Integrabilità in campo complesso

Passiamo dunque alla trattazione della teoria delle funzioni integrabili in . Dall'integrabilità di una funzione discenderà direttamente che essa è derivabile infinite volte, laddove è anche olomorfa.

In realtà non ci occuperemo di integrali generici, bensì di integrali lungo cammini.

È dunque necessario definire e in .

Definizione (curva)

Si definisce curva in una funzione tale che:

 


Definizione (sostegno,estremi,curva chiusa)

L'insieme si definisce sostegno della curva . Si diranno e rispettivamente primo e secondo estremo della curva. Se si dice che la curva è chiusa.

 


Definizione (cammino)

curva in si dice cammino se è anche derivabile a tratti.

 


Possiamo ora dire cosa significa integrare lungo un cammino.Seppur imprecisamente, quella data è la stessa definizione che si ha in Analisi II per gli elementi di un cammino orientato (inteso come la classe di equivalenza delle curve che stanno sullo stesso cammino orientato). Seguono quindi tutte le osservazioni già fatte in Analisi II: tra cui l'invarianza dell'integrale rispetto al rappresentante del cammino orientato scelto. Concludiamo che possiamo prendere nella nostra trattazione successiva.

Definizione (integrale lungo un cammino)

Siano un cammino e una funzione a valori complessi. Si definisce integrale di f lungo il cammino la quantità:

 


Definizione (lunghezza di una curva)

Definiamo lunghezza della curva ( del cammino ) la quantità:

 


Si avrà sempre che:

Un'importante concetto, che differenzia l'integrale lungo cammini in rispetto a quello in è quello di indice. In particolare, si ha la seguente

Definizione (indice)

Sia un cammino chiuso e sia . si definisce indice di z rispetto a la quantità:

 


In tale definizione si intende sempre percorsa in verso antiorario. Si pone inoltre

Si può osservare che ogni cammino in soddisfa un'importante proprietà,peraltro analoga a quella data dal Teorema di Jordan per curve semplici e chiuse in .Infatti si ha che separa sempre in due componenti connesse di cui una limitata e l'altra illimitata.

Vi è un importante legame tra la funzione e la condizione di olomorfismo, esplicitato dal seguente

Teorema

è una funzione olomorfa in . Inoltre si ha che , cioè è una funzione a valori interi ed assume valore costante su ogni componente connessa in cui è diviso da . Sull'esterno di l'indice vale sempre zero.

 


Per la definizione di esterno e interno ci riferiamo qui alla stessa accezione data nel Teorema di Jordan per curve semplici e chiuse in Si vedano testi di Analisi II per chiarire eventuali dubbi a riguardo.

Non diamo esplicitamente una dimostrazione del teorema appena enunciato. Ci limitiamo a considerare la seguente, per altro ristretta ad un semplice caso:

Dimostrazione

Sia e una circonferenza con centro e raggio . Pertanto si avrà che

Si ha dunque che:

 


Nel seguito sarà necessario avere ben chiare le definizioni di insieme connesso, convesso & semplicemente connesso.

Definizione (insieme connesso)

Si dice che è connesso se:
si ha che

 


In generale, per le altre due definizioni, si rimanda a testi (appunti) di Analisi II ove si possono trovare, laddove non si ricordino, definizioni rigorose per estendibili con semplicità a

Prima di proseguire enunciando due dei teoremi più importanti per l'analisi complessa, diamo la seguente notazione:

Teorema (teorema di Cauchy)

Sia e sia una funzione olomorfa in Se è un cammino chiuso in tale che allora:

Equivalentemente si avrà che:

Sia semplicemente connesso (e dunque sarà connesso) e sia una funzione olomorfa in Se è un cammino chiuso in , allora:

 


L'indice del cammino è nullo rispetto ad ogni Dunque è applicabile il teorema di Cauchy.
In questo secondo caso notiamo che il cammino chiuso non ha indice nullo Dunque non è applicabile il teorema di Cauchy.

Si nota che il teorema da solo una condizione necessaria affinchè l'integrale lungo il cammino chiuso sia nullo, infatti si possono avere casi in cui la curva chiusa analizzata abbia indice diverso da zero e quindi non si può, a priori, concludere nulla relativamente al valore di tale integrale.

Un importante corollario del teorema di Cauchy da delle condizioni per il confronto tra integrali di una stessa olomorfa lungo due distinti cammini chiusi in .

Teorema (corollario teorema Cauchy)

Sia e sia una funzione olomorfa in Siano due cammini chiusi in tali che , allora:

 


Dimostrazione

Sia olomorfa in e siano due cammini chiusi come nella figura 1.3.

Dimostrazione del corollario del teorema di Cauchy.

Si congiungano ed con due segmenti (come in figura), tra loro distanti

Notiamo che è possibile ottenere un cammino chiuso avente indice nullo rispetto ad ogni . Sia esso dato da:

Applicando il teorema di Cauchy alla funzione considerata si avrà dunque che:

Da cui segue che:

 


Un'immediata conseguenza del corollario appena enunciato è la seguente

Osservazione:Sia data f da integrare su cammino chiuso, a patto che siano rispettate le ipotesi del corollario, è sempre possibile trovare un cammino chiuso (più semplice da parametrizzare rispetto a ) tale per cui si avrà l'invarianza dell'integrale di f. Ovvero si avrà che l'integrale richiesto coinciderà con

Come spesso accade nell'analisi complessa è possibile effettuare un paragone con , grazie all'isomorfismo di cui abbiamo parlato nel capitolo sui richiami dei numeri complessi. In particolare si avrà che il concetto di forma differenziale esatta può essere ripreso sotto l'ottica del teorema di Cauchy.

