Tema 4

Esercizio 9.17

E' dato il problema di punto fisso

$$x_{n+1}=\pi /2\sin(x_{n}),\,n\geq 0$$

$$x_{n+1}=\pi /2\sin(x_{n}),\,n\geq 0$$

$x_{0}$$x_0$ assegnato. Si dica quali sono i punti fissi e si studi la convergenza delle iterate. In particolare si indichi a quale dei punti fissi converge la successione degli $x_{n}$$x_n$ in funzione del punto iniziale $x_{0}$$x_0$, inoltre si indichi qual è l'ordine di convergenza ai punti fissi.

 

Risolvendo graficamente l'equazione $\pi /2*\sin x_{n}=x_{n}$$\pi /2*\sin x_{n}=x_{n}$, si trovano tre punti fissi: $P_{1}=(-\pi /2,-\pi /2)$$P_{1}=(-\pi /2,-\pi /2)$, $P_{2}=(0,0)$$P_{2}=(0,0)$, $P_{3}=(\pi /2,\pi /2)$$P_{3}=(\pi /2,\pi /2)$.

1. Per $0<x_{0}<\pi /2$$0<x_{0}<\pi /2$ si ha $\phi (x)>x$$\phi (x)>x$, ho una successione monotona crescente che converge alla radice $x=\pi /2$$x=\pi /2$.
2. per $\pi /2<x<\pi$$\pi /2<x<\pi$, si ha la convergenza alternata, le iterate sono tutte positive e il metodo converge alla radice $x=\pi /2$$x=\pi /2$.
3. per $-\pi /2<x<0$$-\pi /2<x<0$ si ha $\phi (x)<x$$\phi (x)<x$, la successione è monotona decrescente e converge alla radice $x=-\pi /2$$x=-\pi /2$.
4. per $-\pi <x<-\pi /2$$-\pi <x<-\pi /2$ si ha la convergenza alternata, le iterate sono tutte negative e il metodo converge alla radice $x=-\pi /2$$x=-\pi /2$.

In generale

$${\begin{array}{cc}{\hbox{intervallo}}&{\hbox{radice}}\\x_{0}\in (k\pi ,(k+1)\pi ),\,k\geq 1,k{\hbox{ dispari}}&-\pi /2\\x_{0}\in (k\pi ,(k+1)\pi ),\,k>1,k{\hbox{ pari}}&\pi /2\\x_{0}\in (k\pi ,(k+1)\pi ),\,k\leq 1,k{\hbox{ dispari}}&\pi /2\\x_{0}\in (k\pi ,(k+1)\pi ),\,k<1,k{\hbox{ pari}}&\pi /2\\\end{array}}$$

$${\begin{array}{cc}{\hbox{intervallo}}&{\hbox{radice}}\\x_{0}\in (k\pi ,(k+1)\pi ),\,k\geq 1,k{\hbox{ dispari}}&-\pi /2\\x_{0}\in (k\pi ,(k+1)\pi ),\,k>1,k{\hbox{ pari}}&\pi /2\\x_{0}\in (k\pi ,(k+1)\pi ),\,k\leq 1,k{\hbox{ dispari}}&\pi /2\\x_{0}\in (k\pi ,(k+1)\pi ),\,k<1,k{\hbox{ pari}}&\pi /2\\\end{array}}$$

Per quanto riguarda l'ordine di convergenza:

1. Per $x=0$$x=0$
   $$\phi '(x)=\pi /2\cos x_{n}$$

   $$\phi '(x)=\pi /2\cos x_{n}$$
   $$\phi '(0)=\pi /2\neq 0$$

   $$\phi '(0)=\pi /2\neq 0$$
   e l'ordine di convergenza è 1.
2. per $x=\pm \pi /2$$x=\pm \pi /2$
   $$\phi '(\pi /2)=\pi /2*0=0$$

   $$\phi '(\pi /2)=\pi /2*0=0$$
   $$\phi ''(\pi /2)=\pi /2*\sin \pi /2=\pi /2\neq 0$$

   $$\phi ''(\pi /2)=\pi /2*\sin \pi /2=\pi /2\neq 0$$
   e l'ordine di convergenza è 2.

Esercizio 9.18

Determinare la spline di grado 1 interpolante il polinomio

$$p_{2}(x)=-0.5x^{2}+1.5x-1$$

$$p_{2}(x)=-0.5x^{2}+1.5x-1$$

nei punti $x_{0}=0,x_{1}=1,x_{2}=3$$x_{0}=0,x_{1}=1,x_{2}=3$. Stimare il massimo errore che si commette sull'intervallo $[0,3]$$[0,3]$.

