Esercizio 9.39
Sia data la funzione
con

calcolare le radici

dell'equazione

. Studiare infine l'ordine e la converenza del metodo iterativo

Ricerca dei punti fissi:






Studio la funzione




quindi la funzione non interseca l'asse x in altri punti.
Limiti:
se
mentre
se
.
Derivata prima


La derivata prima è sempre positiva tranne per

che è un punto di minimo.


Allora la funzione è concava per

e convessa per

.
Convergenza:




- Per
,
, ho una successione decrescente e illimitata e non si ha convergenza.
- per

ho una successione di iterate crescente che converge a
.
- Per
,
, ho una successione di iterate decrescente che converge a
.
- per
,
e ho una successione di iterate crescene e illimitata, non c'è convergenza.
Questo metodo di punto fisso serve per trovare gli zeri di
.
Provo ad applicare il metodo di Newton per trovare gli zeri di
:





In questo caso si riesce ad ottenere la convergenza ad

, infatti

.
Esercizio 9.40
Sia data la funzione
tale che

e siano assegnati i punti

.
- Determinare il polinomio che interpola la funzione
nei nodi
.
- Determinare la retta che meglio approssima nel senso dei minimi quadrati i punti
, con
.
Approssimazione con polinomi: i nodi sono:



Algoritmo alla Neville:

Polinomio interpolante:




Retta ai minimi quadrati:





Quindi ottengo il sistema




e la retta è

Esercizio 9.41
Sia data la matrice:

con

.
- Studiare in funzione del parametro
la convergenza dei metodi di Jacobi e Gauss-seidel per il sistema lineare
- per i valori di
per cui entrambi i metodi convergono si dica quale converge più velocemente.
Metodo di Jacobi: cerco gli autovalori della matrice di iterazione.





Il metodo converge se

Il metodo di Jacobi converge se



Prima equazione:





Unendo le varie condizioni ottenute:

Matrice di iterazione del metodo di Gauss-seidel:







e il metodo converge se

.
I valori di
per cui convergono entrambi i metodi sono
, e in questo caso:





quindi il metodo di Gauss-Seidel converge più velocemente di quello di Jacobi.