Tema 10

Esercizio 9.39

Sia data la funzione $g:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$$g:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ con

$$g(x)=1+(x-1)^{3}$$

$$g(x)=1+(x-1)^{3}$$

calcolare le radici $a_{1},a_{2},a_{3}$$a_{1},a_{2},a_{3}$ dell'equazione $g(x)=x$$g(x)=x$. Studiare infine l'ordine e la converenza del metodo iterativo

$$x_{n+1}=g(x_{n}),\,x_{n}\in \mathbb {R} .$$

$$x_{n+1}=g(x_{n}),\,x_{n}\in \mathbb {R} .$$

 

Ricerca dei punti fissi:

$$g(x)=1+(x-1)^{3}=x$$

$$g(x)=1+(x-1)^{3}=x$$

$$1+x^{3}-3x^{2}+3x-1=x$$

$$1+x^{3}-3x^{2}+3x-1=x$$

$$x^{3}-3x^{2}+2x=0$$

$$x^{3}-3x^{2}+2x=0$$

$$x(x^{2}-3x+2)=0$$

$$x(x^{2}-3x+2)=0$$

$$x(x-2)(x-1)=0$$

$$x(x-2)(x-1)=0$$

$$a_{1}=0,\,a_{2}=1,\,a_{3}=2$$

$$a_{1}=0,\,a_{2}=1,\,a_{3}=2$$

Studio la funzione

$$g(x)=1+x^{3}-3x^{2}+3x-1=x^{3}-3x^{2}-3x$$

$$g(x)=1+x^{3}-3x^{2}+3x-1=x^{3}-3x^{2}-3x$$

$$g(0)=0$$

$$g(0)=0$$

$$x^{2}-3x+3=0$$

$$x^{2}-3x+3=0$$

$$\delta =9-12=-3<0$$

$$\delta =9-12=-3<0$$

quindi la funzione non interseca l'asse x in altri punti.

Limiti: $g\to -\infty$$g\to -\infty$ se $x\to -\infty$$x \to -\infty$ mentre $g\to +\infty$$g\to +\infty$ se $x\to +\infty$$x \to +\infty$.

Derivata prima

$$g'(x)=3x^{2}-6x+3=0$$

$$g'(x)=3x^{2}-6x+3=0$$

$$x^{2}-2x+1=(x-1)^{2}=0$$

$$x^{2}-2x+1=(x-1)^{2}=0$$

La derivata prima è sempre positiva tranne per $x=1$$x=1$ che è un punto di minimo.

$$g''(x)=6x-6$$

$$g''(x)=6x-6$$

$$6x-6>0\,\longrightarrow x>1$$

$$6x-6>0\,\longrightarrow x>1$$

Allora la funzione è concava per $x<1$$x<1$ e convessa per $x>1$$x>1$.

Convergenza:

$$g(x)=3x^{2}-6x+3,g''(x)=6x-6,\,g^{(3)}(x)=6$$

$$g(x)=3x^{2}-6x+3,g''(x)=6x-6,\,g^{(3)}(x)=6$$

$$g'(0)=3>1,\,{\hbox{non c'è convergenza}}$$

$$g'(0)=3>1,\,{\hbox{non c'è convergenza}}$$

$$g'(1)=0,\,g''(1)=0,\,g^{(3)}(1)=6\neq 0,\,{\hbox{ordine di convergenza }}3$$

$$g'(1)=0,\,g''(1)=0,\,g^{(3)}(1)=6\neq 0,\,{\hbox{ordine di convergenza }}3$$

$$g'(2)=3>1,\,{\hbox{ non c'è cnvergenza}}$$

$$g'(2)=3>1,\,{\hbox{ non c'è cnvergenza}}$$

1. Per $x_{0}<0$$x_{0}<0$, $\phi (x_{k})<x_{k}$$\phi (x_{k})<x_{k}$, ho una successione decrescente e illimitata e non si ha convergenza.
2. per $0<x_{0}<1$$0<x_{0}<1$$\phi (x_{k})>x_{k}$$\phi (x_{k})>x_{k}$ ho una successione di iterate crescente che converge a $a_{2}=1$$a_{2}=1$.
3. Per $1<x_{0}<2$$1<x_{0}<2$, $\phi '(x_{k})<x_{k}$$\phi '(x_{k})<x_{k}$, ho una successione di iterate decrescente che converge a $a_{2}=1$$a_{2}=1$.
4. per $x_{0}>2$$x_{0}>2$, $\phi (x_{k})>x_{k}$$\phi (x_{k})>x_{k}$ e ho una successione di iterate crescene e illimitata, non c'è convergenza.

Questo metodo di punto fisso serve per trovare gli zeri di $f(x)=x^{3}-3x^{2}+2x$$f(x)=x^{3}-3x^{2}+2x$. Provo ad applicare il metodo di Newton per trovare gli zeri di $f$$f$:

$$f'(x)=3x^{2}-6x+2$$

$$f'(x)=3x^{2}-6x+2$$

$$x_{k+1}=x_{k}-{\frac {f(x_{k})}{f'(x_{k})}}$$

$$x_{k+1}=x_{k}-{\frac {f(x_{k})}{f'(x_{k})}}$$

$$g(x)=x-{\frac {x^{3}-3x^{2}+2x}{3x^{2}-6x+2}}$$

$$g(x)=x-{\frac {x^{3}-3x^{2}+2x}{3x^{2}-6x+2}}$$

$$g'(x)=1-{\frac {(3x^{2}-6x+2)(3x^{2}-6x+2)-(x^{3}-3x^{2}+2x)(6x-6)}{(33x^{2}-6x+2)^{2}2}}$$

$$g'(x)=1-{\frac {(3x^{2}-6x+2)(3x^{2}-6x+2)-(x^{3}-3x^{2}+2x)(6x-6)}{(33x^{2}-6x+2)^{2}2}}$$

$$g'(x)={\frac {(x^{3}-3x^{2}+2x)(6x-6)}{(33x^{2}-6x+2)^{2}2}}$$

$$g'(x)={\frac {(x^{3}-3x^{2}+2x)(6x-6)}{(33x^{2}-6x+2)^{2}2}}$$

In questo caso si riesce ad ottenere la convergenza ad $a_{1}=0$$a_1=0$, infatti $g'(0)=0<1$$g'(0)=0<1$.

Esercizio 9.40

Sia data la funzione $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$$f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ tale che

$$f(x)={\sqrt {x-1}}+1$$

$$f(x)={\sqrt {x-1}}+1$$

e siano assegnati i punti $x_{k}=k^{2}+1,k=0,1,2$$x_{k}=k^{2}+1,k=0,1,2$.

1. Determinare il polinomio che interpola la funzione $f(x)$$f(x)$ nei nodi $x_{0},x_{1},x_{2}$$x_{0},x_{1},x_{2}$.
2. Determinare la retta che meglio approssima nel senso dei minimi quadrati i punti $(x_{k},f(x_{k}))$$(x_k,f(x_k))$, con $k=0,1,2$$k=0,1,2$.

 

Approssimazione con polinomi: i nodi sono:

$$x_{0}=0^{2}+1=1,\,f(x_{0})={\sqrt {1-1}}+1=1$$

$$x_{0}=0^{2}+1=1,\,f(x_{0})={\sqrt {1-1}}+1=1$$

$$x_{1}=1+1=2,\,f(x_{1})={\sqrt {2-1}}+1=2$$

$$x_{1}=1+1=2,\,f(x_{1})={\sqrt {2-1}}+1=2$$

$$x_{2}=2^{2}+1=5,\,f(x_{2})={\sqrt {5-1}}+1=3$$

$$x_{2}=2^{2}+1=5,\,f(x_{2})={\sqrt {5-1}}+1=3$$

Algoritmo alla Neville:

$${\begin{array}{cccc}1&1&0&0\\2&2&1&0\\5&3&1/3&-2/3*1/4=-1/6\end{array}}$$

$${\begin{array}{cccc}1&1&0&0\\2&2&1&0\\5&3&1/3&-2/3*1/4=-1/6\end{array}}$$

Polinomio interpolante:

$$p_{x}=1+(x-1)-1/6*(x-1)(x-2)$$

$$p_{x}=1+(x-1)-1/6*(x-1)(x-2)$$

$$p_{x}=x-1/6*(x^{2}-3x+2)$$

$$p_{x}=x-1/6*(x^{2}-3x+2)$$

$$p_{x}=x-1/6*x^{2}+1/2x-1/3$$

$$p_{x}=x-1/6*x^{2}+1/2x-1/3$$

$$p_{x}=-1/6*x^{2}+3/2x-1/3$$

$$p_{x}=-1/6*x^{2}+3/2x-1/3$$

Retta ai minimi quadrati:

