Proprietà dell'integrale definito e funzioni integrabili

Dopo aver definito l'integrale come somma di aree, è bene elencarne alcune proprietà e discutere quali funzioni siano integrabili o meno.

Enunciamo un Lemma necessario alla dimostrazione del successivo teorema.

Lemma

Sia $P^{*}$$P^{*}$ un raffinamento della partizione $P$$P$, ossia $P^{*}{\mbox{partizione t.c}}P^{*}\supset P$$P^{*} \mbox{partizione t.c} P^{*} \supset P$. Allora:

$$s(f,P)\leq s(f,P^{*}),\quad S(f,P)\geq S(f,P^{*})\ .$$

$$s(f,P) \le s(f,P^{*}), \quad S(f,P) \ge S(f,P^{*}) \ .$$

 

Questo lemma esprime il fatto che rendendo più fine la partizione (ossia suddividendo $\left[a,b\right]$$\left[a,b\right]$ in un maggior numero di intervallini, che quindi diventano sempre più piccoli), la somma superiore relativa alla partizione più fine è un po' minore di quella relativa alla partizione meno fine e viceversa la somma inferiore relativa alla partizione più fine è un po' più grande della somma inferiore relativa alla partizione meno fine. La differenza tra il valore dell'area calcolata per eccesso (somme superiori) e per difetto (somme inferiori) diventa quindi sempre più piccola.

Teorema

Sia $f:[a,b]\to \mathbb {R}$$f:[a,b]\to \mathbb{R}$ una funzione limitata. Allora f è integrabile $\Leftrightarrow$$\Leftrightarrow$, $\forall \epsilon >0$$\forall \epsilon >0$ $\exists P_{\epsilon }$$\exists P_{\epsilon}$ di $[a,b]$$[a,b]$ t.c. $0\leq S(f,P)-s(f,P)<\epsilon \ .$$0 \leq S(f,P)-s(f,P)<\epsilon \ .$

 

Dimostrazione

Dimostriamo innanzitutto $\Rightarrow$$\Rightarrow$.

Sia f integrabile su $\left[a,b\right]$$\left[a,b\right]$. Allora, per definizione di integrabilità, $sup_{P}s(f,P)=\alpha =\inf _{P}S(f,P)$$sup_{P}s(f,P)=\alpha=\inf_{P}S(f,P)$, dove $\alpha =:\int _{a}^{b}f(x)dx$$\alpha =:\int_{a}^{b} f(x)dx$. Definiamo:

$${\begin{cases}I_{1}=\sup _{P}s(f,P)\\I_{2}=\inf _{P}S(f,P)\\\end{cases}}$$

$$\begin{cases} I_1 = \sup_{P}s(f,P) \\ I_2 = \inf_{P}S(f,P) \\ \end{cases}$$

Fissato un $\epsilon$$\epsilon$ ,per definizione di estremo superiore e inferiore $\exists P_{1},P_{2}t.c$$\exists P_1, P_2 t.c$

$$I_{1}-{\frac {\epsilon }{2}}<s(f,P_{1})\leq I_{1}\leq I_{2}\leq S(f,P_{2})<I_{2}+{\frac {\epsilon }{2}}\ .$$

$$I_1 -\frac{\epsilon}{2} < s(f,P_1) \le I_1 \le I_2 \le S(f,P_2) < I_2 + \frac{\epsilon}{2} \ .$$

Scelta ora $P^{*}=P_{1}\cup P_{2}$$P^{*} = P_1 \cup P_2$, si ha che $P^{*}\supset P_{1},P^{*}\supset P_{2}$$P^{*} \supset P_1 , P^{*} \supset P_2$ quindi per il Lemma vale che

$$I_{1}-{\frac {\epsilon }{2}}<s(f,P^{*})\leq I_{1}\leq I_{2}\leq S(f,P^{*})<I_{2}+{\frac {\epsilon }{2}}$$

$$I_1 -\frac{\epsilon}{2} < s(f,P^{*}) \le I_1 \le I_2 \le S(f,P^{*}) < I_2 + \frac{\epsilon}{2}$$

e dunque

$$S(f,P^{*})-s(f,P^{*})<I_{2}-I_{1}+\epsilon \ .$$

$$S(f,P^{*}) - s(f,P^{*}) < I_2 -I_1 + \epsilon \ .$$

Poichè f è integrabile $I_{1}=I_{2}$$I_1 = I_2$ e quindi

$$S(f,P^{*})-s(f,P^{*})<\epsilon \ .$$

$$S(f,P^{*}) - s(f,P^{*}) < \epsilon \ .$$

Dimostriamo ora $\Leftarrow$$\Leftarrow$.

