Tema 9

Esercizio 9.36

Sia data la funzione $g\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$$g\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ definita da

$$g(x)=2/3x+1/x^{2}$$

$$g(x)=2/3x+1/x^{2}$$

che ha un punto fisso in $\alpha =3^{1/3}$$\alpha =3^{1/3}$. La funzione ha altri punti fissi? Si studi graficamente la convergenza del metodo iterativo

$$x_{k+1}=g(x_{k})$$

$$x_{k+1}=g(x_{k})$$

e si indichi anche l'ordine di convergenza del metodo.

 

Studio la funzione $g$$g$: la funzione tende a $-\infty$$-\infty$ per $x\to -\infty$$x \to -\infty$, e tende a $+\infty$$+\infty$ per $x\to +\infty$$x \to +\infty$. Ha un asintoto verticale per $x\to 0$$x \to 0$. Cerco le intersezioni con la bisettrice:

$$2/3x+1/x^{2}=x$$

$$2/3x+1/x^{2}=x$$

Supponendo $x\neq 0$$x \neq 0$, moltiplico per $x^{2}$$x^2$:

$$2/3x^{3}+1=x^{3}$$

$$2/3x^{3}+1=x^{3}$$

$$x^{3}=3$$

$$x^{3}=3$$

allora l'unico punto fisso è $x=3^{1/3}$$x=3^{1/3}$.

$$g'(x)=2/3-2/x^{3}$$

$$g'(x)=2/3-2/x^{3}$$

$$2/3-2/x^{3}\geq 0$$

$$2/3-2/x^{3}\geq 0$$

$${\frac {2x^{3}-6}{x^{3}}}\geq 0$$

$${\frac {2x^{3}-6}{x^{3}}}\geq 0$$

La funzione è crescente se $x<0$$x<0$ o $x>3^{1/3}$$x>3^{1/3}$. Le intersezioni con l'asse y sono

$$2/3x+1/x^{2}=0$$

$$2/3x+1/x^{2}=0$$

$${\frac {2/3x^{3}+1}{x^{2}}}=0$$

$${\frac {2/3x^{3}+1}{x^{2}}}=0$$

$$x^{3}=-3/2,\,x=-{\sqrt[{3}]{3/2}}$$

$$x^{3}=-3/2,\,x=-{\sqrt[{3}]{3/2}}$$

Ordine di convergenza:

$$g'(x)=2/3-2/x^{3}$$

$$g'(x)=2/3-2/x^{3}$$

$$g'(3^{1/3})=2/3-2/3=0$$

$$g'(3^{1/3})=2/3-2/3=0$$

$$g''=6/x^{4}$$

$$g''=6/x^{4}$$

$$g''(3^{1/3})=6/3^{4/3}\neq 0$$

$$g''(3^{1/3})=6/3^{4/3}\neq 0$$

quindi l'ordine di convergenza è 2.

1. per $x_{0}>3^{1/3}$$x_{0}>3^{1/3}$ ho una successione monotona decrescente che converge.
2. la convergenza avviene anche negli altri casi ma è una convergenza alternata.

Esercizio 9.37

Indicare per quali valori di $x_{0},x_{1},x_{2}\in \mathbb {R}$$x_{0},x_{1},x_{2}\in \mathbb {R}$ esiste uno ed un unico polinomio di secondo grado $p_{2}(x)$$p_{2}(x)$ tale che

$$p_{2}(x_{0})=y_{0},\,p_{2}(x_{2})=y_{2},\,p_{2}'(x_{1})=y_{1}$$

$$p_{2}(x_{0})=y_{0},\,p_{2}(x_{2})=y_{2},\,p_{2}'(x_{1})=y_{1}$$

per ogni insieme di dati $(y_{0},y_{1},y_{2})$$(y_{0},y_{1},y_{2})$.

