Rappresentazione algebrica dei numeri complessi

Iniziamo questa sezione riprendendo il concetto di unità immaginaria.

Definizione (unità immaginaria)

si definisce unità immaginaria l'elemento , e si indica con .

 


Facciamo il prodotto, secondo la definizione precedentemente data di prodotto in , di per sè stesso:

in virtù dell'isomorfismo tra e

L'unità immaginaria è dunque tale che : risolve quindi l'equazione .

Analogamente il numero complesso si indica con ed è anch'esso soluzione dell'equazione precedente.

Possiamo quindi scrivere:

Sfruttando possiamo fornire una rappresentazione algebrica dei numeri complessi che consente di semplificare notevolmente le operazioni tra di essi. In particolare:

In questo modo, possiamo affermare che il numero complesso può pure essere scritto, sfruttando l'isomorfismo di cui sopra e la definizione di unità immaginaria, nella forma seguente:

Definizione (rappresentazione algebrica)

Un numero complesso può essere rappresentato nella forma:

Tale rappresentazione è detta algebrica.

 


Definizione (parte reale/parte immaginaria)

Dato chiamiamo, rispettivamente, parte reale e parte immaginaria di i due numeri reali e e li indicheremo con:

 


Definizione (complesso coniugato)

Dato definiamo complesso coniugato di il numero complesso , avente stessa parte reale e opposta parte immaginaria.

 


valgono le seguenti proprietà:

  • ,
  • ,

La seguente definizione di modulo è una mera estensione di quella ben nota che si utilizza in .

Definizione (modulo di un numero complesso)

Definiamo modulo di il numero

 


Pertanto ci si può aspettare il seguente risultato:

Teorema

è uno spazio metrico.

 
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