Tema 8

Esercizio 9.32

Calcolare il numero di condizionamento $K_{f}(x)$$K_{f}(x)$ della funzione

$$f(x)={\sqrt {1-{\sqrt {x}}}}$$

$$f(x)={\sqrt {1-{\sqrt {x}}}}$$

e stabilire per quali $x$$x$ il calcolo della funzione è ben condizionato nel senso che $K_{f}(x)<10$$K_{f}(x)<10$.

 

Dominio della funzione:

$$x\geq 0$$

$$x\geq 0$$

$$1-{\sqrt {x}}>0$$

$$1-{\sqrt {x}}>0$$

$${\sqrt {x}}-1<0$$

$${\sqrt {x}}-1<0$$

$${\sqrt {x}}<1\,\longrightarrow \,x<1$$

$${\sqrt {x}}<1\,\longrightarrow \,x<1$$

Quindi $D=[0,1)$$D=[0,1)$.

$$K_{f}(x)=|{\frac {\partial f}{\partial x}}|*|{\frac {x}{f(x)}}|$$

$$K_{f}(x)=|{\frac {\partial f}{\partial x}}|*|{\frac {x}{f(x)}}|$$

$${\frac {\partial f}{\partial x}}={\frac {1}{2{\sqrt {1-{\sqrt {x}}}}}}*{\frac {-1}{2x^{1/2}}}$$

$${\frac {\partial f}{\partial x}}={\frac {1}{2{\sqrt {1-{\sqrt {x}}}}}}*{\frac {-1}{2x^{1/2}}}$$

$$K_{f}=x*{\frac {1}{2{\sqrt {1-{\sqrt {x}}}}}}*{\frac {1}{2x^{1/2}}}*{\frac {1}{\sqrt {1-{\sqrt {x}}}}}$$

$$K_{f}=x*{\frac {1}{2{\sqrt {1-{\sqrt {x}}}}}}*{\frac {1}{2x^{1/2}}}*{\frac {1}{\sqrt {1-{\sqrt {x}}}}}$$

$$K_{f}={\frac {\sqrt {x}}{4(1-{\sqrt {x}})}}$$

$$K_{f}={\frac {\sqrt {x}}{4(1-{\sqrt {x}})}}$$

$$K_{f}>10$$

$$K_{f}>10$$

$${\frac {\sqrt {x}}{4(1-{\sqrt {x}})}}>10$$

$${\frac {\sqrt {x}}{4(1-{\sqrt {x}})}}>10$$

$$1-{\sqrt {x}}\neq 0\iff x\in [0,1)$$

$$1-{\sqrt {x}}\neq 0\iff x\in [0,1)$$

$${\sqrt {x}}>40(1-{\sqrt {x}})$$

$${\sqrt {x}}>40(1-{\sqrt {x}})$$

$$41{\sqrt {x}}>40$$

$$41{\sqrt {x}}>40$$

$${\sqrt {x}}>40/41$$

$${\sqrt {x}}>40/41$$

$$x>(40/41)^{2}=0.95$$

$$x>(40/41)^{2}=0.95$$

Quindi il prolema è mal condizionato se $x>0.95$$x>0.95$.

Esercizio 9.33

Si consideri

$$f(x)=1+4xe^{2x},\,x\in [0,3/2]$$

$$f(x)=1+4xe^{2x},\,x\in [0,3/2]$$

• trovare il polinomio che interpoli la funzione $f$$f$ nei nodi $x_{0}=0,\,x_{1}=1/2,x_{2}=1,x_{3}=3/2$$x_{0}=0,\,x_{1}=1/2,x_{2}=1,x_{3}=3/2$.
• trovare la spline lineare interpolante scegliendo come nodi della suddivisione dell'intervallo $[0,3/2]$$[0,3/2]$ i nodi del punto precedente.
• stimare il numero $m$$m$ di sottointervalli di uuale ampiezza necessari per approssimare la funzione $f$$f$ con una spline lineare interpolante a meno di un errore di $10^{-2}$$10^{-2}$.

