Introduzione

Nella trattazione seguente vedremo che per definire funzioni a valori complessi si possono estendere alcune proprietà già note delle funzioni a valori reali, tuttavia in alcuni casi questa semplice estensione non sarà sufficiente.

Iniziamo con la seguente:

Definizione (funzione a valori complessi)

Sia . Una funzione a valori complessi è una funzione:

 


Vediamo che la funzione può essere scomposta come:

ove le funzioni sono funzioni a valori reali. In particolare definiremo:
Alternativamente possiamo sfruttare l'isomorfismo tra e e vedere e come funzioni reali a due variabili:

Infatti, detto , si ha:

Definiamo ora alcune funzioni complesse come estensione di funzioni reali notevoli:

Funzioni Trigonometriche: Ricordando che, grazie alla formula di Eulero, possiamo scrivere:

L'estensione naturale al campo complesso è dunque:
Analogamente avremo che:
posto si ottiene che:

Si noti che Tutti gli esponenziali complessi della forma si dicono fasi e hanno modulo unitario.

Valgono le seguenti (semplici da dimostrare) proprietà:


Funzione logaritmo in : Per definire il logaritmo in campo complesso si utilizza la rappresentazione polare dei numeri complessi. Per cui si avrà:

In realtà, è necessario ricordare che i numeri complessi sono definiti con una ambiguità nella loro rappresentazione polare, pertanto avremo che:

Valgono le seguenti proprietà:

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