L'integrale definito come somma di aree

Il calcolo integrale si pone come obiettivo quello di riuscire a calcolare aree dei sottografici di funzioni, anche quelle la cui area non è nota.

Un esempio di funzione la cui area è facilmente calcolabile è , con . La funzione è infatti una retta passante per l'origine e il calcolo dell'area (per esempio tra 0 e 3) si riduce a calcolare l'area di un triangolo o di un trapezio, a seconda dell'intervallo considerato.

La maggior parte delle volte, però, si ha a che fare con funzioni che definiscono una regione la cui area non è calcolabile con metodi geometrici. Per esempio, volendo calcolare l'area della funzione tra , non abbiamo metodo noto per procedere. Un buono modo per procedere al calcolo dell'area è quello di approssimarla a somma di aree di rettangoli. Diamo le seguenti definizioni.

Definizione (partizione)

Preso un intervallo [a,b], una partizione di [a,b] è un insieme del tipo

con

 


Un partizione è, in parole semplici, una divisione dell' intervallo considerato in piccoli intervallini, di lunghezza non necessariamente uguale. L'utilità di una partizione diventa chiara dopo aver definito i seguenti termini.

Definizione

Sia una funzione limitata; sia P una partizione di . Definiamo:

 


Presa una partizione dell'intervallo, si assume α come l'estremo inferiore e β come l'estremo superiore della funzione nell'intervallino i-esimo. Diviene quindi chiaro che , che è chiamata somma inferiore di f relativa alla partizione P e , chiamata somma superiore di f relativa alla partizione P sono, rispettivamente, la somma delle aree dei rettangoli con base uguale alla lunghezza dell'intervallino e altezza estremo inferiore (per somma inferiore) o superiore (per somma superiore) di nell'intervallino considerato, e approssimano per difetto e per eccesso l'area della regione sottesa dal grafico della funzione. Risulta chiaro che il valore della somma superiore e della somma inferiore dipende dalla partizione scelta e che più la partizione è fitta, più le due somme assumono valori sempre più vicini. In generale, quando il , calcolato su tutte le possibili partizioni, viene a coincidere con , sempre calcolato su tutte le possibili partizioni, le due somme si eguagliano, fornendo esattamente l'area del sottografico della funzione.

L'immagine seguente chiarifica quanto descritto. L'intervallo è stato suddiviso in tanti intervallini di ampiezza , ciascuno dei quali costituisce la base di due rettangoli, uno che approssima l'area per difetto (arancione) e ha altezza pari al minimo della funzione sull'intervallino, e uno che approssima l'area per eccesso (viola) e ha altezza pari al massimo della funzione sull'intervallino. La somma dei rettangoli arancioni costituisce la somma inferiore e la somma dei rettangoli viola costituisce la somma superiore .

Riemann Integral mit Obersumme und Untersumme.svg

Osservazione: Come vedremo in dettaglio successivamente, non è richiesto che la funzione sia continua per essere integrabile

Definizione (integrabilità secondo Riemann)

è limitata; allora si dice integrabile (Riemann) se:

e il valore comune
si dice integrale da a a b di f(x) in de x.

 
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