 

$$f(0)=1,\,f(1/2)=1+2e,\,f(1)=1+4e^{2},\,f(3/2)=1+6e^{3}$$

$$f(0)=1,\,f(1/2)=1+2e,\,f(1)=1+4e^{2},\,f(3/2)=1+6e^{3}$$

Algoritmo alla neville:

$${\begin{array}{c|cccc}0&1&X&X&X\\1/2&1+2e&4e&X&X\\1&1+4e^{2}&8e^{2}-4e&8e^{2}-8e&X\\3/2&1+6e^{3}&12e^{3}-8e^{2}&12e^{3}-16e^{2}+4e&8e^{3}-16e^{2}+8e\\\end{array}}$$

$${\begin{array}{c|cccc}0&1&X&X&X\\1/2&1+2e&4e&X&X\\1&1+4e^{2}&8e^{2}-4e&8e^{2}-8e&X\\3/2&1+6e^{3}&12e^{3}-8e^{2}&12e^{3}-16e^{2}+4e&8e^{3}-16e^{2}+8e\\\end{array}}$$

$$p_{3}=1+4e*x+(8e^{2}-8e)*x*(x-1/2)+(8e^{3}-16e^{2}+8e)x(x-1/2)(x-1)$$

$$p_{3}=1+4e*x+(8e^{2}-8e)*x*(x-1/2)+(8e^{3}-16e^{2}+8e)x(x-1/2)(x-1)$$

$$p_{3}=1+4e*x+(8e^{2}-8e)*(x^{2}-x/2)+(8e^{3}-16e^{2}+8e)(x^{3}-3/2x^{2}+1/2x)$$

$$p_{3}=1+4e*x+(8e^{2}-8e)*(x^{2}-x/2)+(8e^{3}-16e^{2}+8e)(x^{3}-3/2x^{2}+1/2x)$$

$$p_{3}=1+(4e-4e^{2}+4e+4e^{3}-8e^{2}+4e)*x+(8e^{2}-8e-12e^{3}+24e^{2}-12e)*x^{2}+(8e^{3}-16e^{2}+8e)x^{3}$$

$$p_{3}=1+(4e-4e^{2}+4e+4e^{3}-8e^{2}+4e)*x+(8e^{2}-8e-12e^{3}+24e^{2}-12e)*x^{2}+(8e^{3}-16e^{2}+8e)x^{3}$$

$$p_{3}=1+(12e-12e^{2}+4e^{3})*x+(-12e^{3}+32e^{2}-20e)*x^{2}+(8e^{3}-16e^{2}+8e)x^{3}$$

$$p_{3}=1+(12e-12e^{2}+4e^{3})*x+(-12e^{3}+32e^{2}-20e)*x^{2}+(8e^{3}-16e^{2}+8e)x^{3}$$

$$p_{3}=1+(12e-12e^{2}+4e^{3})*x-(20e-32e^{2}+12e^{3})*x^{2}+(8e-16e^{2}+8e^{3})x^{3}$$

$$p_{3}=1+(12e-12e^{2}+4e^{3})*x-(20e-32e^{2}+12e^{3})*x^{2}+(8e-16e^{2}+8e^{3})x^{3}$$

Spline interpolante: Determino i coefficienti $a_{i},b_{i}$$a_{i},b_{i}$ tali che:

$$s(x)={\begin{cases}b_{0}+a_{0}x&\iff x\in [0,1/2]\\b_{1}+a_{1}x&\iff x\in [1/2,1]\\b_{2}+a_{2}x&\iff x\in [1,3/2]\end{cases}}$$

$$s(x)={\begin{cases}b_{0}+a_{0}x&\iff x\in [0,1/2]\\b_{1}+a_{1}x&\iff x\in [1/2,1]\\b_{2}+a_{2}x&\iff x\in [1,3/2]\end{cases}}$$

Impongo le condizioni di interpolazione e di raccordo con continuità:

$${\begin{cases}f(0)=b_{0}=1\\f(1/2)=b_{0}+a_{0}/2=b_{1}+a_{1}/2=1+2e\\f(1)=b_{1}+a_{1}=b_{2}+a_{2}=1+4e^{2}\\f(3/2)=b_{2}+3/2a_{2}=1+6e^{3}\end{cases}}$$

$${\begin{cases}f(0)=b_{0}=1\\f(1/2)=b_{0}+a_{0}/2=b_{1}+a_{1}/2=1+2e\\f(1)=b_{1}+a_{1}=b_{2}+a_{2}=1+4e^{2}\\f(3/2)=b_{2}+3/2a_{2}=1+6e^{3}\end{cases}}$$

Sostituendo $b_{0}=1$$b_{0}=1$ nelle altre equazioni ottengo:

$${\begin{cases}b_{0}=1\\1+a_{0}/2=1+2e\\b_{1}+a_{1}/2=1+2e\\b_{1}+a_{1}=b_{2}+a_{2}=1+4e^{2}\\b_{2}+3/2a_{2}=1+6e^{3}\end{cases}}$$

$${\begin{cases}b_{0}=1\\1+a_{0}/2=1+2e\\b_{1}+a_{1}/2=1+2e\\b_{1}+a_{1}=b_{2}+a_{2}=1+4e^{2}\\b_{2}+3/2a_{2}=1+6e^{3}\end{cases}}$$

