Integrali su un contorno

In questa sezione ci preoccuperemo di sviluppare un'importante parte di teoria che permette di calcolare integrali reali estendendo la funzione integranda al campo complesso. Quanto verrà qui esposto in realtà è una (non banale) applicazione del teorema dei residui.

Innanzi tutto ci poniamo il problema di voler calcolare integrali della forma:

in

Come primo passo riscriviamo questo integrale nella seguente maniera:

ove R è il raggio di una semicirconferenza nel semipiano positivo, come da figura:

Chiamiamo la curva chiusa data da , ove è la semicirconferenza di raggio

Se le seguenti ipotesi sono soddisfatte:

  1. Sia estendibile su e sia essa olomorfa sul semipiano superiore eccetto che, al più, in un numero finito di punti.
  2. Si abbia che

Allora si ha che:

Quanto appena detto ci permette di concludere che il calcolo di integrali reali, che non sempre è agevole, può essere semplificato estendendo la funzione integranda in campo complesso e applicando il teorema dei residui. Nonostante possa apparire chiaro come e quando poter verificare l'esattezza dell'ipotesi è tuttavia necessario chiedersi quando è vero che .

Una risposta affermativa a tale quesito è fondamentale per poter applicare la catena logica di passaggi che abbiamo analizzato qui sopra. Per concludere la veridicità dell'ipotesi ci si avvale di due teoremi basati sulla crescita della funzione che si sta considerando. Più precisamente:

Teorema

Sia come da ipotesi tale che su , con . Allora si ha che:

 


Dimostrazione

La dimostrazione segue immediatamente dalla seguente catena di disuguaglianze:

 


Diamo subito un esempio relativo a quanto appena detto.

Esempio:Si calocoli il seguente integrale Procedendo come descritto sopra avremo che, passando al piano complesso:

Dato che, per , si ha possiamo concludere che Dunque l'integrale proposto sarà pari a calcolabile applicando il teorema dei residui. Dato che ha nei punti poli di ordine semplice ed essendo solo nel semipiano superiore, si conclude che:

Si tenga ben presente che gli integrali che è possibile valutare con questa tecnica sono integrali reali, dunque è bene aspettarsi come risultato un valore reale (e non uno complesso): questa osservazione può essere usata come strumento di verifica preliminare per capire se il valore a cui si è giunti possa essere attendibile o meno.

Si sottolinea anche un altro aspetto molto importante: nella trattazione sopra fatta si è scelto come cammino chiuso su cui calcolare l'integrale complesso la semicirconferenza giacente nel semipiano superiore. È possibile anche prendere quella che si trova nel semipiano inferiore?

La risposta a questa domanda non solo è affermativa, ma talvolta è anche l'unica possibile scelta da effettuare.

Nel caso in cui si scelga questo secondo cammino, dato che il tratto rettilineo viene percorso da sinistra verso destra, per definire univocamente il verso di percorrenza del cammino chiuso sarà necessario percorrere la curva in senso orario: questa scelta comporterà la presenza di un segno negativo nell'applicare il teorema dei residui, che però verrà compensato dal fatto che sarà necessario invertire gli estremi di integrazione; dunque il risultato finale sarà lo stesso sia che si scelga una semicirconferenza piuttosto che l'altra.

Vi è un secondo teorema con cui è possibile dimostrare che . Esso sarà da utilizzarsi nel caso di una particolare classe di integrali, ovvero quelli della forma:

Teorema (lemma di Jordan)

Sia una funzione estendibile al piano complesso e ivi olomorfa eccetto, al più, in un numero finito di punti di singolarità isolata. Se

su e m>0 allora:

 


Dimostrazione

Dato si consideri la sua estensione in campo comlesso: su

Si nota che , ovvero l'esponenziale complesso può essere scritto come il prodotto tra una fase e un esponenziale reale. Sfruttando questa informazione si ha che

Nell'ultimo passaggio è bene tenere presente che l'esponenziale reale deve andare a zero, affiche possa andare a zero pure l'integrale lungo la semicirconferenza : dunque è necessario che

Essendo quello ottenuto l'integrale di un'esponenziale in si ha che:

Da cui si ha che, essendo per ipotesi,

 


Osservazione:La potenza per cui deve essere verificata la disuguaglianza non è la stessa che verifica quella del teorema precedente. Infatti il lemma di Jordan viene applicato solo nel caso di integrali della forma di , nei quali la presenza di un termine esponenziale migliora la convergenza e fa si che sia sufficiente , a differenza di richiesto dal teorema precedente.

L'indecisione su quale delle due semicirconferenze prendere per valutare l'integrale in campo complesso, nel caso del lemma di Jordan non è solo una questione di preferenza, bensì diviene di fondamentale importanza. Mentre per applicare il teorema precedente è indifferente quale delle due viene scelta, è evidente che per poter applicare il lemma di Jordan l'esponenziale reale deve andare a zero (come da dimostrazione) pertanto se si è nel caso in cui sarà indispensabile prendere la semicirconferenza che giace nel semipiano inferiore: solo in questo modo si avrà che e che l'esponenziale continuerà a decrescere per

Per una maggiore comprensione si consideri il seguente esempio:

Esempio:Valutare

Innanzi tutto studiamo il comportamento dell'integrale al variare del parametro , ovvero notiamo che:

  • Se :
  • Se :

Concludendo che Dunque sarà sufficiente calcolare esplicitamente solo , dato che può essere ricavato come il suo coniugato.

Si nota immediatamente che siamo nelle condizioni di poter applicare il lemma di Jordan, pertanto passando al campo complesso e scegliendo come la semicirconferenza che giace nel semipiano superiore sarà sufficiente calcolare

e ciò può essere fatto utilizzando il teorema dei residui. L'unico punto di singolarità che interessa ai fini del calcolo di questo integrale è , il cui residuo vale . Sicchè:
Diamo ora un esempio più significativo, atto a sottolineare l'importanza e la portata della parte teorica appena vista:

Esempio:Provare che

Innanzi tutto notiamo che questo integrale non può essere svolto in campo reale, pertanto sarà necessario calcolarlo mediante la sua estensione in campo complesso. Usando il fatto che e che si può riscrivere l'integrale di partenza come

Questa catena di uguaglianze ci permette di concludere che per calcolare l'integrale di partenza sarà sufficiente valutare un integrale complesso, usando il teorema dei residui, e prendere la parte immaginaria dal risultato.

Estendiamo in la funzione integranda: sia . Si nota che il cammino chiuso lungo cui vogliamo integrare, questa volta non potrà essere la semicirconferenza giacente nel semipiano superiore dal momento che il tratto rettilineo passerebbe per il punto di singolarità di . Per prima cosa è dunque necessario scegliere un cammino opportuno per valutare questo integrale: sia esso dato da un tratto rettilineo da a , una semicirconferenza centrata nell'origine e di raggio un tratto rettilineo da a e infine una semicirconferenza di centro l'origine e raggio La curva chiusa così ottenuta è percorsa in senso antiorario.

Contorno chiuso lungo cui calcolare

La curva chiusa non contiene alcun punto di non olomorfia di , pertanto dal teorema di Cauchy segue che Inoltre, come visto nella trattazione teorica si avrà che:

Avvalendoci del lemma di Jordan possiamo concludere che l'integrale lungo la semicirconferenza di raggio è nullo, per ; per quanto riguarda l'integrale lungo la semicirconferenza di raggio per , si ha (ponendo ) :

Concludendo così che:

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