Esempio:Sia e sia Potremo sempre scrivere che:

Quello che notiamo è che possiamo trattare l'integranda come funzione in , pertanto calcolandone il differenziale si ha:

Ma allora abbiamo ottenuto che la forma differenziale associata alla funzione integranda può essere espressa come differenziale di una funzione, ovvero è una forma differenziale esatta. Concludendo che:

Notando l'analogia tra il concetto di differenziale esatto e quanto espresso dal teorema di Cauchy per funzioni olomorfe in

Procediamo ora enunciando un altro teorema di fondamentale importanza per l'analisi complessa.

Tale teorema esprime la formula nota come formula integrale di Cauchy.

Teorema (formula integrale di Cauchy)

Sia una funzione olomorfa in una regione semplicemente connessa. Dato un qualunque cammino chiuso con , allora si ha che:

 


Dimostrazione

Essendo un cammino chiuso, è possibile cercare un secondo cammino chiuso tale per cui per poter applicare il corollario. In particolare è possibile prendere la circonferenza di centro e raggio . Pertanto si avrà che con

Applicando ora il corollario (dato che sia che hanno indice pari a uno) si ottiene che:

L'integrale ottenuto deve essere uniforme in dato che quello di partenza lo era, e dato che per le ipotesi del corollario si ha che è un qualsiasi cammino chiuso equivalente a Per cui, passando al limite per si ha:

Ma quanto ottenuto coincide esattamente con (1.10) notando che

In generale, per si avrà che che è proprio (1.10).

 


Come conseguenza della formula integrale di Cauchy notiamo che l'integrale non potrà mai essere nullo, infatti dato che la funzione integranda non è olomorfa (in particolare non lo è nel punto ) non sarà possibile applicare il teorema di Cauchy nonostante sia un cammino chiuso.

Come già anticipato la condizione di integrabilità in garantisce la derivabilità infinite volte delle funzioni, in particolare di quelle olomorfe. Quanto detto è diretta conseguenza del seguente

Teorema (derivabilità funzioni olomorfe)

Sia (eventualmente semplicemente connessa) e sia una funzione olomorfa. Allora si ha che:

 


Dimostrazione

Senza ledere alla generalità del teorema, d'ora in poi porremo Notiamo che la (1.11) segue dalla formula integrale di Cauchy (1.10) a patto di poter portare sotto il segno di integrale l'operazione di derivazione.

Consideriamo, per semplicità il caso

Per ipotesi di olomorfismo si ha che la funzione esiste . Siano e

Si consideri il limite del rapporto incrementale della , che per ipotesi sappiamo coincidere con

Si vuole ora dimostrare che è possibile portare sotto il segno di integrale l'operazione di limite. Per farlo proviamo che l'argomento del limite differisce dal limite che ci aspettiamo per una quantità infinitesima, ovvero:

è un compatto, pertanto , essendo limitata su un compatto, ammette massimo. Sia

Dunque abbiamo che:

Posto si ottiene che:

Risulta dunque dimostrato che per si ha che:

 


Abbiamo dunque ottenuto un risultato di fondamentale importanza nell'analisi complessa: una funzione olomorfa su una regione è derivabile con continuità infinite volte su .

È importante notare la portata del teorema appena enunciato: esso afferma, innanzi tutto, che è possibile derivare infinite volte una qualsiasi funzione olomorfa sulla sua regione di olomorfia e, inoltre che per determinarne l'espressione è sufficiente conoscere il comportamento della funzione solo sul cammino su cui si sta integrando.

Sempre dal teorema segue, come per altro si è già detto, la formula integrale di Cauchy. In particolare vale il seguente

Teorema (corollario)

Sia (eventualmente semplicemente connessa) e sia una funzione olomorfa. Sia, in particolare, Dunque si avrà che:


 


Sino ad ora i risultati a cui si è giunti, che sono di fondamentale importanza, possono essere sintetizzati come segue:

Dal teorema di Cauchy segue che, se è olomorfa in allora:

  1. cammino chiuso;

È lecito ora chiedersi se i risultati a cui si è pervenuti possono essere anche validi in senso inverso; ovvero se è possibile, partendo da una funzione il cui integrale di cammino è nullo, concludere che essa è infinitamente derivabile e, dunque, olomorfa. La risposta a tale quesito è positiva, a patto di aggiungere un'ulteriore ipotesi, come da seguente teorema dovuto a Morera:

Teorema (teorema di Morera)

Sia una funzione continua in una regione (semplicemente connessa) e sia per ogni cammino chiuso in . Allora è olomorfa in

 


Dimostrazione

Si consideri . Innanzi tutto è bene notare che è ben posta dato che, per ipotesi, è continua e l'integrale non dipende dal particolare cammino scelto per andare da a . Infatti, date due curve è sufficiente prendere come cammino chiuso che unisce e in modo da avere, sempre da ipotesi, che:

Ora è necessario calcolare il limite del rapporto incrementale della e dimostrare che coincide con una funzione olomorfa, in modo da garantire pure l'olomorfia di . Pertanto si consideri:

Avendo scelto di integrare (data l'arbitrarietà di ) sul segmento che congiunge e (la cui lunghezza è ).

Definendo si ottiene che:

Dall'ipotesi di continuità di si ha pure che allora Ovvero . Passando al limite per si conclude che:

e dunque che Dall'ipotesi di olomorfia di e dalla precedente eguaglianza, si può dunque concludere che pure è olomorfa.

 


 PrecedenteSuccessivo