 

$$p_{2}(0)=-1,\,p_{2}(1)=0,\,p_{2}(3)=-1$$

$$p_{2}(0)=-1,\,p_{2}(1)=0,\,p_{2}(3)=-1$$

Voglio determinare i coefficienti $a_{0},a_{1},b_{0},b_{1}$$a_{0},a_{1},b_{0},b_{1}$ tali che la spline sia costruita nel seguente modo:

$$s(x)=\left\{{\begin{array}{ll}a_{0}+a_{1}x,&{\hbox{per }}x\in [0,1]\\b_{0}+b_{1}x,&{\hbox{per }}x\in [1,3]\end{array}}\right.$$

$$s(x)=\left\{{\begin{array}{ll}a_{0}+a_{1}x,&{\hbox{per }}x\in [0,1]\\b_{0}+b_{1}x,&{\hbox{per }}x\in [1,3]\end{array}}\right.$$

Impongo le condizioni di interpolazione.

$${\begin{cases}a_{0}+a_{1}*0=-1\\a_{0}+a_{1}*1=0\\b_{0}+b_{1}*3=-1\end{cases}}$$

$${\begin{cases}a_{0}+a_{1}*0=-1\\a_{0}+a_{1}*1=0\\b_{0}+b_{1}*3=-1\end{cases}}$$

Imponendo anche la condizione di raccordo con continuità nel nodo $x=1$$x=1$, devo aggiungere la condizione $b_{0}+b_{1}*1=0$$b_{0}+b_{1}*1=0$.

$${\begin{cases}a_{0}=-1\\a_{0}+a_{1}=0\\b_{0}+3b_{1}=-1\\b_{0}+b_{1}=0\end{cases}}$$

$${\begin{cases}a_{0}=-1\\a_{0}+a_{1}=0\\b_{0}+3b_{1}=-1\\b_{0}+b_{1}=0\end{cases}}$$

Quindi

$$a_{0}=-1,\,a_{1}=1$$

$$a_{0}=-1,\,a_{1}=1$$

$$b_{0}=-b_{1},\,b_{0}+3b_{0}=-1$$

$$b_{0}=-b_{1},\,b_{0}+3b_{0}=-1$$

$$b_{0}=-1/4,\,b_{1}=1/4$$

$$b_{0}=-1/4,\,b_{1}=1/4$$

$$s(x)=\left\{{\begin{array}{ll}x-1,&{\hbox{per }}x\in [0,1]\\(x-1)/4,&{\hbox{per }}x\in [1,3]\end{array}}\right.$$

$$s(x)=\left\{{\begin{array}{ll}x-1,&{\hbox{per }}x\in [0,1]\\(x-1)/4,&{\hbox{per }}x\in [1,3]\end{array}}\right.$$

Cerco il massimo dell'errore:

$$\max\{\max _{x\in [0,1]}(-0.5x^{2}+1.5x-1-x+1),\,\max _{x\in [1,3]}(-0.5x^{2}+1.5x-1-x/4+1/4)\}$$

$$\max\{\max _{x\in [0,1]}(-0.5x^{2}+1.5x-1-x+1),\,\max _{x\in [1,3]}(-0.5x^{2}+1.5x-1-x/4+1/4)\}$$

Le funzioni sono due parabole rivolte verso il basso e ne cerco i massimi.

$$\max _{x\in [0,1]}(-0.5x^{2}+1.5x-1-x+1)$$

$$\max _{x\in [0,1]}(-0.5x^{2}+1.5x-1-x+1)$$

$$\max _{x\in [0,1]}(-0.5x^{2}+0.5x)$$

$$\max _{x\in [0,1]}(-0.5x^{2}+0.5x)$$

$$f=-0-5(x^{2}-x)$$

$$f=-0-5(x^{2}-x)$$

$$f'(x)=-0.5*(2x-1)$$

$$f'(x)=-0.5*(2x-1)$$

$$2x-1=0,\,\longrightarrow \,x=1/2\in [0,1]$$

$$2x-1=0,\,\longrightarrow \,x=1/2\in [0,1]$$

$$f(1/2)=-0-5(1/4-1/2)=1/2*1/4=1/8$$

$$f(1/2)=-0-5(1/4-1/2)=1/2*1/4=1/8$$

Ora studio

$$\max _{x\in [1,3]}(-0.5x^{2}+1.5x-1-x/4+1/4)$$

$$\max _{x\in [1,3]}(-0.5x^{2}+1.5x-1-x/4+1/4)$$

$$f(x)=-1/2x^{2}+5/4x-3/4$$

$$f(x)=-1/2x^{2}+5/4x-3/4$$

$$f'(x)=-x+5/4$$

$$f'(x)=-x+5/4$$

$$x=5/4$$

$$x=5/4$$

$$f(5/4)=-1/2{\frac {25}{16}}+5/4*5/4-3/4$$

$$f(5/4)=-1/2{\frac {25}{16}}+5/4*5/4-3/4$$

$$f(5/4)=-{\frac {25}{32}}+50/32-24/32=1/32$$

$$f(5/4)=-{\frac {25}{32}}+50/32-24/32=1/32$$

Quindi il massimo errore su $[0,3]$$[0,3]$ è $1/8$$1/8$.

