Prolungamento analitico e funzioni polidrome

Data una funzione olomorfa in una regione , è lecito chiedersi se essa sia o meno la massima regione di olomorfia per la funzione ed, eventualmente, come sia possibile ridefinire (estendendola) tale regione in maniera tale che continui ad essere analitica. La risposta a tale questito si avvale del concetto di prolungamento analitico di cui diamo ora la definizione:

Definizione (prolungamento analitico)

Siano due aperti tali che Siano due funzioni analitiche rispettivamente in e in , tali che Si definisce prolungamento analitico di in O, equivalentemente, di in . la funzione

 


È possibile concludere, a priori date le due funzioni ed , che il prolungamento analitico è univocamente definito?

In generale la risposta a questa domanda non sarà positiva, se non sotto delle opportune condizioni; studiamo dunque il problema dell'unicità del prolungamento analitico.

Quando è possibile concludere che il prolungamento analitico esiste ed è unico?

Sia una funzione analitica in una certa regione . Supponiamo ora di estendere grazie a due insiemi e all'interno dei quali siano definite due funzioni e analitiche, tali per cui Ci chiediamo ora quale sia la relazione funzionale tra ed nella regione , tenendo presente che nel caso in cui si abbia si potrà concludere l'unicità del prolungamento analitico. È quindi ben inteso che il problema che stiamo considerando è strettamente legato alla natura topologica di .

Le due situazioni che possiamo avere sono quelle qui rappresentate: , oppure

Mettiamoci innanzi tutto nel caso in cui In tale situazione si avrà che Potendo così concludere che il prolungamento analitico è univocamente determinato.

Consideriamo ora il caso in cui sia un punto di singolarità per , al di fuori di In questa situazione, dato che, per definizione, ed devono coincidere con rispettivamente in e in non sarà possibile definire con univocità il loro prolungamento analitico. Cerchiamo di spiegarci meglio: nella situazione che stiamo considerando si ha che mentre si hanno dei punti, esterni ad , per cui Inoltre vi è il punto di non olomorfia per : in sostanza non sarà mai possibile deformare con continuità l'insieme senza dover passare per il punto , e quando ciò avverrà la funzione non sarà univocamente definita; ovvero non si potrà avere che

La situazione appena descritta rappresenta tutt'altro che un'eccezione in : funzioni che presentano questa caratteristica sono dette polidrome, o funzioni a più valori.

Definizione (funzione polidroma)

Una funzione è detta polidroma se presenta un punto di singolarità , nel quale non è necessario che diverga, tale per cui ogni volta che gira attorno a tale , essa assume valori sempre diversi. Il punto è detto punto di diramazione.

 


Prima di occuparci delle funzioni polidrome, delle loro caratteristiche e della loro importanza ai fini del calcolo integrale in è opportuno concludere la trattazione relativa al prolungamento analitico. In particolare, ci chiediamo se esistano delle tecniche per determinare in modo esplicito il prolungamento analitico di una funzione.

Piuttosto utile a tal proposito è il metodo dello sviluppo in serie.Un altro metodo per effettuare il prolungamento analitico di funzioni in è quello di sfruttare le così dette funzioni speciali, ad esempio la funzione : , ; vale anche Tuttavia in questo corso, non ci occuperemo di questa parte teorica.

Dire che è una funzione analitica in significa poterne scrivere lo sviluppo in serie di Taylor, centrato nel punto :, per definizione, avrà sempre simmetria circolare. Ovvero l'insieme di convergenza di una serie di potenze è, di norma, un disco centrato in e di raggio : ci riferiremo ad esso indicandolo con .

A questo punto possono verificarsi due situazioni:

  1. Su non cade alcun punto di singolarità della funzione . Ciò significa che certamente, essendo analitica su e al suo interno, esiste un raggio di convergenza tale per cui la serie continua a convergere. Ovvero è possibile estendere la regione di convergenza a tutti quei punti che soddisfano .
  2. Su cade almeno un punto di singolaritàNel caso in cui su vi sia più di un punto di singolarità, è necessario che tutte le singolarità presenti su siano isolate. per . In tal caso è necessario concludere che la massima regione di convergenza della serie è proprio quella individuata da , ovvero è il massimo raggio di convergenza. Tuttavia è possibile definire un ulteriore sviluppo in serie per centrato nel punto e con raggio Ciò può essere fatto per ogni punto di che non sia singolare per , a patto di scegliere opportunamente i nuovi raggi di convergenza. Mediante tale artificio sarà dunque possibile estendere la regione di olomorfia della , anche se non in maniera globale come invece si poteva fare nel caso precedente. Più precisamente avremo che:

Si dirà che è il prolungamento analitico di nella regione
Tale ragionamento può essere iterato sia per tutti i punti di non singolarità presenti su , che per tutti i punti di non singolarità che si verranno a trovare sui nuovi dischi che definiscono le regioni di convergenza dei vari prolungamenti analitici trovati.

