Comportamento dell'errore algoritmico e dell'errore analitico
Data una funzione non razionale, l'errore totale al primo ordine è .
Se ho una funzione non razionale, si ha . Ci si aspetta che per crescente, l'errore analitico si riduca. Invece, per crescente, aumenta.
grafico: Supponiamo di avere un grafico con in ascissa e l'errore in ordinata. L'errore analitico è rappresentato da una curva che decresce, viceversa l'errore algoritmico è una curva crescente. Osservo che ho un valore per cui ho la situazione migliore possibile, cioè il polinomio è un'approssimazione sufficientemente buona della funzione, e l'errore algoritmico non è ancora troppo elevato (punto di bilanciamento). La curva complessiva dell'errore relativo (somma di errore algoritmico e analitico) ha una forma di V, raggiunge una cuspide () e poi risale. Infatti inizialmente, si aumenta per ridurre l'errore analitico, ma l'aumentare di provoca l'aumentare dell'errore algoritmico, e quindi non si riesce ad ottenere una riduzione soddisfacente dell'errore.Esempio 1.8
Consideriamo l'esempio di approssimazione della derivata prima con il rapporto incrementale.
o con il rapporto incrementale centrato:
Grafico: rappresento sull'asse delle ascisse, e in ordinata l'errore relativo (trascuriamo l'errore inerente).
Al decrescere di , l'errore algoritmico aumenta, e i risultati guadagnati riducendo non portano vantaggi.
Considerando invece il rapporto incrementale centrato, si ha un miglioramento, ma anche in questo caso, al diminuire di , l'errore analitico diminuisce ma a partire da un certo punto l'errore algoritmico aumenta e deteriora il risultato.
Conclusione importante: Su un calcolatore, non vale la regola che più fine è l'approssimazione, più l'errore si riduce.