 

Per determinare un polinomio interpolante di secondo grado, devo trovare $a_{0},a_{1},a_{2}$$a_{0},a_{1},a_{2}$ tali che

$$p_{2}(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}$$

$$p_{2}(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}$$

$$p_{2}'(x)=a_{1}+2a_{2}x$$

$$p_{2}'(x)=a_{1}+2a_{2}x$$

quindi si può avere $p_{2}'(x_{1})=y_{1}$$p_{2}'(x_{1})=y_{1}$ se e solo se

$$a_{1}+2a_{2}x_{1}=y_{1}$$

$$a_{1}+2a_{2}x_{1}=y_{1}$$

Inoltre impongo

$$p_{2}(x_{0})=a_{0}+a_{1}x_{0}+a_{2}x_{0}^{2}=y_{0}$$

$$p_{2}(x_{0})=a_{0}+a_{1}x_{0}+a_{2}x_{0}^{2}=y_{0}$$

$$p_{2}(x_{0})=a_{0}+a_{1}x_{2}+a_{2}x_{2}^{2}=y_{2}$$

$$p_{2}(x_{0})=a_{0}+a_{1}x_{2}+a_{2}x_{2}^{2}=y_{2}$$

e verifico per quali terne $x_{0},x_{1},x_{2}$$x_{0},x_{1},x_{2}$ il sistema seguente ha un'unica soluzione:

$${\begin{cases}a_{1}+2a_{2}x_{1}=y_{1}\\a_{0}+a_{1}x_{0}+a_{2}x_{0}^{2}=0\\a_{0}+a_{1}x_{2}+a_{2}x_{2}^{2}=0\end{cases}}$$

$${\begin{cases}a_{1}+2a_{2}x_{1}=y_{1}\\a_{0}+a_{1}x_{0}+a_{2}x_{0}^{2}=0\\a_{0}+a_{1}x_{2}+a_{2}x_{2}^{2}=0\end{cases}}$$

Dalla prima equazione ricavo

$$a_{1}=y_{1}-2a_{2}x_{1}$$

$$a_{1}=y_{1}-2a_{2}x_{1}$$

e sostituendo nelle altre

$${\begin{cases}a_{0}+(y_{1}-2a_{2}x_{1})x_{0}+a_{2}x_{0}^{2}=0\\a_{0}+(y_{1}-2a_{2}x_{1})x_{2}+a_{2}x_{2}^{2}=0\end{cases}}$$

$${\begin{cases}a_{0}+(y_{1}-2a_{2}x_{1})x_{0}+a_{2}x_{0}^{2}=0\\a_{0}+(y_{1}-2a_{2}x_{1})x_{2}+a_{2}x_{2}^{2}=0\end{cases}}$$

Sottraendo membro a membro ottengo:

$$(y_{1}-2a_{2}x_{1})x_{0}+a_{2}x_{0}^{2}=(y_{1}-2a_{2}x_{1})x_{2}+a_{2}x_{2}^{2}$$

$$(y_{1}-2a_{2}x_{1})x_{0}+a_{2}x_{0}^{2}=(y_{1}-2a_{2}x_{1})x_{2}+a_{2}x_{2}^{2}$$

$$y_{1}x_{0}-2a_{2}x_{1}x_{0}+a_{2}x_{0}^{2}=y_{1}x_{2}-2a_{2}x_{1}x_{2}+a_{2}x_{2}^{2}$$

$$y_{1}x_{0}-2a_{2}x_{1}x_{0}+a_{2}x_{0}^{2}=y_{1}x_{2}-2a_{2}x_{1}x_{2}+a_{2}x_{2}^{2}$$

$$2a_{2}x_{1}x_{2}-a_{2}x_{2}^{2}-2a_{2}x_{1}x_{0}+a_{2}x_{0}^{2}=y_{1}x_{2}-y_{1}x_{0}$$

$$2a_{2}x_{1}x_{2}-a_{2}x_{2}^{2}-2a_{2}x_{1}x_{0}+a_{2}x_{0}^{2}=y_{1}x_{2}-y_{1}x_{0}$$

$$a_{2}(2x_{1}x_{2}-x_{2}^{2}-2x_{1}x_{0}+x_{0}^{2})=y_{1}x_{2}-y_{1}x_{0}$$

$$a_{2}(2x_{1}x_{2}-x_{2}^{2}-2x_{1}x_{0}+x_{0}^{2})=y_{1}x_{2}-y_{1}x_{0}$$

Il coefficiente che moltiplica $a_{2}$$a_2$ dev'essere diverso da 0.