Inoltre ricavo $a_{0}=4e$$a_{0}=4e$.

$${\begin{cases}b_{1}+a_{1}/2=1+2e\\b_{1}+a_{1}=1+4e^{2}\\b_{2}+a_{2}=1+4e^{2}\\b_{2}+3/2a_{2}=1+6e^{3}\end{cases}}$$

$${\begin{cases}b_{1}+a_{1}/2=1+2e\\b_{1}+a_{1}=1+4e^{2}\\b_{2}+a_{2}=1+4e^{2}\\b_{2}+3/2a_{2}=1+6e^{3}\end{cases}}$$

Sottraggo membro a membro le prime due equazioni

$$1/2a_{1}=4e^{2}-2e,\,\longrightarrow \,a_{1}=8e^{2}-4e$$

$$1/2a_{1}=4e^{2}-2e,\,\longrightarrow \,a_{1}=8e^{2}-4e$$

$$b_{1}+a_{1}/2=1+2e\,\longrightarrow \,b_{1}=1+4e-4e^{2}$$

$$b_{1}+a_{1}/2=1+2e\,\longrightarrow \,b_{1}=1+4e-4e^{2}$$

Sottraggo la terza e la quarta equazione:

$$1/2a_{2}=6e^{3}-4e^{2},\,\longrightarrow \,a_{2}=12e^{3}-8e^{2}$$

$$1/2a_{2}=6e^{3}-4e^{2},\,\longrightarrow \,a_{2}=12e^{3}-8e^{2}$$

$$b_{2}=1+12e^{2}-12e^{3}$$

$$b_{2}=1+12e^{2}-12e^{3}$$

Quindi

$$s(x)={\begin{cases}1+4ex&\iff x\in [0,1/2]\\1+4e-4e^{2}+(8e^{2}-4e)x&\iff x\in [1/2,1]\\1+12e^{2}-12e^{3}+(12e^{3}-8e^{2})x&\iff x\in [1,3/2]\end{cases}}$$

$$s(x)={\begin{cases}1+4ex&\iff x\in [0,1/2]\\1+4e-4e^{2}+(8e^{2}-4e)x&\iff x\in [1/2,1]\\1+12e^{2}-12e^{3}+(12e^{3}-8e^{2})x&\iff x\in [1,3/2]\end{cases}}$$

$$t_{i}={\frac {3}{2m}}$$

$$t_{i}={\frac {3}{2m}}$$

$$h^{2}/8*\max f^{(2)}(x)=1/8$$

$$h^{2}/8*\max f^{(2)}(x)=1/8$$

Esercizio 9.34

Determinare i coefficienti $a_{0},a_{1},b_{0},b_{1}$$a_{0},a_{1},b_{0},b_{1}$ in modo che la formula di quadratura:

$$\int _{0}^{h}f(x)\,dx\sim h[a_{0}f(0)+a_{1}f(h)]+h^{2}[b_{0}f'(0)+b_{1}f'(h)]$$

$$\int _{0}^{h}f(x)\,dx\sim h[a_{0}f(0)+a_{1}f(h)]+h^{2}[b_{0}f'(0)+b_{1}f'(h)]$$

sia esatta per polinomi di grado 3. Applicare la formula trovata all'integrale definito

$$I=\int _{0}^{\pi /2}x^{2}\sin x\,dx$$

$$I=\int _{0}^{\pi /2}x^{2}\sin x\,dx$$

utilizzando la stima asintotica dell'errore stimare quanti sottointervalli sono necessari affinché l'errore assoluto relativo all'approssimazione di $I$$I$ con il metodo dei trapezi compositi sia inferiore a $10^{-3}$$10^{-3}$.

 

1. Impongo grado di precisione 0.per $f=1$$f=1$:
   $$h=h[a_{0}+a_{1}]+h^{2}[b_{0}*0+b_{1}*0]=h(a_{0}+a_{1}),\,\longrightarrow \,_{0}+a_{1}=1$$

   $$h=h[a_{0}+a_{1}]+h^{2}[b_{0}*0+b_{1}*0]=h(a_{0}+a_{1}),\,\longrightarrow \,_{0}+a_{1}=1$$
2. impongo grado di precisione 1 con $f=x$$f=x$:
   $$h^{2}/2\sim h[a_{0}*0+a_{1}h]+h^{2}[b_{0}+b_{1}]=h^{2}[a_{1}+b_{0}+b_{1}]$$

