Integrali impropri

Nella definizione di integrale di Riemann sono state poste due ipotesi fondamentali :

  • una funzione, per essere integrabile, deve essere limitata.
  • L'intervallo di definizione e di integrazione è un compatto, ossia chiuso e limitato.

Tuttavia, è possibile estendere la teoria di integrazione secondo Riemann a funzioni illimitate ovvero che tendono a in uno o più punti, o a intervalli illimitati, ad esempio . Si capisce che, mentre per funzioni limitate su un compatto si poteva garantire la convergenza dell'integrale, ossia la finitezza dell'area sottesa dalla curva, per funzioni illimitate o intervalli illimitati tale risultato non è più assicurato.

La teoria che studia le proprietà dell'integrazione per aree "infinite" si chiama integrazione impropria, e si occupa di due casi particolari del calcolo integrale: quando la funzione tende a o quando è l'intervallo a farlo. Li studieremo separatamente.

Caso 1: funzione illimitata

Prendiamo in analisi tutte quelle funzioni tali che:

Osserviamo subito che, qualunque partizione dell intervallo di definizione contiene ; la soluzione è separare il punto in cui la funzione esplode dall'intervallo, ovvero modificare il dominio come segue:

Ovvero eliminando un intorno di dal dominio. A questo, se esiste ed è limitato
Diremo che è integrabile in senso improprio su

Caso 2: intervallo di integrazione illimitato

Qui, invece, prendiamo in analisi gli integrali definiti il cui intervallo è illimitato; come prima, la soluzione è passare al limite, quindi:

Come prima, se esiste ed è finito il limite, diremo che è integrabile in senso improprio in un intervallo illimitato.

È importante dare esempi di quanto abbiamo detto finora; come funzione cavia prenderemo , nel caso in . Osserviamo che la funzione è illimitata in , quindi si presta al caso 1. Calcoliamo l'integrale tra :

Dobbiamo quindi discutere due casi:

L'osservazione chiave da fare qui è che, se , l'integrale diverge a e la funzione non è integrabile; necessariamente, quindi, . Ma se , avrei un termine in al numeratore che, come prime, fa divergere l'integrale; per avere quindi un valore limitato dell'integrale devo necessariamente avere che per la funzione esaminata.

Per analizzare il caso 2, prendiamo in esame la stessa funzione, prendendo come intervallo di integrazione . Poiché l'intervallo riguarda valori dell'incognita solo positivi, possiamo eliminare il modulo.

Come prima, studiamo i due casi:

Si osservi che, esattamente come prima, per avere un integrale limitato si deve necessariamente avere .

Intuitivamente, nel caso di integrali definiti su intervallo illimitato si è portati a dire che la funzione deve diventare infinitesima all'infinito. Ma non è necessariamente vero: non è la funzione a dover essere infinitesima, bensì il sottografico di essa.

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