Le funzioni effettivamente calcolabili sono le funzioni razionali, cioè quelle che sono date da un numero finito di operazioni
. Le funzioni non razionali vengono approssimate in qualche modo con funzioni razionali.
E' data una funzione
, e voglio calcolarne il valore in
.
Il calcolo che effettuo con il calcolatore è affetto da vari tipi di errore:
- Errore inerente
- è l'errore generato dall'errore di rappresentazione sui dati. E' connesso al
condizionamento, ed è una caratteristica della funzione da calcolare.
- Errore algoritmico
- e' generato dall'errore commesso nelle operazioni in aritmetica floating-point. E' combinazione lineare degli errori locali delle singole operazioni. E' connesso alla stabilità
- Errore analitico o di approssimazione
- è l'errore generato dall'approssimazione di
non razionale con un'opportuna funzione razionale. E' connesso alla convergenza.
Chiamo
il valore in cui voglio calcolare la funzione, di cui considero il floating
,
è la funzione effettivamente calcolata.
Valore da calcolare:
, valore effettivamente calcolato:
.
Supponiamo di avere
, e
funzione razionale tale che
e
.
Voglio frammentare l'errore (relativo) totale
in diversi tipi di errori:
- errore inerente:
. Si assume che
sia calcolata esattamente, e si considera solo l'errore dipendente dalla rappresentazione dei dati.
- errore algoritmico: misura l'errore generato dall'uso di
al posto di
, calcolate nel floating di
. La sua espressione è
Vale il seguente teorema:
Teorema 1.3
L'errore totale è uguale a
, e al primo ordine è uguale a
. Inoltre

con

Dimostrazione






cvd
Suppongo di avere
, una funzione
non razionale che viene approssimata con una funzione
razionale, e
è la funzione effettivamente calcolata.

si frammenta in:
- errore analitico: dipende dal fatto di usare
al posto di
, e ha espressione 
- errore inerente:

- errore algoritmico:

Teorema 1.4
L'errore totale al primo ordine è dato da

con
Dimostrazione




![{\displaystyle =(e_{alg}+1)[{\frac {g(\mathrm {fl} (x))}{f(\mathrm {fl} (x))}}*{\frac {f(\mathrm {fl} (x))}{f(x)}}]-1}](//restbase.wikitolearn.org/it.wikitolearn.org/v1/media/math/render/svg/33c2cd2c310dabf0157b79ba9d88924658314926)


![{\displaystyle =(e_{alg}+1)(e_{in}+1)[{\frac {g(\mathrm {fl} (x))-f(\mathrm {fl} (x))}{f(\mathrm {fl} (x))}}+1]-1}](//restbase.wikitolearn.org/it.wikitolearn.org/v1/media/math/render/svg/ad94ab18a0fb5660f607acb48a8ad5a8760cb99a)

Al primo ordine

cvd
Se
e
differiscono di un termine del secondo ordine, allora vale il risultato con il vero errore analitico.