$$2x_{1}x_{2}-x_{2}^{2}-2x_{1}x_{0}+x_{0}^{2}\neq 0$$

$$2x_{1}x_{2}-x_{2}^{2}-2x_{1}x_{0}+x_{0}^{2}\neq 0$$

$$2x_{1}(x_{2}-x_{0})+x_{0}^{2}-x_{2}^{2}\neq 0$$

$$2x_{1}(x_{2}-x_{0})+x_{0}^{2}-x_{2}^{2}\neq 0$$

$$2x_{1}(x_{2}-x_{0})-(x_{2}-x_{0})(x_{2}+x_{0})\neq 0$$

$$2x_{1}(x_{2}-x_{0})-(x_{2}-x_{0})(x_{2}+x_{0})\neq 0$$

$$(2x_{1}-x_{2}-x_{0})(x_{2}-x_{0})\neq 0$$

$$(2x_{1}-x_{2}-x_{0})(x_{2}-x_{0})\neq 0$$

quindi dev'essere $x_{2}\neq x_{0}$$x_{2}\neq x_{0}$, $2x_{1}-x_{0}-x_{2}\neq 0$$2x_{1}-x_{0}-x_{2}\neq 0$.

Quindi

$$a_{2}={\frac {y_{1}(x_{2}-x_{0})}{(2x_{1}-x_{2}-x_{0})(x_{2}-x_{0})}}$$

$$a_{2}={\frac {y_{1}(x_{2}-x_{0})}{(2x_{1}-x_{2}-x_{0})(x_{2}-x_{0})}}$$

$$a_{2}={\frac {y_{1}}{2x_{1}-x_{2}-x_{0}}}$$

$$a_{2}={\frac {y_{1}}{2x_{1}-x_{2}-x_{0}}}$$

$$a_{1}=y_{1}-2a_{2}x_{1}$$

$$a_{1}=y_{1}-2a_{2}x_{1}$$

quindi

$$a_{1}=y_{1}-2x_{1}{\frac {y_{1}}{2x_{1}-x_{2}-x_{0}}}$$

$$a_{1}=y_{1}-2x_{1}{\frac {y_{1}}{2x_{1}-x_{2}-x_{0}}}$$

$$a_{1}={\frac {y_{1}(2x_{1}-x_{2}-x_{0})-2x_{1}y_{1}}{2x_{1}-x_{2}-x_{0}}}$$

$$a_{1}={\frac {y_{1}(2x_{1}-x_{2}-x_{0})-2x_{1}y_{1}}{2x_{1}-x_{2}-x_{0}}}$$

$$a_{1}={\frac {2x_{1}y_{1}-x_{2}y_{1}-x_{0}y_{1}-2x_{1}y_{1}}{2x_{1}-x_{2}-x_{0}}}$$

$$a_{1}={\frac {2x_{1}y_{1}-x_{2}y_{1}-x_{0}y_{1}-2x_{1}y_{1}}{2x_{1}-x_{2}-x_{0}}}$$

$$a_{1}={\frac {-y_{1}(x_{2}+x_{0})}{2x_{1}-x_{2}-x_{0}}}$$

$$a_{1}={\frac {-y_{1}(x_{2}+x_{0})}{2x_{1}-x_{2}-x_{0}}}$$

Inoltre

$$a_{2}={\frac {-a_{0}-a_{1}x_{2}}{x_{2}^{2}}}$$

$$a_{2}={\frac {-a_{0}-a_{1}x_{2}}{x_{2}^{2}}}$$

quindi dev'essere anche $x_{2}\neq 0$$x_{2}\neq 0$.

