Sviluppo in serie di Taylor e di Laurent

IIn questa sezione, pur sempre attinente al calcolo integrale in campo complesso, si analizzeranno due importanti strumenti legati alle funzioni olomorfe.

In tutta analogia con il campo reale è possibile chiedersi se data una funzione, infinitamente derivabile (con derivate continue), essa sia o meno sviluppabile in serie di Taylor. È possibile enunciare il seguente

Teorema

Sia una funzione olomorfa in una regione semplicemente connessa , in modo da soddisfare le ipotesi del teorema di Cauchy. Sia , allora:

 


La serie è convergente all'interno di un qualunque cerchio di centro tutto contenuto in . Le dimensioni possibili per tale insieme di convergenza saranno date dalle due seguenti possibilità:

  • È possibile estendere dato che la serie continua a convergere al di fuori di oppure
  • è la massima regione di olomorfia di e la serie converge solo all'interno di tale regione.
Dimostrazione

Applichiamo la formula integrale di Cauchy al caso in cui , e sia , una curva chiusa con Pertanto abbiamo che:

Questo vale Si nota anche che ovvero che la quantità , pertanto è possibile scrivere che:

Dunque è possibile concludere che:

Notando che ogni addendo presente nell'integrando è ben definito, dato che dal teorema di derivazione delle funzioni olomorfe definisce , è possibile scambiare le operazioni di somma e di integrale in modo da ottenere:

che è esattamente la tesi.

 


D'ora in avanti si dira che se una funzione sviluppabile in serie di Taylor, allora essa è analitica.

È possibile notare che:

"La classe delle funzioni olomorfe coincide con la classe delle funzioni analitiche".

Un importante teorema legato alle funzioni analitiche è il teorema di Liouville:

Teorema (teorema di Liouville)

Sia una funzione analitica e limitata su tutto . Allora è necessariamente costante.

 


Dimostrazione

Si consideri un generico cammino chiuso in e siano nell'interno di come da figura:

MPF4.png

Si ha che

Si vuole dimostrare che ovvero che è costante.

passando al modulo si ha che:

Detto
si ha che:

Si conclude dunque che: ovvero che:

 


Teorema (corollario)

Sia una funzione analitica su tutto e sia per . Allora è un polinomio in di grado minore o pari a

 


La situazione appena descritta, in particolare lo sviluppo in serie di Taylor, risulta essere un'estensione al campo complesso di quanto già noto nel campo reale. In realtà in vale qualcosa di più sottile: ci si chiede infatti cosa sia possibile dire di una funzione olomorfa in tutta una regione fuorchè un punto Tale situazione è trattata dallo sviluppo in serie di Laurent.

MPF5.png
Teorema (sviluppo in serie di Laurent)

Sia una funzione olomorfa in una regione (semplicemente connessa) tranne che in un punto Allora la funzione ammette uno sviluppo bilatero e la serie che lo rappresenta è detta serie di Laurent:

La prima serie rappresenta la parte regolare dello sviluppo, mentre la seconda rappresenta la parte singolare dello stesso. I coefficienti e corrispondono a :

 


Si potrebbe pensare, errando, che il coefficiente rappresenti : questo non è possibile dato che la funzione in ha un punto di non olomorfia; non è dunque applicabile ad essa il teorema di Cauchy, ne tutta la trattazione teorica ad esso correlata di cui si è sopra discusso.

Dimostrazione

Si consideri il cammino chiuso in siffatto: Risulta evidente che un tale cammino non circonda , punto di non olomorfia per Più precisamente Essendo olomorfa segue che è possibile applicare il teorema di Cauchy ad lungo il cammino , e in particolare è possibile utilizzare la formula integrale di Cauchy. Pertanto si ha che (notando che è percorsa in senso orario):

Detti e si ha che:

Per : Si è lungo pertanto si avrà che , sicchè:

Per definizione si ha che e dunque

Ragionando analogamente per : Si è lungo pertanto si avrà che . Con conti del tutto simili a quelli effettuati per determinare l'espressione di si otterrà che:

Per definizione si ha che e dunque

Unendo quanto trovato si conclude che

 


Si tenga presente che è possibile pure ridefinire la serie di Laurent in maiera più compatta come segue:

Ove è un qualunque cammino in con

È anche possibile notare che la serie di Laurent descrive una situazione più generale di quella descritta dalla serie di Taylor, dunque è lecito aspettarsi che la prima abbia come caso particolare la seconda. In effetti questo accade: è sufficiente che la funzione sia olomorfa in tutto seguirà che i coefficienti della serie di Laurent saranno tutti nulli e dunque si otterrà , che coincide esattamente con la serie di Taylor a patto di un'opportuna ridefinizione degli

Concludiamo il discorso relativo alla serie di Laurent con la seguente osservazione:

Osservazione:La serie di Laurent converge in ogni corona circolare attorno ad a e interna ad

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