Esempio grafico di quanto appena detto. I punti e sono punti di olomorfia di che stanno sul bordo dei dischi di convergenza rispettivamente di $f$ e di un suo prolungamento analitico.

Un caso ancor più particolare è quello in cui è una linea continua di punti singolari per la : in questa situazione il raggio di convergenza trovato sarà sicuramente il massimo possibile e non vi sarà alcuna possibilità di prolungare analiticamente , come asserito dal seguente teorema.

Teorema

Se , sviluppo in serie che definisce la funzione analitica nella regione , ha come raggio di convergenza massimo e finito, allora ha almeno un punto di singolarità sul bordo di , ovvero su

 


Dimostrazione

Supponiamo, per assurdo, che non abbia punti di singolarità su .

Allora,è possibile definire uno sviluppo in serie di potenze per in . In accordo con la definizione data, ogni sviluppo che viene così definito sarà il prolungamento analitico della funzione nella regione

Posto , si avrà che la funzione è analitica in tutto , ove presenta uno sviluppo in serie di Taylor. Il ragionamento può ora essere iterato a tutti i punti di , nel caso in cui su di essi sia analitica. Il che ci porta a concludere che, sicuramente, esiste tale per cui converge; ma ciò è un assurdo, dato che, per ipotesi, è il massimo raggio di convergenza dello sviluppo ed è finito.

 


Esempio:Funzione che ammette una linea continua di punti di singolarità.

Si consideri la funzione

preso come raggio di convergenza della serie, si ha che su (intesa come sopra) la funzione considerata presenta un'infinità di punti di singolarità.

Sia con Riscriviamo come segue:

Occupiamoci della seconda sommatoria presente nella definizione della . Essendo , si avrà che sarà sempre un divisore di . Inoltre si ha che:

Per la serie ottenuta diverge, dunque segue che è il massimo raggio di convergenza e che sulla circonferenza che definisce l'insieme di convergenza si hanno punti di singolarità.

I punti di singolarità della saranno tutti della forma , dal momento che, al variare di , essi rappresentano tutti i punti della circonferenza unitaria ed essendo , insieme denso in , si ha che su è presente un insieme denso di singolarità.

Abbiamo già definito le funzioni polidrome e ora daremo una breve trattazione di due funzioni, definite come naturalmente polidrome:

  1. sia definito come Consideriamo ora due numeri complessi e caratterizzati dal fatto di essere simmetrici rispetto all'asse e aventi per argomento un angolo infinitesimo, cioè e
Situazione nella quale ci poniamo per osservare le proprieta di polidromia della funzione

Nella situazione in cui ci siamo posti, si avrà che:

La polidromia di tale funzione si nota quando ci si avvicina all'asse per eccesso o per difetto, ovvero calcolando i seguenti limiti:

il che equivale a dire che la funzione non è continua attraverso l'asse reale . In particolare, si osserva che il problema nasce ruotando attorno al punto ; più precisamente: il punto è il punto di diramazione della funzione analizzata. È anche possibile notare che il punto è un secondo punto di diramazione per infatti la funzione , presenta un punto di diramazione in
Generalmente si evita il problema della polidromia di una funzione ridefinendo il suo insieme di definizione. Ad esempio, se consideriamo la funzione definita non avremo più il problema sopra discusso in cui “attraversando” l'asse reale la funzione presentava una discontinuità, dal momento che ora (per come è stata ridefinita ) non ha più senso parlare di “attraversare l'asse reale”.

  1. sia definito come in modo tale che Ragionando in maniera del tutto analoga a quanto fatto sopra per la funzione radice quadrata, si avrà che:

Passando ai limiti per si ha che:

Senza ripetere il discorso appena fatto, possiamo concludere che il punto è di diramazione per la funzione

Osservazione: Si noti la profonda differenza che vi è tra la polidromia della funzione radice e quella della funzione logaritmo. Nel primo caso si ha una funzione non continua attraverso l'asse reale, tuttavia la discontinuità è legata solo al segno assunto da , ma i valori rimangono sempre gli stessi (); nel secondo caso invece la funzione assume valori diversi ogni volta che viene attraversato l'asse reale: questo lo si nota dalla presenza del fattore periodico presente nel secondo dei limiti calcolati nello studio di


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