Introduzione

In questa prima sezione verranno ripresi alcuni concetti, che dovrebbero essere già noti allo studente, relativi ai numeri complessi. Si tenga presente che una buona familiarità con le nozioni che verranno qui esposte è un prerequisito fondamentale per la comprensione degli argomenti successivi del corso.

La necessità di estendere il campo reale nacque in corrispondenza all'impossibilità nella risoluzione di particolari equazioni, come:

per la quale è evidente che .

Definiremo dunque il campo complesso , in modo tale da poter risolvere questa equazione ed equazioni affini.

verrà definito per estensione delle ben note proprietà che vi sono su .

Ricordiamo che è un campo vettoriale se munito delle seguenti operazioni:

  1. Addizione

  1. Prodotto

definite in modo assiomatico, così che valgano le seguenti proprietà:

  • Proprietà commutativa: si ha che:

  • Proprietà associativa: si ha che:

  • Proprietà distributiva: si ha che:

  • Esistenza dell'elemento neutro: si ha che:

  • Esistenza dell'elemento opposto per l'addizione:

  • Esistenza dell'elemento inverso per il prodotto:

Definiremo dunque il campo complesso come il campo delle coppie con dotato delle seguenti proprietà:

  1. Uguaglianza:

  1. Addizione:

  1. Prodotto:

Notiamo anche che se definiamo allora si ha che:

  • è un campo, laddove venga munito delle operazioni e delle proprietà indotte da
  • è isomorfo a ovvero:

Inoltre è possibile dimostrare che la funzione

è un isomorfismo, ovvero

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