Teoria dell'errore nella sua generalità

Calcolo del valore di una funzione

Le funzioni effettivamente calcolabili sono le funzioni razionali, cioè quelle che sono date da un numero finito di operazioni $+,-,*,/$$+,-,*,/$. Le funzioni non razionali vengono approssimate in qualche modo con funzioni razionali. E' data una funzione $f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$$f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$, e voglio calcolarne il valore in $x$$x$.

Il calcolo che effettuo con il calcolatore è affetto da vari tipi di errore:

Errore inerente

è l'errore generato dall'errore di rappresentazione sui dati. E' connesso al

condizionamento, ed è una caratteristica della funzione da calcolare.

Errore algoritmico

e' generato dall'errore commesso nelle operazioni in aritmetica floating-point. E' combinazione lineare degli errori locali delle singole operazioni. E' connesso alla stabilità

Errore analitico o di approssimazione

è l'errore generato dall'approssimazione di $f$$f$ non razionale con un'opportuna funzione razionale. E' connesso alla convergenza.

Funzioni razionali

Chiamo $x$$x$ il valore in cui voglio calcolare la funzione, di cui considero il floating $\mathrm {fl} (x)$$\mathrm {fl} (x)$, $\psi$$\psi$ è la funzione effettivamente calcolata. Valore da calcolare: $f(x)$$f(x)$, valore effettivamente calcolato: $\psi (\mathrm {fl} (x))$$\psi (\mathrm {fl} (x))$.

Supponiamo di avere $x\neq 0$$x \neq 0$, e $f$$f$ funzione razionale tale che $f(x)\neq 0$$f(x)\neq 0$ e $f(\mathrm {fl} (x))\neq 0$$f(\mathrm {fl} (x))\neq 0$. Voglio frammentare l'errore (relativo) totale ${\frac {\psi (\mathrm {fl} (x))-f(x)}{f(x)}}$${\frac {\psi (\mathrm {fl} (x))-f(x)}{f(x)}}$ in diversi tipi di errori:

1. errore inerente: $e_{in}={\frac {f(\mathrm {fl} (x))-f(x)}{f(x)}}$$e_{in}={\frac {f(\mathrm {fl} (x))-f(x)}{f(x)}}$. Si assume che $f$$f$ sia calcolata esattamente, e si considera solo l'errore dipendente dalla rappresentazione dei dati.
2. errore algoritmico: misura l'errore generato dall'uso di $\psi$$\psi$ al posto di $f$$f$, calcolate nel floating di $x$$x$. La sua espressione è$e_{alg}={\frac {\psi (\mathrm {fl} (x))-f(\mathrm {fl} (x))}{f(\mathrm {fl} (x))}}$$e_{alg}={\frac {\psi (\mathrm {fl} (x))-f(\mathrm {fl} (x))}{f(\mathrm {fl} (x))}}$

Vale il seguente teorema:

Teorema 1.3

L'errore totale è uguale a $e_{alg}(1+e_{in})+e_{in}$$e_{alg}(1+e_{in})+e_{in}$, e al primo ordine è uguale a $e_{alg}+e_{in}$$e_{alg}+e_{in}$. Inoltre

$$e_{in}=\sum _{i=1}^{n}c_{i}\varepsilon _{x_{i}},\quad ,\,c_{i}={\frac {x_{i}}{f(x)}}*{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}$$

$$e_{in}=\sum _{i=1}^{n}c_{i}\varepsilon _{x_{i}},\quad ,\,c_{i}={\frac {x_{i}}{f(x)}}*{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}$$

con

$$|\varepsilon _{x_{i}}|<u$$

$$|\varepsilon _{x_{i}}|<u$$

 

Dimostrazione

$$E_{r}={\frac {\psi (\mathrm {fl} (x))-f(x)}{f(x)}}$$

$$E_{r}={\frac {\psi (\mathrm {fl} (x))-f(x)}{f(x)}}$$

$$={\frac {\psi (\mathrm {fl} (x))}{f(x)}}-1$$

$$={\frac {\psi (\mathrm {fl} (x))}{f(x)}}-1$$

$$={\frac {\psi (\mathrm {fl} (x))}{f(\mathrm {fl} (x))}}*{\frac {f(\mathrm {fl} (x))}{f(x)}}-1$$

$$={\frac {\psi (\mathrm {fl} (x))}{f(\mathrm {fl} (x))}}*{\frac {f(\mathrm {fl} (x))}{f(x)}}-1$$

$$=(E_{alg}+1)*(e_{in}+1)-1$$

$$=(E_{alg}+1)*(e_{in}+1)-1$$

$$e_{alg}+e_{in}+e_{alg}e_{in}+1-1$$

$$e_{alg}+e_{in}+e_{alg}e_{in}+1-1$$

$$=e_{alg}(1+e_{in})+e_{in}$$

$$=e_{alg}(1+e_{in})+e_{in}$$

cvd

 

Caso generale funzione non razionale

Suppongo di avere $x\neq 0$$x \neq 0$, una funzione $f$$f$ non razionale che viene approssimata con una funzione $g$$g$ razionale, e $\psi (\mathrm {fl} (x))$$\psi (\mathrm {fl} (x))$ è la funzione effettivamente calcolata.