Esercizio 9.19

E' dato il sistema lineare $Ax=b$$Ax=b$

$${\begin{array}{ccc}2&1&0\\-2&1&a\\0&3&3\end{array}}$$

$${\begin{array}{ccc}2&1&0\\-2&1&a\\0&3&3\end{array}}$$

con $a$$a$ parametro reale e $b$$b$ termine noto assegnato, trovare:

1. il raggio spettrale della matrice di iterazione associata al metodo di Jacobi applicato al sistema lineare.
2. il raggio spettrale della matrice di iterazione associata al metodo di Gauss-seidel applicato al sistema lineare.
3. per quali valori di $a$$a$ il metodo di Gauss-seidel converge.

 

La matrice è tridiagonale, e il raggio spettrale del metodo di Gauss-Seidel è il quadrato di quello di Jacobi. Per trovare gli autovalori della matrice di iterazione di Jacobi studio

$$A-\lambda D={\begin{array}{ccc}-2\lambda &1&0\\-2&-\lambda &a\\0&3&-3\lambda \end{array}}$$

$$A-\lambda D={\begin{array}{ccc}-2\lambda &1&0\\-2&-\lambda &a\\0&3&-3\lambda \end{array}}$$

$$p_{\lambda }=-2\lambda (3\lambda ^{2}-3a)-1(6\lambda )$$

$$p_{\lambda }=-2\lambda (3\lambda ^{2}-3a)-1(6\lambda )$$

$$-6\lambda ^{3}+6a\lambda -6\lambda =0$$

$$-6\lambda ^{3}+6a\lambda -6\lambda =0$$

$$\lambda ^{3}+(1-a)\lambda =0$$

$$\lambda ^{3}+(1-a)\lambda =0$$

$$\lambda _{1}=0$$

$$\lambda _{1}=0$$

$$\lambda _{1,2}=\pm {\sqrt {a-1}}$$

$$\lambda _{1,2}=\pm {\sqrt {a-1}}$$

$$c.e.a-1\geq 0,\,a\geq 1$$

$$c.e.a-1\geq 0,\,a\geq 1$$

Quindi

$$\rho (P_{j})={\sqrt {a-1}}$$

$$\rho (P_{j})={\sqrt {a-1}}$$

$$\rho (P_{g})=a-1$$

$$\rho (P_{g})=a-1$$

e affinché il metodo di Gauss-Seidel converga si deve avere $a-1<1$$a-1<1$, quindi $a<2$$a<2$, e unendo alla condizione di esistenza si ha $1<a<2$$1<a<2$.

Esercizio 9.20

Studiare il condizionamento della funzione

$$f(x)=e^{\sqrt {x}}$$

$$f(x)=e^{\sqrt {x}}$$

e determinare i valori di $x$$x$ per i quali il calcolo della funzione è mal condizionato nel senso che il numero di condizionamento è superiore a $10$$10$.

 

Data una funzione $f(x)$$f(x)$, immagino di calcolarla in un punto $x+\delta _{x}$$x+\delta _{x}$, e pongo $f+\delta _{f}=f(x+\delta _{x})$$f+\delta _{f}=f(x+\delta _{x})$. Calcolando l'errore relativo ottengo:

$$E_{r}={\frac {|f+\delta _{f}-f|}{|f|}}={\frac {|f(x+\delta _{x})-f(x)|}{|f(x)|}}$$

$$E_{r}={\frac {|f+\delta _{f}-f|}{|f|}}={\frac {|f(x+\delta _{x})-f(x)|}{|f(x)|}}$$

e sviluppando $f(x+\delta _{x})$$f(x+\delta _{x})$ ottengo

$$={\frac {}{}}$$

$$={\frac {}{}}$$

$$={\frac {f(x)+f'(x)*\delta _{x}-f(x)}{|f(x)|}}$$

$$={\frac {f(x)+f'(x)*\delta _{x}-f(x)}{|f(x)|}}$$

$$={\frac {f'(x)*\delta _{x}}{|f(x)|}}$$

$$={\frac {f'(x)*\delta _{x}}{|f(x)|}}$$

e moltiplicando e dividendo per $x$$x$:

