbdbfcf77f56109f201)

condizione verificata
Grado di precisione 2:
![{\displaystyle \int _{a}^{b}x^{2}\,dx=b^{3}/3-a^{3}/3=(b-a)/2[a^{2}+b^{2}]+{\frac {(b-a)^{2}}{12}}[2a-2b].}](//restbase.wikitolearn.org/it.wikitolearn.org/v1/media/math/render/svg/bbbc00f5e5bb37b3f5d25df7f9a945bc20bbdff3)
![{\displaystyle b^{3}/3-a^{3}/3=(b-a)/2[a^{2}+b^{2}]-2{\frac {(b-a)^{3}}{12}}.}](//restbase.wikitolearn.org/it.wikitolearn.org/v1/media/math/render/svg/762ad4cabce7c5e5e23a7ad9968479f77e275a39)
![{\displaystyle b^{3}/3-a^{3}/3=1/2[ba^{2}+b^{3}-a^{3}-ab^{2}]-{\frac {(b-a)^{3}}{6}}.}](//restbase.wikitolearn.org/it.wikitolearn.org/v1/media/math/render/svg/8bc50a00aa2d09309afbfa9e81e8b06f0c160b48)


condizione verificata
Grado di precisione 3:
![{\displaystyle \int _{a}^{b}x^{3}\,dx=b^{4}/4-a^{4}/4=(b-a)/2[a^{3}+b^{3}]+{\frac {(b-a)^{2}}{12}}[3a^{2}-3b^{2}].}](//restbase.wikitolearn.org/it.wikitolearn.org/v1/media/math/render/svg/a29d1a5b64e1a08fdc22b2e0f352f97186782ffa)


![{\displaystyle -b^{4}+a^{4}=2a^{3}b-2ab^{3}-[b^{4}+ab^{3}-3b^{2}a^{2}-3b^{3}a+3a^{2}b^{2}+3ab^{3}-a^{3}b-a^{4}]}](//restbase.wikitolearn.org/it.wikitolearn.org/v1/media/math/render/svg/77e10b76c37018949260e8e5986960af2f115844)



quindi il grado di precisione è almeno 3 se è soddisfatta la condizione scritta sopra, e in particolare è 3 sull'intervallo
![[0,1]](//restbase.wikitolearn.org/it.wikitolearn.org/v1/media/math/render/svg/738f7d23bb2d9642bab520020873cccbef49768d)
.
Calcolo
![{\displaystyle \int _{0}^{1}\cos(\pi /2x)=[2/\pi *\sin(\pi /2x)]_{0}^{1}=2/\pi }](//restbase.wikitolearn.org/it.wikitolearn.org/v1/media/math/render/svg/98b099b56707a7fe95e1c3fef7f1e1d4dc73ff68)
Con la formula dei trapezi


Con la formula data:
![{\displaystyle I=1/2-{\frac {1}{12}}*\pi /2*[\sin 0-\sin \pi /2].}](//restbase.wikitolearn.org/it.wikitolearn.org/v1/media/math/render/svg/c547e35640f399f78000affbc6f5207982dcc4db)


