Esercizio 9.17
E' dato il problema di punto fisso


assegnato. Si dica quali sono i punti fissi e si studi la convergenza delle iterate. In particolare si indichi a quale dei punti fissi converge la successione degli

in funzione del punto iniziale

, inoltre si indichi qual è l'ordine di convergenza ai punti fissi.
Risolvendo graficamente l'equazione
, si trovano tre punti fissi:
,
,
.
- Per
si ha
, ho una successione monotona crescente che converge alla radice
.
- per
, si ha la convergenza alternata, le iterate sono tutte positive e il metodo converge alla radice
.
- per
si ha
, la successione è monotona decrescente e converge alla radice
.
- per
si ha la convergenza alternata, le iterate sono tutte negative e il metodo converge alla radice
.
In generale

Per quanto riguarda l'ordine di convergenza:
- Per



e l'ordine di convergenza è 1.
- per



e l'ordine di convergenza è 2.
Esercizio 9.18
Determinare la spline di grado 1 interpolante il polinomio

nei punti

. Stimare il massimo errore che si commette sull'intervallo
![{\displaystyle [0,3]}](//restbase.wikitolearn.org/it.wikitolearn.org/v1/media/math/render/svg/d5c9e70f7d437509d4ebedb0eaf7ada946e91a79)
.

Voglio determinare i coefficienti

tali che la spline sia costruita nel seguente modo:
![{\displaystyle s(x)=\left\{{\begin{array}{ll}a_{0}+a_{1}x,&{\hbox{per }}x\in [0,1]\\b_{0}+b_{1}x,&{\hbox{per }}x\in [1,3]\end{array}}\right.}](//restbase.wikitolearn.org/it.wikitolearn.org/v1/media/math/render/svg/2a7d58b0f4a38d3121df758c7a942ba7f219fb18)
Impongo le condizioni di interpolazione.

Imponendo anche la condizione di raccordo con continuità nel nodo

, devo aggiungere la condizione

.

Quindi



![{\displaystyle s(x)=\left\{{\begin{array}{ll}x-1,&{\hbox{per }}x\in [0,1]\\(x-1)/4,&{\hbox{per }}x\in [1,3]\end{array}}\right.}](//restbase.wikitolearn.org/it.wikitolearn.org/v1/media/math/render/svg/34d0da969fc65e7c079c135f84dd9443065053ca)
Cerco il massimo dell'errore:
![{\displaystyle \max\{\max _{x\in [0,1]}(-0.5x^{2}+1.5x-1-x+1),\,\max _{x\in [1,3]}(-0.5x^{2}+1.5x-1-x/4+1/4)\}}](//restbase.wikitolearn.org/it.wikitolearn.org/v1/media/math/render/svg/7a08655d305924ab65885838ee7da3e1fb65b967)
Le funzioni sono due parabole rivolte verso il basso e ne cerco i massimi.
![{\displaystyle \max _{x\in [0,1]}(-0.5x^{2}+1.5x-1-x+1)}](//restbase.wikitolearn.org/it.wikitolearn.org/v1/media/math/render/svg/54fd076535e6d6e3c8bdaafe218a8fa3ad6bf8d7)
![{\displaystyle \max _{x\in [0,1]}(-0.5x^{2}+0.5x)}](//restbase.wikitolearn.org/it.wikitolearn.org/v1/media/math/render/svg/3fa851ce367acaf59d328ec665654cef2683f4ed)


![{\displaystyle 2x-1=0,\,\longrightarrow \,x=1/2\in [0,1]}](//restbase.wikitolearn.org/it.wikitolearn.org/v1/media/math/render/svg/29de979822e5e07438e5820b8793da4d90370697)

Ora studio
![{\displaystyle \max _{x\in [1,3]}(-0.5x^{2}+1.5x-1-x/4+1/4)}](//restbase.wikitolearn.org/it.wikitolearn.org/v1/media/math/render/svg/076d269214ca81e0bd2ece8ea69d3b95231a820e)





Quindi il massimo errore su
![{\displaystyle [0,3]}](//restbase.wikitolearn.org/it.wikitolearn.org/v1/media/math/render/svg/d5c9e70f7d437509d4ebedb0eaf7ada946e91a79)
è

.
Esercizio 9.19
E' dato il sistema lineare 

con

parametro reale e

termine noto assegnato, trovare:
- il raggio spettrale della matrice di iterazione associata al metodo di Jacobi applicato al sistema lineare.
- il raggio spettrale della matrice di iterazione associata al metodo di Gauss-seidel applicato al sistema lineare.
- per quali valori di
il metodo di Gauss-seidel converge.
La matrice è tridiagonale, e il raggio spettrale del metodo di Gauss-Seidel è il quadrato di quello di Jacobi. Per trovare gli autovalori della matrice di iterazione di Jacobi studio







Quindi


e affinché il metodo di Gauss-Seidel converga si deve avere

, quindi

, e unendo alla condizione di esistenza si ha

.
Esercizio 9.20
Studiare il condizionamento della funzione

e determinare i valori di

per i quali il calcolo della funzione è mal condizionato nel senso che il numero di condizionamento è superiore a

.
Data una funzione
, immagino di calcolarla in un punto
, e pongo
. Calcolando l'errore relativo ottengo:

e sviluppando

ottengo



e moltiplicando e dividendo per

:

con

errore relativo sui dati e

.
In questo caso







Esercizio 9.21
Determinare
in modo che la formula di quadratura

abbia grado di precisone massimo, e applicare la formula ottenuta al calcolo dell'integrale definito

commentare i risultati ottenuti.
Imponendo grado di precisione 0:
![{\displaystyle \int _{-1}^{1}1\,dx=[x]_{-1}^{1}=2=1+c_{1}}](//restbase.wikitolearn.org/it.wikitolearn.org/v1/media/math/render/svg/2b9416bd81048fda8708790423dbd7b8d5d24334)

Imponendo grado di precisione 1:
![{\displaystyle \int _{-1}^{1}x\,dx=[x^{2}/2]_{-1}^{1}=0=x_{0}+x_{1}}](//restbase.wikitolearn.org/it.wikitolearn.org/v1/media/math/render/svg/bdc2c5d5d63c79837bf484999c92be3c87312651)
quindi

.
Imponendo grado di precisione 2:
![{\displaystyle \int _{-1}^{1}x^{2}\,dx=[x^{3}/3]_{-1}^{1}=2/3=x_{0}^{2}/2+(-x_{0})^{2}/2=x_{0}^{2}}](//restbase.wikitolearn.org/it.wikitolearn.org/v1/media/math/render/svg/33124884a0eb476142ec64fbd5b07adb3439bdb9)

Quindi

e la formula di quadratura diventa:

Quindi

![{\displaystyle {\hbox{esatta}}=\int _{-1}^{1}|x|\,dx=2*\int _{0}^{1}x\,dx=2[x^{2}/2]_{0}^{1}=1}](//restbase.wikitolearn.org/it.wikitolearn.org/v1/media/math/render/svg/f60dda2e4287c7c86542d6bd881ea4b73dff6f74)