Rappresentazione grafica e polare dei numeri complessi

Dal momento che è lecito pensare alla possibilità di rappresentare i numeri complessi su un piano, simile a quello cartesiano. Il piano complesso è anche noto come piano di Argand-Gauss.

Tale piano è caratterizzato dall'avere come ascissa la parte reale del numero complesso che si vuole rappresentare, mentre come ordinata la parte immaginaria dello stesso.

Dalla rappresentazione grafica discende immediatamente quella in coordinate polari. In particolare, sia ; poniamo:

dove

In realtà, per definire in maniera univoca un numero complesso in coordinate polari è necessario fissare un intervallo di definizione per , ad esempio sia L'angolo si chiama argomento del numero complesso .

Dal seguente teorema:

Teorema (formula di Eulero)

 


vediamo che ogni numero complesso scritto in forma trigonometrica può anche essere riscritto come:

Forniamo ora due dimostrazioni alternative della formula di Eulero.

Dimostrazione

Consideriamo la serie .

Notiamo che questa serie è assolutamente convergente in quanto la serie dei moduli

converge in Inoltre è noto che la somma della serie di partenza è proprio dunque:

Tenendo presente questo risultato, possiamo riscrivere la serie dividendo gli addendi in posizione pari da quelli in posizione dispari come segue:

Le due serie ottenute sono entrambe serie di potenze convergenti (si dimostra nel corso di Analisi II). Infatti e sono due esempi di funzioni di classe che soddisfano le opportune condizioni sulla crescita della derivata -esima, così da poterle scrivere come somma di serie di potenze. In particolare, si ha che:

E, dunque, abbiamo ottenuto che:

 


Dimostrazione

Data la funzione esponenziale , ci aspettiamo che

Vogliamo provare che e

Deriviamo rispetto a :

Derivando una seconda volta, si ha che:

Confrontando le due equazioni ottenute con si ottiene il seguente sistema di equazioni differenziali:

Dove abbiamo imposto, nella maniera più comoda, le condizioni iniziali per .

Risolvendo le due equazioni si ottiene proprio che:

 


Esempio 1[modifica | modifica wikitesto]

Per l'unità immaginaria si ha che:


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