$$E_{r}={\frac {\psi (\mathrm {fl} (x))-f(x)}{f(x)}}$$

$$E_{r}={\frac {\psi (\mathrm {fl} (x))-f(x)}{f(x)}}$$

si frammenta in:

1. errore analitico: dipende dal fatto di usare $g$$g$ al posto di $f$$f$, e ha espressione $e_{an}={\frac {g(x)-f(x)}{f(x)}}$$e_{an}={\frac {g(x)-f(x)}{f(x)}}$
2. errore inerente: $e_{in}={\frac {f(\mathrm {fl} (x))-f(x)}{f(x)}}$$e_{in}={\frac {f(\mathrm {fl} (x))-f(x)}{f(x)}}$
3. errore algoritmico: $E_{alg}={\frac {\psi (\mathrm {fl} (x))-g(\mathrm {fl} (x))}{g(\mathrm {fl} (x))}}$$E_{alg}={\frac {\psi (\mathrm {fl} (x))-g(\mathrm {fl} (x))}{g(\mathrm {fl} (x))}}$

Teorema 1.4

L'errore totale al primo ordine è dato da

$$e_{in}+e_{alg}+e_{an,\mathrm {fl} (x)}$$

$$e_{in}+e_{alg}+e_{an,\mathrm {fl} (x)}$$

con $e_{an,\mathrm {fl} (x)}={\frac {g(\mathrm {fl} (x))-f(\mathrm {fl} (x))}{f(\mathrm {fl} (x))}}$$e_{an,\mathrm {fl} (x)}={\frac {g(\mathrm {fl} (x))-f(\mathrm {fl} (x))}{f(\mathrm {fl} (x))}}$

 

Dimostrazione

$$e_{r}={\frac {\psi (\mathrm {fl} (x))-f(x)}{f(x)}}$$

$$e_{r}={\frac {\psi (\mathrm {fl} (x))-f(x)}{f(x)}}$$

$$={\frac {\psi (\mathrm {fl} (x))}{f(x)}}-1$$

$$={\frac {\psi (\mathrm {fl} (x))}{f(x)}}-1$$

$$={\frac {\psi (\mathrm {fl} (x))}{g(\mathrm {fl} (x))}}*{\frac {g(\mathrm {fl} (x))}{f(x)}}-1$$

$$={\frac {\psi (\mathrm {fl} (x))}{g(\mathrm {fl} (x))}}*{\frac {g(\mathrm {fl} (x))}{f(x)}}-1$$

$$=(e_{alg}+1){\frac {g(\mathrm {fl} (x))}{f(x)}}-1$$

$$=(e_{alg}+1){\frac {g(\mathrm {fl} (x))}{f(x)}}-1$$

$$=(e_{alg}+1)[{\frac {g(\mathrm {fl} (x))}{f(\mathrm {fl} (x))}}*{\frac {f(\mathrm {fl} (x))}{f(x)}}]-1$$

$$=(e_{alg}+1)[{\frac {g(\mathrm {fl} (x))}{f(\mathrm {fl} (x))}}*{\frac {f(\mathrm {fl} (x))}{f(x)}}]-1$$

$$=(e_{alg}+1)(e_{in}+1){\frac {g(\mathrm {fl} (x))}{f(\mathrm {fl} (x))}}-1$$

$$=(e_{alg}+1)(e_{in}+1){\frac {g(\mathrm {fl} (x))}{f(\mathrm {fl} (x))}}-1$$

$$=(e_{alg}+1)(e_{in}+1){\frac {g(\mathrm {fl} (x))-f(\mathrm {fl} (x))+f(\mathrm {fl} (x))}{f(\mathrm {fl} (x))}}-1$$

$$=(e_{alg}+1)(e_{in}+1){\frac {g(\mathrm {fl} (x))-f(\mathrm {fl} (x))+f(\mathrm {fl} (x))}{f(\mathrm {fl} (x))}}-1$$

$$=(e_{alg}+1)(e_{in}+1)[{\frac {g(\mathrm {fl} (x))-f(\mathrm {fl} (x))}{f(\mathrm {fl} (x))}}+1]-1$$

$$=(e_{alg}+1)(e_{in}+1)[{\frac {g(\mathrm {fl} (x))-f(\mathrm {fl} (x))}{f(\mathrm {fl} (x))}}+1]-1$$

$$=(e_{alg}+1)(e_{in}+1)(e_{an,\mathrm {fl} (x)}+1)-1$$

$$=(e_{alg}+1)(e_{in}+1)(e_{an,\mathrm {fl} (x)}+1)-1$$

Al primo ordine

$$e_{alg}+e_{in}+e_{an,\mathrm {fl} (x)}$$

$$e_{alg}+e_{in}+e_{an,\mathrm {fl} (x)}$$

cvd

 

Se $e_{an,x}$$e_{an,x}$ e $e_{an,\mathrm {fl} (x)}$$e_{an,\mathrm {fl} (x)}$ differiscono di un termine del secondo ordine, allora vale il risultato con il vero errore analitico.