Valga quindi che $\forall \epsilon >0$$\forall \epsilon >0$ $\exists P_{\epsilon }$$\exists P_{\epsilon}$ di $[a,b]$$[a,b]$ t.c. $0\leq S(f,P)-s(f,P)<\epsilon$$0 \le S(f,P)-s(f,P)<\epsilon$. Allora poichè

$$s(f,P^{*})\leq I_{1}\leq I_{2}\leq S(f,P^{*})$$

$$s(f,P^{*}) \le I_1 \le I_2 \le S(f,P^{*})$$

si ha:

$$0\leq I_{2}-I_{1}<S(f,P^{*})-s(f,P^{*})<\epsilon \ .$$

$$0 \le I_2 - I_1 < S(f,P^{*}) -s(f,P^{*}) < \epsilon \ .$$

Per l'arbitrarietà di $\epsilon$$\epsilon$ si ha $I_{1}=I_{2}$$I_1 = I_2$, ossia f è integrabile.

 

Ovvero è possibile creare una partizione dell'intervallo tale che la somma inferiore e la somma superiore differiscano al più ε.

Definizione (Convenzioni)

$$\int _{a}^{a}f(x)dx=0\ ,$$

$$\int_{a}^{a} f(x)dx=0 \ ,$$

$$\int _{a}^{b}f(x)dx=-\int _{b}^{a}f(x)dx\ .$$

$$\int_{a}^{b}f(x)dx = -\int_{b}^{a}f(x)dx \ .$$

 

Teorema (linearità dell'integrale)

Dato un intervallo $\left[a,b\right]$$\left[a,b\right]$ e f,g limitate e integrabili su tale intervallo, $\forall \alpha ,\beta \in \mathbb {R} \quad \alpha f+\beta g$$\forall \alpha, \beta \in \mathbb{R} \quad \alpha f+\beta g$ è integrabile e $\int _{a}^{b}(\alpha f(x)+\beta g(x))\,dx=\alpha \int _{a}^{b}f(x)\,dx+\beta \int _{a}^{b}g(x)\,dx\ .$$\int_{a}^{b}(\alpha f(x) + \beta g(x))\,dx = \alpha \int_{a}^{b} f(x)\,dx + \beta \int_{a}^{b} g(x)\,dx \ .$

 

Teorema (Monotonia dell'integrale)

Dato un intervallo $\left[a,b\right]$$\left[a,b\right]$ e f,g limitate e integrabili su tale intervallo, si ha che:

$$f(x)\leq g(x)\forall x\in \left[a,b\right]\Rightarrow \int _{a}^{b}f(x)\,dx\leq \int _{a}^{b}g(x)\,dx\ .$$

$$f(x) \leq g(x) \forall x \in \left[a,b\right] \Rightarrow \int_{a}^{b} f(x)\,dx \leq \int_{a}^{b} g(x)\,dx \ .$$

 

Teorema (Additività dell'integrale)

$\forall a,b,c\in R\$$\forall a,b,c \in R \$ si ha che:

$$\int _{a}^{b}f(x)\,dx=\int _{a}^{c}f(x)\,dx+\int _{c}^{b}f(x)\,dx\ .$$

$$\int_{a}^{b}f(x)\,dx = \int_{a}^{c} f(x)\,dx + \int_{c}^{b} f(x)\,dx \ .$$

 

Teorema

Siano $f,g:[a,b]\to \mathbb {R}$$f,g:[a,b]\to \mathbb{R}$ due funzioni limitate e integrabili, allora:

1. $f\cdot g$$f\cdot g$ è integrabile.
2. $|f|$$|f|$ è integrabile.
3. $\max[f,g],\min[f,g]$$\max [f,g], \min [f,g]$ sono integrabili.
4. $f[g(x)]$$f[g(x)]$ è integrabile.
5. $\left|\int _{a}^{b}f(x)\,dx\right|\leq \int _{a}^{b}\left|f(x)\,dx\right|\ .$$\left|\int_{a}^{b} f(x)\,dx\right| \leq \int_{a}^{b} \left|f(x)\,dx\right| \ .$

 

Il punto 5 è conseguenza di una disuguaglianza triangolare.

Ora che abbiamo descritto i comportamenti più importanti dell'integrale, passiamo all'analizzare quali tipi di funzioni sono integrabili.

Teorema

Sia $f(x):[a,b]\to \mathbb {R} \ .$$f(x):[a,b]\to \mathbb{R} \ .$ Allora:

1. Se $f(x)$$f(x)$ una funzione continua $\Rightarrow$$\Rightarrow$ $f(x)$$f(x)$ è integrabile
   • Se $f(x)$$f(x)$ una funzione lipschitziana $\Rightarrow$$\Rightarrow$ $f(x)$$f(x)$ è integrabile.
2. Se $f(x)$$f(x)$ una funzione monotona $\Rightarrow$$\Rightarrow$ $f(x)$$f(x)$ è integrabile.
3. Se $f(x)$$f(x)$ è limitata e ha un numero finito di discontinuità in $\left[a,b\right]$$\left[a,b\right]$ $\Rightarrow$$\Rightarrow$ $f(x)$$f(x)$ è integrabile.
   • Se $f(x)$$f(x)$ una funzione a scala $\Rightarrow$$\Rightarrow$ $f(x)$$f(x)$ è integrabile.