$$={\frac {f'(x)*x}{|f(x)|}}*{\frac {\delta _{x}}{x}}=I_{cond}*E_{r}$$

$$={\frac {f'(x)*x}{|f(x)|}}*{\frac {\delta _{x}}{x}}=I_{cond}*E_{r}$$

con $E_{r}={\frac {\delta _{x}}{x}}$$E_{r}={\frac {\delta _{x}}{x}}$ errore relativo sui dati e $I_{cond}=f'(x)*{\frac {x}{|f(x)|}}$$I_{cond}=f'(x)*{\frac {x}{|f(x)|}}$. In questo caso

$$f(x)=e^{\sqrt {x}}$$

$$f(x)=e^{\sqrt {x}}$$

$$f'(x)=e^{\sqrt {x}}*{\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}$$

$$f'(x)=e^{\sqrt {x}}*{\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}$$

$$I_{cond}={\frac {x}{e^{\sqrt {x}}}}*{\frac {e^{\sqrt {x}}}{2{\sqrt {x}}}}$$

$$I_{cond}={\frac {x}{e^{\sqrt {x}}}}*{\frac {e^{\sqrt {x}}}{2{\sqrt {x}}}}$$

$$I_{cond}=1/2{\sqrt {x}}$$

$$I_{cond}=1/2{\sqrt {x}}$$

$$I_{cond}>10\iff 1/2{\sqrt {x}}>10$$

$$I_{cond}>10\iff 1/2{\sqrt {x}}>10$$

$${\sqrt {x}}>20$$

$${\sqrt {x}}>20$$

$$x>400$$

$$x>400$$

Esercizio 9.21

Determinare $x_{0},x_{1},c_{1}$$x_{0},x_{1},c_{1}$ in modo che la formula di quadratura

$$\int _{-1}^{1}f(x)\,dx\sim f(x_{0})+c_{1}f(x_{1})$$

$$\int _{-1}^{1}f(x)\,dx\sim f(x_{0})+c_{1}f(x_{1})$$

abbia grado di precisone massimo, e applicare la formula ottenuta al calcolo dell'integrale definito

$$\int _{-1}^{1}|x|\,dx$$

$$\int _{-1}^{1}|x|\,dx$$

commentare i risultati ottenuti.

 

Imponendo grado di precisione 0:

$$\int _{-1}^{1}1\,dx=[x]_{-1}^{1}=2=1+c_{1}$$

$$\int _{-1}^{1}1\,dx=[x]_{-1}^{1}=2=1+c_{1}$$

$$c_{1}+1=2,\,c_{1}=1$$

$$c_{1}+1=2,\,c_{1}=1$$

Imponendo grado di precisione 1:

$$\int _{-1}^{1}x\,dx=[x^{2}/2]_{-1}^{1}=0=x_{0}+x_{1}$$

$$\int _{-1}^{1}x\,dx=[x^{2}/2]_{-1}^{1}=0=x_{0}+x_{1}$$

quindi $x_{0}=-x_{1}$$x_{0}=-x_{1}$.

Imponendo grado di precisione 2:

$$\int _{-1}^{1}x^{2}\,dx=[x^{3}/3]_{-1}^{1}=2/3=x_{0}^{2}/2+(-x_{0})^{2}/2=x_{0}^{2}$$

$$\int _{-1}^{1}x^{2}\,dx=[x^{3}/3]_{-1}^{1}=2/3=x_{0}^{2}/2+(-x_{0})^{2}/2=x_{0}^{2}$$

$$x_{0}^{2}=2/3\,\longrightarrow x_{0}={\sqrt {2/3}}$$

$$x_{0}^{2}=2/3\,\longrightarrow x_{0}={\sqrt {2/3}}$$

Quindi

$$x_{0}={\sqrt {2/3}},\,x_{1}=-{\sqrt {2/3}},\,c=1$$

$$x_{0}={\sqrt {2/3}},\,x_{1}=-{\sqrt {2/3}},\,c=1$$

e la formula di quadratura diventa:

$$\int _{-1}^{1}f(x)\,dx\sim f({\sqrt {2/3}})+f(-{\sqrt {2/3}})$$

$$\int _{-1}^{1}f(x)\,dx\sim f({\sqrt {2/3}})+f(-{\sqrt {2/3}})$$

Quindi

$$\int _{-1}^{1}|x|\,dx={\sqrt {2/3}}+{\sqrt {2/3}}=2{\sqrt {2}}/3\sim 0.94$$

$$\int _{-1}^{1}|x|\,dx={\sqrt {2/3}}+{\sqrt {2/3}}=2{\sqrt {2}}/3\sim 0.94$$

$${\hbox{esatta}}=\int _{-1}^{1}|x|\,dx=2*\int _{0}^{1}x\,dx=2[x^{2}/2]_{0}^{1}=1$$

$${\hbox{esatta}}=\int _{-1}^{1}|x|\,dx=2*\int _{0}^{1}x\,dx=2[x^{2}/2]_{0}^{1}=1$$