$$C_{00}=\sum _{i=0}^{2}1=3$$

$$C_{00}=\sum _{i=0}^{2}1=3$$

$$C_{10}=C_{01}=\sum _{i=0}^{2}x_{i}=1+2+5=8$$

$$C_{10}=C_{01}=\sum _{i=0}^{2}x_{i}=1+2+5=8$$

$$C_{22}=\sum _{i=0}^{2}x_{i}^{2}=1+2^{2}+5^{2}=30$$

$$C_{22}=\sum _{i=0}^{2}x_{i}^{2}=1+2^{2}+5^{2}=30$$

$$b_{0}=\sum _{i}f(x_{i})=1+2+3=6$$

$$b_{0}=\sum _{i}f(x_{i})=1+2+3=6$$

$$b_{1}=\sum _{i}f(x_{i})*x_{i}=1*1+2*2+3*5=20$$

$$b_{1}=\sum _{i}f(x_{i})*x_{i}=1*1+2*2+3*5=20$$

Quindi ottengo il sistema

$${\begin{cases}3a_{0}+8a_{1}=6\\8a_{0}+30a_{1}=20\end{cases}}$$

$${\begin{cases}3a_{0}+8a_{1}=6\\8a_{0}+30a_{1}=20\end{cases}}$$

$${\begin{cases}24a_{0}+64a_{1}=48\\24a_{0}+90a_{1}=60\end{cases}}$$

$${\begin{cases}24a_{0}+64a_{1}=48\\24a_{0}+90a_{1}=60\end{cases}}$$

$$12a_{1}=26,\,\longrightarrow \,a_{1}=13/6$$

$$12a_{1}=26,\,\longrightarrow \,a_{1}=13/6$$

$$a_{0}=(6-8*13/6)/3=(6-4*13/3)/3=(18-52)/9=-34/9$$

$$a_{0}=(6-8*13/6)/3=(6-4*13/3)/3=(18-52)/9=-34/9$$

e la retta è

$$y=13/6x-34/9$$

$$y=13/6x-34/9$$

Esercizio 9.41

Sia data la matrice:

$$A={\begin{array}{ccc}1&1&-a\\a&1&a\\a&1&1\end{array}}$$

$$A={\begin{array}{ccc}1&1&-a\\a&1&a\\a&1&1\end{array}}$$

con $a>0$$a>0$.

1. Studiare in funzione del parametro $a$$a$ la convergenza dei metodi di Jacobi e Gauss-seidel per il sistema lineare
   $$A{\boldsymbol {x}}=f,f\in \mathbb {R} ^{3}$$

   $$A{\boldsymbol {x}}=f,f\in \mathbb {R} ^{3}$$
2. per i valori di $a$$a$ per cui entrambi i metodi convergono si dica quale converge più velocemente.

 

Metodo di Jacobi: cerco gli autovalori della matrice di iterazione.

$$A+\lambda D={\begin{array}{ccc}\lambda &1&-a\\a&\lambda &a\\a&1&\lambda \end{array}}$$

$$A+\lambda D={\begin{array}{ccc}\lambda &1&-a\\a&\lambda &a\\a&1&\lambda \end{array}}$$

$$p_{\lambda }=\lambda (\lambda ^{2}-a)-1(a\lambda -a^{2})-a(a-a\lambda )$$

$$p_{\lambda }=\lambda (\lambda ^{2}-a)-1(a\lambda -a^{2})-a(a-a\lambda )$$

$$p_{\lambda }=\lambda ^{3}-a\lambda -a\lambda +a^{2}-a^{2}+a^{2}\lambda =0$$

$$p_{\lambda }=\lambda ^{3}-a\lambda -a\lambda +a^{2}-a^{2}+a^{2}\lambda =0$$

$$p_{\lambda }=\lambda ^{3}+(a^{2}-2a)\lambda =0$$

$$p_{\lambda }=\lambda ^{3}+(a^{2}-2a)\lambda =0$$

$$\lambda _{1}=0,\,\lambda _{2}=\pm {\sqrt {2a-a^{2}}}$$

$$\lambda _{1}=0,\,\lambda _{2}=\pm {\sqrt {2a-a^{2}}}$$

Il metodo converge se

$$2a-a^{2}\geq 0,\,\longrightarrow \,a(2-a)\geq 0,\,\longrightarrow \,0\leq a\leq 2$$

$$2a-a^{2}\geq 0,\,\longrightarrow \,a(2-a)\geq 0,\,\longrightarrow \,0\leq a\leq 2$$

