Proprietà dell'integrale definito e funzioni integrabili

Dopo aver definito l'integrale come somma di aree, è bene elencarne alcune proprietà e discutere quali funzioni siano integrabili o meno.

Enunciamo un Lemma necessario alla dimostrazione del successivo teorema.

Lemma

Sia un raffinamento della partizione , ossia . Allora:

 

Questo lemma esprime il fatto che rendendo più fine la partizione (ossia suddividendo in un maggior numero di intervallini, che quindi diventano sempre più piccoli), la somma superiore relativa alla partizione più fine è un po' minore di quella relativa alla partizione meno fine e viceversa la somma inferiore relativa alla partizione più fine è un po' più grande della somma inferiore relativa alla partizione meno fine. La differenza tra il valore dell'area calcolata per eccesso (somme superiori) e per difetto (somme inferiori) diventa quindi sempre più piccola.

Teorema

Sia una funzione limitata. Allora f è integrabile , di t.c.

 


Dimostrazione

Dimostriamo innanzitutto .

Sia f integrabile su . Allora, per definizione di integrabilità, , dove . Definiamo:

Fissato un ,per definizione di estremo superiore e inferiore
Scelta ora , si ha che quindi per il Lemma vale che
e dunque
Poichè f è integrabile e quindi

Dimostriamo ora .

Valga quindi che di t.c. . Allora poichè

si ha:
Per l'arbitrarietà di si ha , ossia f è integrabile.

 

Ovvero è possibile creare una partizione dell'intervallo tale che la somma inferiore e la somma superiore differiscano al più ε.

Definizione (Convenzioni)

 


Teorema (linearità dell'integrale)

Dato un intervallo e f,g limitate e integrabili su tale intervallo, è integrabile e

 
Teorema (Monotonia dell'integrale)

Dato un intervallo e f,g limitate e integrabili su tale intervallo, si ha che:

 
Teorema (Additività dell'integrale)

si ha che:

 
Teorema

Siano due funzioni limitate e integrabili, allora:

  1. è integrabile.
  2. è integrabile.
  3. sono integrabili.
  4. è integrabile.
 


Il punto 5 è conseguenza di una disuguaglianza triangolare.

Ora che abbiamo descritto i comportamenti più importanti dell'integrale, passiamo all'analizzare quali tipi di funzioni sono integrabili.

Teorema

Sia Allora:

  1. Se una funzione continua è integrabile [1]
    • Se una funzione lipschitziana è integrabile.
  2. Se una funzione monotona [2] è integrabile.
  3. Se è limitata e ha un numero finito di discontinuità in è integrabile.
    • Se una funzione a scala è integrabile.
 
  1. non è necessario specificare che f sia anche limitata perchè essendo continua su un compatto per Weierstrass è limitata.
  2. una funzione monotona in è necessariamente limitata.
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