Il polinomio interpolante esiste unico se sono soddisfatte le seguenti condizioni:

$$2x_{2}-x_{1}-x_{0}\neq 0,\,x_{2}\neq x_{0},\,x_{2}\neq 0$$

$$2x_{2}-x_{1}-x_{0}\neq 0,\,x_{2}\neq x_{0},\,x_{2}\neq 0$$

Esercizio 9.38

Determinare il grado di precisione della formula di quadratura

$$\int _{a}^{b}f(x)\,dx\sim (b-a)/2[f(a)+f(b)]+{\frac {(b-a)^{2}}{12}}[f'(a)-f'(b)].$$

$$\int _{a}^{b}f(x)\,dx\sim (b-a)/2[f(a)+f(b)]+{\frac {(b-a)^{2}}{12}}[f'(a)-f'(b)].$$

utilizzare tale formula per approssimare il valore dell'integrale definito

$$\int _{0}^{1}\cos(\pi /2x)\,dx$$

$$\int _{0}^{1}\cos(\pi /2x)\,dx$$

e confrontare l'errore commesso con l'errore che si commette approssimando il medesimo integrale con la formula dei trapezi composita considerando solo due intervalli.

 

Grado di precisione 0:

$$\int _{a}^{b}1\,dx=b-a=(b-a)/2[1+1]+{\frac {(b-a)^{2}}{12}}*0=b-a.$$

$$\int _{a}^{b}1\,dx=b-a=(b-a)/2[1+1]+{\frac {(b-a)^{2}}{12}}*0=b-a.$$

condizione verificata

Grado di precisione 1:

$$\int _{a}^{b}x\,dx=b^{2}/2-a^{2}/2=(b-a)/2[a+b]+{\frac {(b-a)^{2}}{12}}[1-1].$$

$$\int _{a}^{b}x\,dx=b^{2}/2-a^{2}/2=(b-a)/2[a+b]+{\frac {(b-a)^{2}}{12}}[1-1].$$

$$b^{2}/2-a^{2}/2=(b^{2}-a^{2})/2$$

$$b^{2}/2-a^{2}/2=(b^{2}-a^{2})/2$$

condizione verificata

Grado di precisione 2:

$$\int _{a}^{b}x^{2}\,dx=b^{3}/3-a^{3}/3=(b-a)/2[a^{2}+b^{2}]+{\frac {(b-a)^{2}}{12}}[2a-2b].$$

$$\int _{a}^{b}x^{2}\,dx=b^{3}/3-a^{3}/3=(b-a)/2[a^{2}+b^{2}]+{\frac {(b-a)^{2}}{12}}[2a-2b].$$

$$b^{3}/3-a^{3}/3=(b-a)/2[a^{2}+b^{2}]-2{\frac {(b-a)^{3}}{12}}.$$

$$b^{3}/3-a^{3}/3=(b-a)/2[a^{2}+b^{2}]-2{\frac {(b-a)^{3}}{12}}.$$

$$b^{3}/3-a^{3}/3=1/2[ba^{2}+b^{3}-a^{3}-ab^{2}]-{\frac {(b-a)^{3}}{6}}.$$

$$b^{3}/3-a^{3}/3=1/2[ba^{2}+b^{3}-a^{3}-ab^{2}]-{\frac {(b-a)^{3}}{6}}.$$

$$2b^{3}-2a^{3}=3ba^{2}+3b^{3}-3a^{3}-3ab^{2}-(b-a)^{3}$$

$$2b^{3}-2a^{3}=3ba^{2}+3b^{3}-3a^{3}-3ab^{2}-(b-a)^{3}$$

$$a^{3}-b^{3}-3ba^{2}+3ab^{2}=-(b-a)^{3}$$

$$a^{3}-b^{3}-3ba^{2}+3ab^{2}=-(b-a)^{3}$$

condizione verificata

Grado di precisione 3:

$$\int _{a}^{b}x^{3}\,dx=b^{4}/4-a^{4}/4=(b-a)/2[a^{3}+b^{3}]+{\frac {(b-a)^{2}}{12}}[3a^{2}-3b^{2}].$$

$$\int _{a}^{b}x^{3}\,dx=b^{4}/4-a^{4}/4=(b-a)/2[a^{3}+b^{3}]+{\frac {(b-a)^{2}}{12}}[3a^{2}-3b^{2}].$$

$$b^{4}/4-a^{4}/4=(a^{3}b+b^{4}-a^{4}-ab^{3})/2-{\frac {(b-a)^{3}}{4}}*(b+a)$$

$$b^{4}/4-a^{4}/4=(a^{3}b+b^{4}-a^{4}-ab^{3})/2-{\frac {(b-a)^{3}}{4}}*(b+a)$$

$$-b^{4}/4+a^{4}/4=(a^{3}b-ab^{3})/2-{\frac {b^{3}-3b^{2}a+3ab^{2}-a^{3}}{4}}*(b+a)$$

$$-b^{4}/4+a^{4}/4=(a^{3}b-ab^{3})/2-{\frac {b^{3}-3b^{2}a+3ab^{2}-a^{3}}{4}}*(b+a)$$

$$-b^{4}+a^{4}=2a^{3}b-2ab^{3}-[b^{4}+ab^{3}-3b^{2}a^{2}-3b^{3}a+3a^{2}b^{2}+3ab^{3}-a^{3}b-a^{4}]$$

$$-b^{4}+a^{4}=2a^{3}b-2ab^{3}-[b^{4}+ab^{3}-3b^{2}a^{2}-3b^{3}a+3a^{2}b^{2}+3ab^{3}-a^{3}b-a^{4}]$$

$$-b^{4}+a^{4}=2a^{3}b-2ab^{3}-b^{4}-ab^{3}+3b^{2}a^{2}+3b^{3}a-3a^{2}b^{2}-3ab^{3}+a^{3}b+a^{4}$$

$$-b^{4}+a^{4}=2a^{3}b-2ab^{3}-b^{4}-ab^{3}+3b^{2}a^{2}+3b^{3}a-3a^{2}b^{2}-3ab^{3}+a^{3}b+a^{4}$$

$$2a^{3}b-2ab^{3}-ab^{3}+3b^{3}a-3ab^{3}+a^{3}b=0$$

$$2a^{3}b-2ab^{3}-ab^{3}+3b^{3}a-3ab^{3}+a^{3}b=0$$

$$3a^{3}b-3ab^{3}=0$$

$$3a^{3}b-3ab^{3}=0$$

quindi il grado di precisione è almeno 3 se è soddisfatta la condizione scritta sopra, e in particolare è 3 sull'intervallo $[0,1]$$[0,1]$.

Calcolo

$$\int _{0}^{1}\cos(\pi /2x)=[2/\pi *\sin(\pi /2x)]_{0}^{1}=2/\pi$$

$$\int _{0}^{1}\cos(\pi /2x)=[2/\pi *\sin(\pi /2x)]_{0}^{1}=2/\pi$$

Con la formula dei trapezi

$$(b-a)/2*(f(b)+f(a))=1/2*(\cos(\pi /2*0)+\cos(\pi /2*1))$$

$$(b-a)/2*(f(b)+f(a))=1/2*(\cos(\pi /2*0)+\cos(\pi /2*1))$$

$$=1/2$$

$$=1/2$$

Con la formula data:

$$I=1/2-{\frac {1}{12}}*\pi /2*[\sin 0-\sin \pi /2].$$

$$I=1/2-{\frac {1}{12}}*\pi /2*[\sin 0-\sin \pi /2].$$

$$I=1/2+{\frac {\pi }{24}}$$

$$I=1/2+{\frac {\pi }{24}}$$

$$E_{r,1}=0,225$$

$$E_{r,1}=0,225$$

$$E_{er,2}=0,09$$

$$E_{er,2}=0,09$$