   $$h^{2}/2\sim h[a_{0}*0+a_{1}h]+h^{2}[b_{0}+b_{1}]=h^{2}[a_{1}+b_{0}+b_{1}]$$
   $$\longrightarrow \,a_{1}+b_{0}+b_{1}=1/2$$

   $$\longrightarrow \,a_{1}+b_{0}+b_{1}=1/2$$
3. Impongo grado di precisione 2:
   $$h^{3}/3=h[a_{1}h^{2}]+h^{2}[b_{1}*2h]=h^{3}(a_{1}+2b_{1})$$

   $$h^{3}/3=h[a_{1}h^{2}]+h^{2}[b_{1}*2h]=h^{3}(a_{1}+2b_{1})$$
   $$\longrightarrow \,a_{1}+2b_{1}=1/3$$

   $$\longrightarrow \,a_{1}+2b_{1}=1/3$$
4. impongo grado di precisione 3
   $$h^{4}/4=h[a_{1}h^{3}]+h^{2}[3b_{1}h^{3}]$$

   $$h^{4}/4=h[a_{1}h^{3}]+h^{2}[3b_{1}h^{3}]$$
   $$\longrightarrow a_{1}+3b_{1}=1/4$$

   $$\longrightarrow a_{1}+3b_{1}=1/4$$

Quindi risolvo il sistema:

$${\begin{cases}a_{0}+a_{1}=1\\a_{1}+b_{0}+b_{1}=1/2\\a_{1}+2b_{1}=1/3\\a_{1}+3b_{1}=1/4\end{cases}}$$

$${\begin{cases}a_{0}+a_{1}=1\\a_{1}+b_{0}+b_{1}=1/2\\a_{1}+2b_{1}=1/3\\a_{1}+3b_{1}=1/4\end{cases}}$$

Sottraggo le ultime due equazioni:

$$b_{1}=1/4-1/3=-1/12$$

$$b_{1}=1/4-1/3=-1/12$$

Sostituendo nella terza

$$a_{1}-3*1/12=1/4$$

$$a_{1}-3*1/12=1/4$$

$$a_{1}=1/4+1/4=1/2$$

$$a_{1}=1/4+1/4=1/2$$

Sostituendo nel sistema:

$$a_{0}=1/2,b_{0}=1/12$$

$$a_{0}=1/2,b_{0}=1/12$$

Quindi

$$a_{0}=1/2,a_{1}=1/2,\,b_{0}=1/12,b_{1}=-1/12$$

$$a_{0}=1/2,a_{1}=1/2,\,b_{0}=1/12,b_{1}=-1/12$$

$$\int _{0}^{h}f(x)\,dx\sim h/2[f(0)+f(h)]+h^{2}/12[f'(0)-f'(h)]$$

$$\int _{0}^{h}f(x)\,dx\sim h/2[f(0)+f(h)]+h^{2}/12[f'(0)-f'(h)]$$

Applico la formula a

$$\int _{0}^{\pi /2}x^{2}\sin x\,dx$$

$$\int _{0}^{\pi /2}x^{2}\sin x\,dx$$

$$(\pi /2)/2[0+\sin \pi /2]+(\pi /2)/12[\cos 0-\cos \pi /2]$$

$$(\pi /2)/2[0+\sin \pi /2]+(\pi /2)/12[\cos 0-\cos \pi /2]$$

$$\pi /4+\pi /24=7/24\pi =1.92$$

$$\pi /4+\pi /24=7/24\pi =1.92$$

Invece l'integrale esatto vale

$$\int _{0}^{\pi /2}\sin x*x^{2}\,dx=$$

$$\int _{0}^{\pi /2}\sin x*x^{2}\,dx=$$

$$[-x^{2}*\cos x]_{0}^{\pi /2}+2\int x*\cos x\,dx$$

$$[-x^{2}*\cos x]_{0}^{\pi /2}+2\int x*\cos x\,dx$$

$$2[x*\sin x-\int \sin x\,dx]=$$

$$2[x*\sin x-\int \sin x\,dx]=$$

$$2*\pi /2-1=\pi -1$$

$$2*\pi /2-1=\pi -1$$

Con il metodo dei trapezi compositi la stima asintotica dell'errore è

$$H^{2}/12*h*f^{(2)}(\xi )$$

$$H^{2}/12*h*f^{(2)}(\xi )$$

Approssimando la derivata seconda

$$E_{r}\leq H^{2}/12*h*{\frac {f'(\pi /2)-f'(0)}{\pi /2}}$$

$$E_{r}\leq H^{2}/12*h*{\frac {f'(\pi /2)-f'(0)}{\pi /2}}$$

$$f'=x^{2}*\cos x+2x*\sin x$$

$$f'=x^{2}*\cos x+2x*\sin x$$

$$f'(0)=0,\,f'(\pi /2)=\pi$$

$$f'(0)=0,\,f'(\pi /2)=\pi$$

$$E_{r}\leq H^{2}/12*\pi$$

$$E_{r}\leq H^{2}/12*\pi$$

$$H=\pi /(2m)$$

$$H=\pi /(2m)$$

Impongo

$$\pi ^{2}/12*\pi \leq 4m^{2}*10^{-3}$$

$$\pi ^{2}/12*\pi \leq 4m^{2}*10^{-3}$$

$$m^{2}>\pi ^{3}/48*10^{3}$$

$$m^{2}>\pi ^{3}/48*10^{3}$$

$$m>{\sqrt {\pi ^{3}/48*10^{3}}}=25.39$$

$$m>{\sqrt {\pi ^{3}/48*10^{3}}}=25.39$$

$$m_{min}=26$$

$$m_{min}=26$$

Esercizio 9.35

Siano assegnati $n+1$$n+1$ punti distinti appartenenti a un intervallo $[a,b]$$[a,b]$, $x_{0},\dots x_{n}$$x_{0},\dots x_{n}$. Si indichi con $L_{i}(x)$$L_i(x)$ il polinomio di Lagrange corrispondente al punto $x_{i}$$x_i$ e dimostrare che

$$\sum _{i=0}^{n}L_{i}(x)=1.$$

$$\sum _{i=0}^{n}L_{i}(x)=1.$$

 

Dimostro per induzione: per $n=1$$n=1$:

$$l_{1}(x)+l_{0}(x)={\frac {x-x_{0}}{x_{1}-x_{0}}}+{\frac {x-x_{1}}{x_{0}-x_{1}}}$$

$$l_{1}(x)+l_{0}(x)={\frac {x-x_{0}}{x_{1}-x_{0}}}+{\frac {x-x_{1}}{x_{0}-x_{1}}}$$

$$={\frac {x-x_{0}-x+x_{1}}{x_{1}-x_{0}}}=1$$

$$={\frac {x-x_{0}-x+x_{1}}{x_{1}-x_{0}}}=1$$

Passo induttivo: suppongo che l'asserto sia vero per $n-1$$n-1$ e lo dimostro per $n$$n$.

$$l_{n,i}(x)=\prod _{i\neq j,j=1}^{n}{\frac {x-x_{j}}{x_{i}-x_{j}}}$$

$$l_{n,i}(x)=\prod _{i\neq j,j=1}^{n}{\frac {x-x_{j}}{x_{i}-x_{j}}}$$

Facendo la sommatoria

$$\sum _{i=1}^{n}l_{n,i}(x)$$

$$\sum _{i=1}^{n}l_{n,i}(x)$$

$$=\sum _{i=1}^{n-1}\prod _{i\neq j,j=1}^{n}{\frac {x-x_{j}}{x_{i}-x_{j}}}+l_{n,n}$$

$$=\sum _{i=1}^{n-1}\prod _{i\neq j,j=1}^{n}{\frac {x-x_{j}}{x_{i}-x_{j}}}+l_{n,n}$$

$$=\sum _{i=1}^{n-1}{\frac {\prod _{i\neq j,j=1}^{n}(x-x_{j})}{\prod _{i\neq j,j=1}^{n}(x_{i}-x_{j})}}+l_{n,n}(x)$$

$$=\sum _{i=1}^{n-1}{\frac {\prod _{i\neq j,j=1}^{n}(x-x_{j})}{\prod _{i\neq j,j=1}^{n}(x_{i}-x_{j})}}+l_{n,n}(x)$$

$$=\sum _{i=1}^{n-1}{\frac {x-x_{n}}{x_{i}-x_{n}}}*{\frac {\prod _{i\neq j,j=1}^{n-1}(x-x_{j})}{\prod _{i\neq j,j=1}^{n-1}(x_{i}-x_{j})}}+l_{n,n}(x)$$

$$=\sum _{i=1}^{n-1}{\frac {x-x_{n}}{x_{i}-x_{n}}}*{\frac {\prod _{i\neq j,j=1}^{n-1}(x-x_{j})}{\prod _{i\neq j,j=1}^{n-1}(x_{i}-x_{j})}}+l_{n,n}(x)$$

$$=\sum _{i=1}^{n-1}l_{n-1,i}(x)*{\frac {x-x_{n}}{x_{i}-x_{n}}}+l_{n,n}(x)$$

$$=\sum _{i=1}^{n-1}l_{n-1,i}(x)*{\frac {x-x_{n}}{x_{i}-x_{n}}}+l_{n,n}(x)$$