Comportamento dell'errore algoritmico e dell'errore analitico

Data una funzione $f$ $f$ non razionale, l'errore totale al primo ordine è $E_{alg}+E_{an}+E_{in}$ $E_{alg}+E_{an}+E_{in}$ .

Se ho una funzione non razionale, si ha $E_{an}\neq 0$ $E_{an}\neq 0$ . Ci si aspetta che per $n$ $n$ crescente, l'errore analitico si riduca. Invece, per $n$ $n$ crescente, $E_{alg}$ $E_{alg}$ aumenta.

grafico: Supponiamo di avere un grafico con

n

in ascissa e l'errore in ordinata. L'errore analitico è rappresentato da una curva che decresce, viceversa l'errore algoritmico è una curva crescente. Osservo che ho un valore

n_{0}

per cui ho la situazione migliore possibile, cioè il polinomio è un'approssimazione sufficientemente buona della funzione, e l'errore algoritmico non è ancora troppo elevato (punto di bilanciamento). La curva complessiva dell'errore relativo (somma di errore algoritmico e analitico) ha una forma di V, raggiunge una cuspide (

n_{0}

) e poi risale. Infatti inizialmente, si aumenta

n

per ridurre l'errore analitico, ma l'aumentare di

n

provoca l'aumentare dell'errore algoritmico, e quindi non si riesce ad ottenere una riduzione soddisfacente dell'errore.

Esempio 1.8

Consideriamo l'esempio di approssimazione della derivata prima con il rapporto incrementale.

f'(x)={\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}+o(h)

o con il rapporto incrementale centrato:

f'(x)={\frac {f(x+h)-f(x-h)}{2h}}+o(h^{2})

Grafico: rappresento

h

sull'asse delle ascisse, e in ordinata l'errore relativo (trascuriamo l'errore inerente). Al decrescere di

h

, l'errore algoritmico aumenta, e i risultati guadagnati riducendo

h

non portano vantaggi. Considerando invece il rapporto incrementale centrato, si ha un miglioramento, ma anche in questo caso, al diminuire di

h

, l'errore analitico diminuisce ma a partire da un certo punto l'errore algoritmico aumenta e deteriora il risultato.

Conclusione importante: Su un calcolatore, non vale la regola che più fine è l'approssimazione, più l'errore si riduce.