Il metodo di Jacobi converge se

$$|2a-a^{2}|<1$$

$$|2a-a^{2}|<1$$

$$-1<2a-a^{2}<1$$

$$-1<2a-a^{2}<1$$

$${\begin{cases}2a-a^{2}<1\\-1<2a-a^{2}\end{cases}}$$

$${\begin{cases}2a-a^{2}<1\\-1<2a-a^{2}\end{cases}}$$

Prima equazione:

$$-a^{2}+2a-1<0,\,\longrightarrow -(a-1)^{2}<0,\,\longrightarrow a\neq 1$$

$$-a^{2}+2a-1<0,\,\longrightarrow -(a-1)^{2}<0,\,\longrightarrow a\neq 1$$

$$-1<2a-a^{2},\,\longrightarrow \,a^{2}-2a-1<0$$

$$-1<2a-a^{2},\,\longrightarrow \,a^{2}-2a-1<0$$

$$a_{1,2}={\frac {2\pm {\sqrt {8}}}{2}}$$

$$a_{1,2}={\frac {2\pm {\sqrt {8}}}{2}}$$

$$a_{1,2}=1\pm {\sqrt {2}}$$

$$a_{1,2}=1\pm {\sqrt {2}}$$

$$1-{\sqrt {2}}<a<1+{\sqrt {2}}$$

$$1-{\sqrt {2}}<a<1+{\sqrt {2}}$$

Unendo le varie condizioni ottenute:

$$0<a<1+{\sqrt {2}},\,a\neq 1$$

$$0<a<1+{\sqrt {2}},\,a\neq 1$$

Matrice di iterazione del metodo di Gauss-seidel:

$$A+\lambda (D+L)={\begin{array}{ccc}\lambda &1&-a\\a\lambda &\lambda &a\\a\lambda &\lambda &\lambda \end{array}}$$

$$A+\lambda (D+L)={\begin{array}{ccc}\lambda &1&-a\\a\lambda &\lambda &a\\a\lambda &\lambda &\lambda \end{array}}$$

$$p_{\lambda }=\lambda (\lambda ^{2}-a\lambda )-1(a\lambda ^{2}-a^{2}\lambda )-a(a\lambda ^{2}-a\lambda ^{2})=0$$

$$p_{\lambda }=\lambda (\lambda ^{2}-a\lambda )-1(a\lambda ^{2}-a^{2}\lambda )-a(a\lambda ^{2}-a\lambda ^{2})=0$$

$$p_{\lambda }=\lambda ^{3}-a\lambda ^{2}-a\lambda ^{2}+a^{2}\lambda =0$$

$$p_{\lambda }=\lambda ^{3}-a\lambda ^{2}-a\lambda ^{2}+a^{2}\lambda =0$$

$$\lambda _{1}=0$$

$$\lambda _{1}=0$$

$$p_{\lambda }=\lambda ^{2}-2a\lambda +a^{2}=0$$

$$p_{\lambda }=\lambda ^{2}-2a\lambda +a^{2}=0$$

$$=(\lambda -a)^{2}=0$$

$$=(\lambda -a)^{2}=0$$

$$\lambda _{2,3}=a$$

$$\lambda _{2,3}=a$$

e il metodo converge se $|a|<1$$|a|<1$.

I valori di $a$$a$ per cui convergono entrambi i metodi sono $0<a<1$$0<a<1$, e in questo caso:

$${\sqrt {2a-a^{2}}}>a$$

$${\sqrt {2a-a^{2}}}>a$$

$$2a-a^{2}>a^{2}$$

$$2a-a^{2}>a^{2}$$

$$2a-2a^{2}>0$$

$$2a-2a^{2}>0$$

$$2a^{2}-2a<0$$

$$2a^{2}-2a<0$$

$$0<a<1$$

$$0<a<1$$

quindi il metodo di Gauss-Seidel converge più velocemente di quello di Jacobi.