Introduzione

In questa sezione vedremo come applicare la teoria appena sviluppata per le funzioni polidrome e i teoremi enunciati, ai fini del calcolo di integraliCi riferiamo principalmente a integrali reali, dato che quelli complessi sono quasi sempre calcolabili grazie al teorema dei residui..

Innanzi tutto dimostriamo il seguente risultato che, unito al teorema dei residui, permette di calcolare la maggior parte degli integrali in :

Ricordiamo che con si indica il simbolo di Kronecker.

Teorema

 


Dimostrazione

Parametrizziamo il cammino nella maniera seguente: , con Sicchè, l'integrale di partenza si può riscrivere come:

Ora possiamo distinguere due casi:

-Se l'integrale proposto è nullo, dal momento che

-Se si ha che

Possiamo dunque concludere che:

 


Il risultato a cui si è giunti è di fonamentale importanza, dal momento che ci permette di concludere che qualsiasi integrale della forma di è direttamente valutabile, indipendentemente dall'ampiezza del percorso di integrazione. Ovvero, si può asserire che , uniformemente in .

Ricapitolando, sino ad ora abbiamo dato le fondamenta teoriche per il calcolo di integrali di funzioni complesse lungo cammini chiusi; in particolare si è visto che utilizzando la formula integrale di Cauchy generalizzata, il teorema dei residui e il risultato notevole (1.16) è possibile semplificare di molto i calcoli.

Vediamo ora come è possibile sfruttare parte dei risultati dell'analisi complessa per il calcolo di integrali in campo reale: si è già dato un accenno di quanto sia possibile fare in tal senso laddove si è discusso il lemma di Jordan.

  1. Integrali della forma

ove

rapporto tra polinomi con

Si estende la funzione in campo complesso e valuta l'integrale , ove è il cammino chiuso definito dall'unione del tratto sull'asse e della semicirconferenza centrata nell'origine e avente raggio A patto di verificare che , si può concludere che

Oppure, più precisamente:

In maniera analoga, ovvero usando lo stesso percorso di integrazione, si calcolano gli integrali del tipo

In particolare è necessario estendere la funzione integranda al campo complesso, sfruttare il lemma di Jordan per poter concludere che

e applicare il teorema dei residui per valutare In realtà per integrali di questo tipo è bene tenere presente che dunque sarà necessario, ai fini della scelta di , distinguere il caso da quello . Come regola generale si può prendere la seguenteIn realtà questa convenzione diviene del tutto arbitraria nel momento in cui si valuta con attenzione ciò che si sta facendo. Come regola ancor più precisa si potrebbe prendere la seguente: si chiuda in maniera tale che la parte reale dell'esponenziale vada a zero per .: se si chiude il semicerchio nel semipiano superiore, se lo si chiude nel semipiano inferiore.

  1. Caso particolare, l'integrale

Si estenda la funzione integranda a , così da ottenere . Dalla teoria sappiamo che ora è necessario trovare un cammino chiuso lungo cui integrare per passare poi al limite e ottenere l'integrale di partenza. Pertanto sia come da figura:

Cammino chiuso lungo cui valutare .


Volendo ora valutare l'integrale di partenza, esteso al campo complesso, lungo il cammino chiuso si ottiene che:

Dal lemma di Jordan si può concludere che In maniera analoga è possibile osservare che anche il limite per di tende a zero. Rimane dunque che:

Si tenga presente che la funzione , come si è già osservato, è una funzione polidroma pertanto la quantità tra parentesi, o meglio il suo limite per e , tende esattamente a . Abbiamo così ottenuto che

  1. Integrali della forma

Integrali di questa forma si trattano in maniera del tutto analoga a quelli visti al punto precedente. Più precisamente sia lo stesso contorno chiuso lungo cui si vuole effettuare il calcolo dell'integrale esteso in campo complesso; tramite il medesimo passaggio al limite di cui sopra, sfruttando il fatto che e la polidromia della funzione si ottiene che

Riscriviamo questa relazione in modo tale da ottenere una “formula per il calcolo immediato” di integrali di questa forma:

  1. Integrali della forma

Gli integrali di questa forma sono spesso risolubili anche in campo reale, tuttavia risultano molto più semplici e veloci da risolvere applicando la teoria dell'analisi complessa. In particolare è sufficiente ricordare che dalla formula di Eulero discende che

pertanto sarà sufficiente effettuare un cambio di variabile per ricondurre l'integrale reale ad un integrale complesso. Più precisamente sia:

dunque

e di conseguenza:

Si ottiene pertanto un integrale di una funzione complessa lungo una curva chiusa dato che l'intervallo viene sostituito dalla relazione Dunque: